Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán biễn ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Chương Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê tốn Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Lê Phương Bộ mơn Tốn kinh tế Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle 2.1 Nội dung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 2.2 Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Ví dụ Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Gọi X số lần xuất mặt ngửa tung đồng xu cân đối lần X nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4, Gọi Y chiều cao cà phê trưởng thành (đơn vị: mét) Y nhận giá trị thuộc tập hợp [1, 10] Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Định nghĩa Hàm số X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên với số thực a {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ a} biến cố phép thử Kí hiệu X (Ω): tập hợp giá trị mà X nhận (X ∈ A) = {X ∈ A} := {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} với A ⊂ R (a ≤ X ≤ b) = {a ≤ X ≤ b} := {ω ∈ Ω : a ≤ X (ω) ≤ b} 2.4 Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị đếm • hữu hạn: X (Ω) = {x1 , x2 , , xn }, • vô hạn đếm được: X (Ω) = {x1 , x2 , , xn , } Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Ví dụ: Gọi X tổng số chấm nhận sau tung xúc sắc X (Ω) = {2, 3, , 12}, Gọi X số phế phẩm nhà máy từ thành lập X (Ω) = {0, 1, } Phân vị, trung vị Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên liên tục tập giá trị khoảng (hay số khoảng hay tồn trục số R) Ví dụ: kết phép đo thí nghiệm, lượng mưa ngày TP Hồ Chí Minh 2.6 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất (còn gọi phân bố hay hàm tập trung xác suất) biến ngẫu nhiên rời rạc X X (Ω) = {x1 , x2 , , xn , } pi = P(X = xi ) với xi ∈ X (Ω) Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân phối xác suất cho biết khả X nhận giá trị X (Ω) tương ứng biểu diễn bảng phân phối xác suất X x1 x2 · · · xn · · · P p1 p2 · · · pn · · · Phân vị, trung vị Tính chất pi ≥ với xi ∈ X (Ω), pi = 1, i P(a ≤ X < b) = pi a≤xi Xác định c Tính P(X < 1) P(|X − 1| > 0, 5) 2.11 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X , kí hiệu FX (x) F (x) xác định sau: Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên F (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ R Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Ý nghĩa Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị X nằm bên trái số thực x trục số Công thức tính • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: F (x) = pi xi ≤x • Với biến ngẫu nhiên liên tục: x F (x) = f (s)ds −∞ 2.13 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Hai xạ thủ bắn vào bia, người bắn viên Gọi X số lần bắn trúng bia Tìm hàm phân phối xác suất X biết xác suất bắn trúng bia hai xạ thủ 0,4 0,7 Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f (x) = 2x, ≤ x ≤ 1; 0, x < x > Tìm hàm phân phối xác suất X 2.14 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Tính chất hàm phân phối xác suất Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất ≤ F (x) ≤ 1, với x ∈ R F không giảm liên tục X liên tục lim F (x) = lim F (x) = x→−∞ x→+∞ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) Liên hệ với phân phối xác suất • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: pi = F (xi ) − F (xi−1 ) • Với biến ngẫu nhiên liên tục: F hàm số liên tục, F (x) = f (x) điểm x mà hàm mật độ f liên tục 2.15 Mode biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Mode (giá trị tin nhất) biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Mode(X ), Mod(X ) hay ModX , (các) số thực xác định sau Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: giá trị biến ngẫu nhiên X có xác suất lớn Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Mod(X ) = xk cho P(X = x) đạt max x = xk • Với biến ngẫu nhiên liên tục: giá trị biến ngẫu nhiên X hàm mật độ xác suất đạt cực đại Mod(X ) = x0 cho f (x) đạt max x = x0 Ý nghĩa Mode đặc trưng cho giá trị có khả xảy cao biến ngẫu nhiên X phép thử 2.17 Mode biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Ví dụ Luật phân phối xác suất Xác định mode biến ngẫu nhiên X Y có phân phối xác suất sau: X P Y P 0, −1 0, 15 0, 0, 0, 2, 0, Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 0, 25 Xác định mode biến ngẫu nhiên X Y có hàm mật độ xác suất là: x(2 − x), 0,   √ , fY (x) = x  0, fX (x) = ≤ x ≤ 2, x < x > x ∈ (0; 1) x ∈ (0; 1) 2.18 Kì vọng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Luật phân phối xác suất Kì vọng (giá trị trung bình) biến ngẫu nhiên X , kí hiệu E(X ) hay EX , số thực xác định sau: • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn n Phân vị, trung vị EX = xi pi i=1 • Với biến ngẫu nhiên liên tục: +∞ EX = xf (x)dx −∞ Ý nghĩa Kì vọng đặc trưng cho giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X phép thử 2.20 Kì vọng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Tính kì vọng biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X P 0, 0, 0, Tính kì vọng biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 2x, ≤ x ≤ 1; f (x) = 0, x < x > Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 2.21 Kì vọng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Tính chất kì vọng Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên E(C) = C với số C, E(C.X ) = C.E(X ), Kì vọng E(X ± Y ) = EX ± EY , Phân vị, trung vị Nếu Y = h(X )  với X rời rạc,   i h(xi )pi , +∞ EY =  h(x)f (x)dx, với X liên tục,  Mode Phương sai, độ lệch chuẩn −∞ Nếu X , Y độc lập thì: E(XY ) = E(X )E(Y ) Chú ý: Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập hai biến cố (X ≤ x) (Y ≤ y ) độc lập với x, y ∈ R 2.22 Phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Phương sai biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Var (X ), V (X ) hay VX , số thực xác định sau: VX = E (X − EX )2 Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn √ biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ(X ), xác định bởi: σ(X ) = VX Phân vị, trung vị Từ định nghĩa tính chất kì vọng, ta có  với X rời rạc;   i (xi − EX ) pi , +∞ VX =  (x − EX )2 f (x)dx, với X liên tục  −∞ Ý nghĩa Đặc trưng cho độ phân tán biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình 2.24 Phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Tính chất phương sai Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn V (X ) = E(X ) − (EX )2 V (C) = với số C V (CX ) = C V (X ) Nếu X , Y độc lập thì: Phân vị, trung vị V (X ± Y ) = V (X ) + V (Y ) 2.25 Phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Tính độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X P 0, 0, Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 0, Tính độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f (x) = 2x, ≤ x ≤ 1; 0, x < x > 2.26 Trung vị Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Phân vị giá trị tới hạn Cho biến ngẫu nhiên X α ∈ (0, 1) Số thực gα gọi giá trị tới hạn mức α X Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode P(X > gα ) ≤ α P(X < gα ) ≤ − α Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Số thực qα gọi phân vị mức α X qα giá trị tới hạn mức − α X , nghĩa qα = g1−α Lưu ý Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục gα giá trị tới hạn mức α X P(X > gα ) = α Ý nghĩa Giá trị tới hạn mức α (phân vị mức − α) điểm trục số chia phân phối xác suất biến ngẫu nhiên thành phần theo tỉ lệ (1 − α) : α 2.28 Trung vị Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Trung vị Trung vị biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Median(X ), Med(X ) hay MedX , phân vị mức 0,5 (cũng giá trị tới hạn mức 0,5) X • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Med(X ) = xk với k thỏa Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị k −1 n pi ≤ 0, i=1 pi ≤ 0, i=k +1 • Với biến ngẫu nhiên liên tục: Med(X ) = x0 với x0 thỏa x0 f (x)dx = 0, −∞ Ý nghĩa Trung vị điểm trục số chia đôi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 2.29 Phân vị, trung vị Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Ví dụ Luật phân phối xác suất Tìm trung vị hai biến ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất sau X P Y P 0, −1 0, 0, 0, 0, 0, 0, 35 0, 15 Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Ví dụ Tìm trung vị giá trị tới hạn mức 75% biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f (x) = 0, x < 1; , x ≥ x2 2.30 ... phân phối xác suất X Tính xác suất lấy khơng q phế phẩm 2.9 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên liên... phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Hai xạ thủ bắn vào bia,... biến ngẫu nhiên X phép thử 2.20 Kì vọng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng biến ngẫu nhiên