45 de thi vao 10 chuyen toan co dap an

TUYỂN CHỌN 45 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CÓ ĐÁP ÁN Mục Lục Giaovienvietnam.com Trang Đề số Chuyên Bắc Ninh Năm học 2014-2015 Câu I ( 1, điểm ) Cho phương trình x + 2mx − 2m − = (1) , với ẩn x , tham số m 1) Giải phương trình (1) m = x12 + x22 2) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho nhỏ Câu II ( 1,5 điểm ) Trong hệ toạ độ , gọi (P ) đồ thị hàm số y = x2 (d) đồ thị hàm số y = -x + 1) Vẽ đồ thị (P) (d) Từ , xác định toạ độ giao điểm (P) (d) đồ thị 2) Tìm a b để đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) cắt (P) điểm có hồnh độ -1 Câu III ( 2,0 điểm ) 1) Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km so với lúc , thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B x + − x + x(1 − x) = ) Giải phương trình Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng AH M 1) Chứng minh năm điểm A, B ,C , D , M thuộc đường tròn 2) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh BM = CD góc BAM = góc OAC 3) Gọi K trung điểm BC , đường thẳng AK cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Câu V ( 2, điểm ) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 2) Có thành phố thành phố có thành phố liên lạc với Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với Giaovienvietnam.com Trang .Hết Hướng dẫn sơ lược đề thi mơn tốn dành cho tất thí sinh năm học 2014-2015 Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh Câu I ( 1, điểm ) Giải: 1) GPT m =1 + Thay m =1 v (1) ta x2 + 2x - =  ( x + ) ( x – ) =  x = { - ; } KL : Phương trình có nghiệm phân biệt x = x = 2) xét PT (1) : x + 2mx − 2m − = (1) , với ẩn x , tham số m ∆ '(1) = m + 2m + = (m + 1) + > + Xét PT (1) có phân biệt x1 ; x2 với m (luôn ) với m => PT (1) ln có hai nghiệm + Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có :  x1 + x2 = −2m (I )   x1 x2 = −(2m + 6) x12 + x22 + Lại theo đề (I) có :A = = ( x1 + x2 )2 – x1x2 = ( - 2m )2 + ( 2m + ) = 4m2 + 4m + 12 − = ( 2m + 1)2 + 11 ≥ 11 với m => Giá trị nhỏ A 11 m = − KL : m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu II ( 1,5 điểm ) Giải : 1) Lập bảng giá trị vẽ đồ thị hàm số: Giaovienvietnam.com Trang Dựa vào đồ thị ta có giao điểm d (P) điểm M ( ; 1); N ( -2 ; ) 2) Do đồ thị ∆ hàm số y = ax + b song song với (d) y = -x + Nên ta có: a = -1 ∆ cắt (P) điểm có hồnh độ – nên ta thay x = -1 vào pt (P) ta được: y = Thay x = -1; y = vào pt ∆ ta a = -1 ; b = =>Phương trình ∆ y = - x Câu III ( 2,0 điểm ) Giải: 1) Đổi 30 phút = ½ Gọi x ( km /h ) vận tốc người xe đạp t A -> B ( x > ) Vận tốc người từ B-> A là: x + (km/h) Thời gian người từ A -> B là: Thời gian người đố từ B A là: 24 x 24 x+4 Theo ta có: 24 24 48( x + 4) 48 x x( x + 4) − = ⇔ − = ⇔ x + x − 192 = x x+4 2 x( x + 4) x( x + 4) x( x + 4) Giaovienvietnam.com Trang => x = 12 ( t/m ) KL : Vậy vận tốc người xe đáp từ A đến B 12 km/h x + 1− x ⇒ 2) ĐKXĐ ≤ x ≤ Đặt < a = + PT : a + a2 −1 = x(1 − x) a2 −1 = ⇔ a + 2a − = ⇔ (a − 1)(a + 3) =  a = { -3 ; } => a = > x + 1− x = ⇔ x + − x + x (1 − x) = ⇔ x(1 − x) = + Nếu a = = >  x = { ; } ( t/m) KL : Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt x = 0; x = Câu IV ( 3,0 điểm ) Giải 1) Chứng minh tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp Do BHCD hình bình hành nên: Ta có: BD//CC’ => BD ⊥ AB => ABD = 90o Có:AA’ ⊥ BC nên: MD ⊥ AA’ => AMD = 90o => ABD + AMD = 180o Giaovienvietnam.com Trang => tứ giác ABMD nội tiếp đường trịn đường kính AD Chứng minh tương tự ta có tứ giác AMDC nội tiếp đường trịn đường kính AD => A, B ,C,D , M nằm đường tròn 2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD + Theo phần 1) BC//MD => góc BAM =góc OAC 3)Chứng minh OK đường trung bình tam giác AHD => OK//AH OK = + Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => G trọng tâm tam giác ABC AH hay OK = AH OK GK = = ⇒ AG = 2GK AH AG (*) , từ suy Câu V ( 2, điểm ) Giải: 1) Giá trị nhỏ P 2011 a =b = 4P = a2 - ab + b2 + 3(a2 + b2 + + 2ab – 4a – 4b ) + 2014 – 12 = (a-b)2 + (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044 P≥ 2011 Dâu “=” xảy  a = b => a = b =  a + b − = Vậy giá trị nhỏ P 2011 a = b = 2) Gọi thành phố cho A,B,C,D,E,F + Xét thành phố A theo nguyên l í Dirichlet ,trong thành phố cịn lại có thành phố liên lạc với A có thành phố không liên lạc với A ( số thành phố liên lạc với A không vượt số thành phố không liên lạc với A không vượt ngồi A , số thành phố cịn lại khơng vượt q ) Do xảy khả sau : • Khả : số thành phố liên lạc với A không , giả sử B,C,D liên lạc với A Theo đề thành phố B,C,D có thành phố liên lạc với Khi thành phố với A tạo thành thành phố đôi liên lạc với Giaovienvietnam.com Trang • Khả : số thành phố không liên lạc với A , khơng ,giả sử thành phố khơng liên lạc với A D,E,F Khi thành phố ( A,D,E) D E liên lạc với ( v ì D,E không liên lạc với A) Tương tự ( A,E,F) v ( A,F,D) th ì E,F liên lạc với , F D liên lạc với D,E,F l thành phố đôi liên lạc với Vậy ta có ĐPCM Đề số Chuyên Bến Tre Năm học: 2014-2015 Câu 1: (2,5 điểm) A= 3−4 3+4 − +1 5−2 a) Rút gọn biểu thức sau:  x +2 x −2 B =  − ÷ ÷ x+ x  x + x + x −1  ( b) Cho biểu thức: ) x > 0, x ≠ với i) Rút gọn biểu thức B ii) Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên Câu 2: (2,5 điểm) Cho hệ phương trình mx + y =  3 x + (m + 1) y = −1 với m tham số a) Giải hệ với m = Giaovienvietnam.com Trang b) Giải biện luận hệ theo m c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm số nguyên Câu 3: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai: x − mx + m − = (1), với m tham số i) Giải phương trình (1) m = x1 , x2 ii) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 1 x1 + x2 + = x1 x2 2014 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD.Gọi M điểm di động cung nhỏ AB(M không trùng với điểm A B) a) Chứng minh MD đường phân giác góc BMC b) Cho AD=2R.Tính diện tích tứ giác ABDC theo R c) Gọi O tâm đường trịn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn cung AMB dây AB theo R d) Gọi K giao điểm AB MD,H giao điểm AD MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có: Giaovienvietnam.com Trang 3−4 3+4 − +1 5−2 A= (3 = )( ( 3) )− ( − −1 −1 )( ) −( 3) +4 5+2 52 22 − 11 26 + 13 − 11 13 = = 2− − 2+ 4−2 4+2 − 2 2   = −1 − +1 ÷  2  = −1 − −1 = ( −2) = − 2 = ( ) ( ( ) )  x +2 x −2 B =  − ÷ ÷ x+ x  x + x + x −1  ( b)  B=   = = = ( ( x +2 x +2 ( x+ )( ( − )( x +1 ) ( x + 1) ( x −1 − )   x + x x −1   x −2 ) ( x +1 x −2 ) x − − ( x − x − 2) ( ) x +1 x x ( x + 1) ( x − 1) ) ( )( x +1 ( ) ( ) ) x+ x ( ) x −1 ) x+ x ) x +1 = 2x x −1 i) Với x > 0, x ≠ ta có: B= ii) Ta có: x 2( x − 1) + 2 = = 2+ x −1 x −1 x −1 Do x nguyên nên: Giaovienvietnam.com Trang 10 Câu (0,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh rằng: a b c + + ≤ a + bc b + ca c + ab 2 ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu A= −1+ +1 2(2 − 3) + = + 2− = + 2− = −1 ( + 1)( − 1) a) b) 3x − y =  y = 3x −  y = 3x −  y = 3x −  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 2 x + 3(3 x − 1) = 11x = 11 x = y = Hệ có nghiệm (1;2) c) x2 + 2x – = Có ∆’ = + = > Câu a) Bảng giá trị x -2 -1 y = –x2 -4 -1 -1 -4 Đồ thị: Giaovienvietnam.com Trang 260 b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): –x2 = 4x – m ⇔ x2 + 4x – m = (1) (d) (P) có điểm chung ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 22 – (–m) =  + m = ⇔ m = –4 Vậy m = –4 Câu a) x2 – 5x + 3m + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2⇔ ∆ = 52 – 4(3m + 1) > ⇔ 21 – 12m > m< 21 12 Với m < 21 12 , ta có hệ thức  x1 + x2 =   x1 x2 = 3m + (Viét) | x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 52 − 4(3m + 1) = 21 − 12m => =>| x12 − x22 |=| ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) |=| 5( x1 − x2 ) |= | x1 − x2 |= 21 − 12m Giaovienvietnam.com Trang 261 | x12 − x22 |= 15 ⇔ 21 − 12m = 15 ⇔ 21 − 12 m = ⇔ 21 − 12m = ⇔ 12m = 12 ⇔ m = Ta có tm Vậy m = giá trị cần tìm ( x − 1) = x − x + 3(1) b) (1)  ( x − 1)  = x − x + ⇔ ( x − x + 1) = x − x + (2) t = t + ⇔ t − t − = ⇔ (t − 2)(t + 1) = Đặt t = x2 – 2x + 1, t≥0, phương trình (2) trở thành  t = (tm) t = –1 (loại) Với t = có x2 − 2x + = ⇔ x2 − 2x −1 = ⇔ x = ± Vậy tập nghiệm phương trình (1) {1− 2;1 + } Câu a) Vì C, D thuộc nửa đường trịn đường kính AB nên ACB = ADB = 90o ⇒ FCH = FDH = 90o ⇒ FCH + FDH = 180o Giaovienvietnam.com Trang 262 Suy tứ giác CHDF nội tiếp b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB ⇒ CFH = CBA(= 90o − CAB ) ⇒ ∆CFH : ∆CBA( g g ) ⇒ c) Vì FCH = FDH = 90o CF CH = ⇒ CF CA = CH CB CB CA nên tứ giác CHDF nội tiếp đường trịn tâm I đường kính FH => IC = ID Mà OC = OD nên ∆ OCI = ∆ ODI (c.c.c) => COI = DOI => OI phân giác góc COD d) Vì OC = CD = OD = R nên ∆ OCD => COD = 60o Có CAD = COD = 30o => CFD = 90o − CAD = 60o Xét góc nội tiếp góc tâm chắn cung CD (I), có CID = 2CFD = 120o => OIC = OID = Mặt khác COI = DOI = OI = CID = 60o COD = 30o => OID + DOI = 90o => ∆OID OD 2R = o sin 60 Suy Vậy I ln thuộc đường trịn  2R   O; ÷ 3  Câu Từ điều kiện đề ta có ab + bc + ca 1 =3⇔ + + =3 abc a b c Áp dụng hai lần bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có: a + bc ≥ a bc = 2a bc ⇒ Giaovienvietnam.com a ≤ = a + bc 2a bc bc Trang 263 vuông D 1 11 1 a 11 1 ≤  + ÷⇒ ≤  + ÷ b c  b c  a + bc  b c  b 11 1 c 11 1 ≤  + ÷; ≤  + ÷ b + ca  c a  c + ab  a b  Tương tự ta có: a b c 11 1 + + ≤  + + ÷= a + bc b + ca c + ab  a b c  2 Suy Đề số 45 Chuyên Sơn La Năm học: 2016-2017 Câu I (2.0 điểm)  x  P= + ( x > 0; x ≠ 1) ÷: x −1  x − x +  x− x Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P P> Tìm giá trị x để Câu II (1.5 điểm) Cho phương trình: x2-5x+m=0 (1) (m tham số) Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn: |x1-x2|=3 Câu III (2.0 điểm) Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu IV ( 3.5 điểm) Cho đường trịn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn S1 + S2 = S Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Câu V ( 1.0 điểm) d Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a+b ≤ 2 P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: HẾT -( Cán coi thi khơng giải thích thêm) Giaovienvietnam.com Trang 264 1 + a b HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA VÀ PTDT NỘI TRÚ TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2016-2017 -Câu I(2đ): a Rút gọn biểu thức:  =  +  x ( x − 1) =  x  P= + ( x > 0; x ≠ 1) ÷: x −1  x − x +1  x− x  ( x − 1) x ÷ x ( x − 1) ÷ x  1+ x ( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x − = = x x ( x − 1) x x x P> b)Tìm giá trị x để x −1 > 2( x − 1) > x x > x Với x > 0, x ≠ P> Vậy với x > Câu II(1,5đ): x2 − 5x + = a Với m = phương trình trở thành: ∆ = (−5) − 4.1.6 = 25 − 24 = > x1 = => phương trình có hai nghiệm phân biệt: Giaovienvietnam.com −(−5) + −(−5) − = 3; x2 = =2 2 Trang 265 x1 ; x2 ta phải có ≥0 25 (−5) − 4.1.m ≥ 25 − 4m ≥ m ≤ (1) b) Để phương trình có nghiệm Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai cho ta  x1 + x2 = (2)   x1 x2 = m Mặt khác theo yêu cầu tốn phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 hai vế đẳng thức dương, bình phương hai vế ta được: (| x1 − x2 |) = 32 ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 9(3) Thay (2) vào (3) ta được: 52 − m = m = Thoả mãn (1) với m = giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện: |x1-x2|=3 Câu III(2đ): v1 v2 (v1 > 0; v > 0, Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai theo thứ tự là: km/giờ) Vì tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên ta có phương trình thứ nhất: v1-v2=10(1) 120 t1 = (h ) v1 Thời gian ô tô thứ hết quảng đường AB là: 120 t2 = ( h) v2 Thời gian ô tô thứ hai hết quảng đường AB là: Vì Ơ tơ thứ đến trước ô tô thứ hai 0,4 nên ta có phương trình thứ hai: 120 120 120(v1 − v2 ) t2 − t1 = 0, − = 0, = 0, 4(2) v2 v1 v1v2 Thay (1) vào (2) ta được: 120.10 = 0, => v1v2 = 3000(3) v1v2 v1 = v2 + 10 Từ (1) => thay vào (3) ta được: Giaovienvietnam.com Trang 266 (3) v2 (v2 + 10) = 3000 v2 + 10v2 − 3000 =  v = 50(TM )   v = −55( L) Khi v2=50=>v1=50+10=60 Vậy vận tốc xe thứ 60 km/giờ; vận tốc xe thứ hai 50 km/giờ Câu IV(3,5đ): Xét tứ giác ABCD có :  AB = CD  OA = OB = OC = OD ( Đường kính đường trịn bán kính đường trịn) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật b Tứ giác ACBD hình chữ nhật nên: = CAD= BCE =90o (1) Lại có CBE sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); = ACD sđ AD (góc nội tiếp), mà BC =AD (do BC = AD cạnh hình chữ nhật)⇒CBE =ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE c Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE =DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD=DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn a d Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: S1 EB = S EF S1 EB = S EF => S BF = S EF Tương tự ta có Giaovienvietnam.com Trang 267 S1 S2 + = => S1 + S2 = S S S Từ suy ra: Câu V(1đ): Cách 1: Với a, b ta ln có: (a - b)2≥0 a + b − 2ab ≥ a + b ≥ 2ab a + b + 2ab ≥ 4ab (a + b) ≥ 4ab (*) Vì a, b dương nên ab a+ b dương bất đẳng thức (*) trở thành: a+b 1 4 ≥ + ≥ => P ≥ ≤2 ab a+b a b a+b a+b mà a+b 4 => ≥ => P ≥ a+b 2 Dấu “ = ” xảy (a − b) =  a = b = a + b = 2 Vậy P= Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2≥ 0⇒ (a + b)2≥ 4ab => (*) giải tiếp ta co − si co − si 1 } } 2.2 4 P= + ≥ ≥ = ≥ = a b a +b a +b 2 ab Cách 3: Với hai số a > 0, b > ta có Dấu “ = ” xảy a =b = 2 Vậy P= Cách 4: Ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương 1 + ≥ (*) a b a+b Chứng minh rằng: Thật áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a b, 1 ; a b ta được: a + b ≥ ab (1) 1 + ≥2 (2) a b ab Do vế (1) (2) dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương chiều, tađược: 1 (a + b)( + ) ≥ a b Dấu đẳng thức xảy a=b Giaovienvietnam.com Trang 268 ≥ Áp dụng (*) => P => P ≥ a+b ≤ 2 => 1 4 ≥ => ≥ = 2(3) a+b 2 a+b 2 a+b dấu "=" xẩy (1), (2) (3) đồng thời xẩy dấu "=" kết hợp với điều kiện ta có: a = b  1 => a = b =  = a b   a + b = 2 a=b= Khi đó: Vậy minP = Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh toán sau: Cho a, b số dương Chứng minh 1 + ≥ a b a+b rằng: => bạn giải tiếp Cách 6: Cho hai số x, y dương a, b hai số ta có: ( a + b) a b a b ( a + b)2 ≤ + hay + ≥ (1) x+ y x y x y x+ y ( Bất đẳng thức Svac – xơ) a b = x y Đẳng thức xảy Thật áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho   a 2  b   a b2 ÷ ( x )2 + ( y )2 ( + )( x + y ) =   + ÷  ÷ x y  x ÷ y    ÷   2 a b a b (a + b ) 2 ≥ (a + b) => ( + )( x + y ) ≥ (a + b) hay + ≥ x y x y x+y ( ) Áp dụng (1) ta có:  12 12  (1 + 1)2 (1 + 1) hay P ≥ = =  + ÷≥ x+ y 2  x y  x+ y Dấu "=" xẩy khỉ 1 = a b hay a=b kết hợp với điều kiện ta có:Vậy minP = Hết a=b= Đề số 46 Chuyên SPHN Năm học: 2016-2017 Câu (2 điểm) Cho biểu thức minh P = –1 Giaovienvietnam.com   1+ a 1− a 1 P =  + − − ÷ ÷ a ÷ − a − + a ÷  1+ a − 1− a  a Trang 269 với < a < Chứng Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng d: y = 2mx – với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1, y2 tung độ | y12 − y22 |= A, B Tìm m cho Câu (1,5 điểm) Một người xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách 120 km Vận tốc quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc quãng đường AB sau vận tốc 4 quãng đường AB đầu Khi đến B, người nghỉ 30 phút trở lại A với vận tốc lớn vận tốc quãng đường AB lúc 10 km/h Thời gian kể từ lúc xuất phát A đến xe trở A 8,5 Tính vận tốc xe máy quãng đường người từ B A? Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, dựng hai tam giác AMC BMD Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CP.CB + DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC BMPD cắt PA, PB tương ứng E, F Chứng minh CDFE hình thang Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh 5a + + 5b + + 5c + ≥ ––––––––Hết––––––– ĐÁP ÁN Câu Với < a < ta có: Giaovienvietnam.com Trang 270  1+ a P= +  1+ a − 1− a  ( 1− a ) ( 1− a) ( 1+ a) − ( ( (  1+ a = +  1+ a − 1− a 1− a  )    − a − ÷ 2  a÷ 1− a   a   )    (1 − a )(1 + a ) −    a2 a 1+ a − 1− a    1− a )    1− a 1+ a  1+ a 1− a = + − ÷  a2 a ÷ + a − − a    1+ a − 1− a = + a + − a − a + a − (1 − a) − (1 + a) 2a 1+ a − 1− a 1+ a + 1− a − = 1+ a − 1− a =− ( 1+ a + 1− a ( )( 1+ a − 1− a ) 2a 1+ a − 1− a ) 2a 1+ a −1 + a 2a =− =− = −1 2a 2a Câu a) Khi m = ta có d : y = 2x – (P): y = –x2 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x = −1 + ⇒ y = −3 + 2 Với x = −1 − ⇒ y = −3 − 2 Với Vậy giao điểm ( −1 + )( 2; −3 + 2 ; −1 − 2; −3 − 2 b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P): ) − x = 2mx − ⇔ x + 2mx − = (*) Phương trình (*) có ∆’ = m2 + > ⇒ (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2∀ m hay d cắt (P) hai điểm phân biệt Áp dụng Viét ta có:  x1 + x2 = −2m  ⇒| x1 − x2 |= ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m + = m +  x1 x2 = −1 Giaovienvietnam.com Trang 271 Khi ta có  y1 = 2mx1 − ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − 1) − (2mx2 − 1) |  y = mx −  2 ⇒| y12 − y22 |=| (2mx1 − − 2mx2 + 1)(2mx1 − + 2mx2 − 1) |=| 4m( x1 − x2 )[m( x1 + x2 ) − 1] | =| 4m(2m + 1)( x1 − x2 ) |= m(2m + 1) | x1 − x2 |= | m | (2m + 1)2 m + | y12 − y22 |= ⇔ 64m (2m + 1) (m + 1) = 45 ⇔ 64(4m + 4m + 1)( m + m ) = 45 Ta có m +m =t ≥0 Đặt m4 + m2 = Suy m=± Vậy 64t (4t + 1) = 45 ⇔ 256t + 64t − 45 = ⇔ t = có phương trình 16 (vì t ≥ 0) ⇔ 16m + 16m2 − = ⇔ m = ± 16 2 Câu Gọi vận tốc người xe máy Vận tốc người xe máy 4 quãng đường AB đầu (90 km) x (km/h) (x > 0) quãng đường AB sau 0,5x (km/h) Vận tốc người xe máy quay trở lại A x + 10 (km/h) 90 30 120 + + + = 8,5 x 0,5 x x + 10 Tổng thời gian chuyến ⇔ 90 60 120 150 120 + + =8⇔ + = ⇔ 75( x + 10) + 60 x = x( x + 10) x x x + 10 x x + 10 ⇔ x − 95 x − 750 = ⇔ x = 30 (do x > 0) Vậy vận tốc xe máy quãng đường người từ B A 30 + 10 = 40 (km/h) Giaovienvietnam.com Trang 272 Câu a) Vì CMA = DMB = 60o ⇒ CMB = DMA = 120o Xét ∆ CMB ∆ AMD có CM = AM  MCB = MAD  CMB = DMA ⇒ ∆CMB = ∆AMD (c.g c ) ⇒   MBC = MDA  MB = MD  Suy AMPC BMPD tứ giác nội tiếp b) Vì AMPC tứ giác nội tiếp nên CPM = 180o − CAM = 120o = CMB ⇒ ∆CPM : ∆CMB ( g g ) ⇒ ⇒ CP.CB = CM ⇒ CP.CB = CM Vậy Tương tự CP CM = CM CB DP.DA = DM CP.CB + DP.DA = CM + DM = AM + BM = AB c) Ta có EF đường trung trực PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân E Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM ⇒ PE = PM Tương tự PF = PM Ta có CM // DB nên PCM = PBD Mà BMPD tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD Suy PCM = PMD ⇒ ∆CPM : ∆MPD( g g ) ⇒ Ta lại có CPM = DPM = 120o Giaovienvietnam.com Trang 273 CP PM CP PE = ⇒ = MP PD PF PD Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE hình thang Câu Vì a, b, c khơng âm có tổng nên a (1 − a) ≥ a ≥ a   ≤ a, b, c ≤ ⇒ b(1 − b) ≥ ⇒ b ≥ b c (1 − c ) ≥   c ≥ c 5a + ≥ a + 4a + = (a + 2)2 = a + Suy 5b + ≥ b + 2; 5c + ≥ c + Tương tự 5a + + 5b + + 5c + ≥ (a + b + c) + = Do Giaovienvietnam.com (đpcm) Trang 274 ... quãng đường ban đầu x (km/h) x >10 quãng đường sau x -10 (km/h) 90 ( h) x Thời gian quãng đường ban đầu 30 ( h) x Thời gian quãng đường sau Vì thời gian quãng đường 11h40 phút – 7h- 10 phút = Nên... 7h- 10 phút = Nên ta có PT: Giaovienvietnam.com Trang 22 (h) 90 30 + = x x − 10 180( x − 10) 60 x x ( x − 10) + = x( x − 10) x( x − 10) x( x − 10) 240 x − 1800 = x − 90 x x − 330... CDN (g.g) CA CO => = => CA.CN = CO. CD CD CN d)Xác định vị trí điểm M để ( AM AN) đạt giá trị nhỏ AM + AN ≥ AM AN (cauchy − cosi ) Ta có: AM AN = AB = R (1) Ta chứng minh: => AM + AN ≥ 2.4 R =