(TIỂU LUẬN) bài tập lớn ứng dụng thực tế công thức hình học môn giải tích 2 KHỐI vật THỂ được GIỚI hạn bởi mặt TRỤ và các mặt PHẲNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHỐI VẬT THỂ ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI MẶT TRỤ VÀ CÁC MẶT PHẲNG Bài tập lớn ứng dụng thực tế cơng thức hình học mơn Giải tích GVHD: Huỳnh Thị Vu SV thực hiện: Lê Phạm Hữu – 2113635 Lê Khánh Huy – 2110197 Trần Đỗ Trọng Huy – 2113542 Trần Quốc Huy – 2113555 Tp Hồ Chí Minh, Tháng 05/2022 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Mục lục I LỜI CẢM ƠN II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI III BẢNG PHÂN CƠNG NHĨM IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT Mặt trụ không gian [1] Mặt phẳng không gian [2] Tích phân kép [3] Tích phân bội ba [4] 5 Tích phân đường loại [5] 6 Tích phân mặt [6] V BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Bài tập 2: Bài tập 3: Bài tập 4: 11 Bài tập 5: 14 Bài tập tính thể tích vật thể hình xoắn: 16 VI Tổng kết VIITài liệu tham khảo Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 1/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh I LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình hình thành ý tưởng, lên kế hoạch tiến hành thực đề tài tập lớn, nhóm chúng em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ tận tình từ thầy cô, ban bè thông qua giảng nguồn tài liệu tham khảo Bên cạnh đó, nhóm muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Huỳnh Thị Vu – giảng viên hướng dẫn cho đề tài người sẵn sàng giải đáp thắc mắc, qua góp phần giúp tiến độ thực nhóm trì với kế hoạch vạch từ trước Sự tin tưởng tận tâm nguồn động lực to lớn thúc thành viên làm việc chăm chỉ, hiệu quả, đóng góp để xây dựng nên báo cáo hồn thiện Đó kết cuối mà nhóm chúng em mong muốn đạt II GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Chúng ta biết Giải tích mơn học vơ quan trọng vai trị to lớn tính ứng dụng cao thực tế Đây môn học sử dụng hầu hết ngành khoa học lĩnh vực kỹ thuật, cho phép cơng thức hóa tượng, vật, mơ hình diễn xung quanh người tính tốn, giải chúng cách xác Như vậy, thấy, việc dành thời gian cho Giải tích vơ cần thiết, cách giúp chúng xây dựng cho thân tảng kiến thức vững môn khoa học ứng dụng tiền đề để thích nghi, học tốt mơn cịn lại Bài báo cáo phần trình bày nhóm – lớp L19 với đề tài tìm hiểu giải câu hỏi khối vật thể giới hạn mặt trụ mặt phẳng Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 2/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh III BẢNG PHÂN CƠNG NHĨM MSSV 2113635 2110197 2113542 2113555 Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 3/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT Mặt trụ không gian [1] Mặt trụ mặt tạo đường thẳng l giữ nguyên phương di chuyển cho ln ln song song với nó, tựa đường cong ω không đồng phẳng với l • Mặt trụ eliptic: x x • Mặt trụ trịn xoay: a2 + a2 = • Mặt trụ parabolic:x + 2ay = x x • Mặt trụ hyperbolic: a2 − b2 = Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 4/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Mặt phẳng khơng gian [2] Mặt phẳng đối tượng toán học, mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dựng mơ hình, dùng hình bình hành (đối với số mặt phẳng đơn giản) ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hi Lạp đặt dấu ngoặc Tích phân kép [3] Cho hàm f(x,y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1, D2, , Dn có diện tích △S1, △S2, , △Sn.Trong mảnhDi, lấy tùy ý điểm Mi(xi, yi) Lập tổng (gọi tổng tích phân hàm f(x,y)) n Sn = f(xi, yi)△Si i=1 Gọi d(Di) khoảng cách lớn hai điểm Di Nếu tồn giới hạn: lim Sn = x→+∞ Giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm Mi(xi, yi), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu: f(x, y)dS C Tích phân bội ba [4] Cho hàm số f(x,y,z) xác định miền đóng, giới nội Ω không gian Oxyz Chia miền Ω thành n miền nhỏ tích △v1, , △Vn Lấy tùy ý điểm Mi(xi, yi, zi) miền nhỏ thứ i Lấy tổng: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 5/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh n In = i=1 Nếu giới hạn lim In = x→+∞ hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền Ω Mi, f(x,y,z) gọi khả tích miền Ω, I gọi tích phân bội ba hàm f Ω, ký hiệu: f(x, y, z)dV = f(x, y, z)dxdydz [4] Ω Ω Tích phân đường loại [5] Cho hàm số f(M) xác định cung AB Chia cung AB thành n phần tùy ý điểm A = A0 < A1 < An Đặt △li độ dài cung AiAi − cung AiAi − lấy điểm tùy ý Mi Lập tổng: n Sn = f(Mi)△li i=1 Nếu Sn có giới hạn hữu hạn n → ∞ cho max{ li } → i không phụ thuộc vào cách chia cung AiAi−1 cách chọn Mi, S chọn gọi tích phân đường loại f(M) cung AB ký hiệu là: f(M)dl = lim n + →∞ AB Tích phân mặt [6] • Trong tốn học, tích phân mặt tích phân xác định tích bề mặt (có thể tập hợp đường cong khơng gian); xem tích phân kép tích phân đường • Để tính tốn cụ thể tích phân mặt, cần tham số hóa S cách biểu diễn S hệ tọa độ cong, giống kinh độ vĩ độ mặt cầu • Đối với mặt phẳng có hàm f(x,y) cho trước ta xem có kinh độ vĩ độ cần áp dụng cơng thức tính Khi đó, diện tích mặt cong z=f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy D tính theo cơng thức S= + (fx′)2 + (fy′)2 D Đề tập lớn môn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 6/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh V BÀI TẬP ÁP DỤNG Dựng mơ hình vật thể miền giới hạn cho đề (phương trình cụ thể tự cho) Có thể sử dụng: Matlab Geogebra , Trên thực tế mơ hình tương đồng với khối vật thể dựng Bài tập 1: a) Mơ hình: 2 • Mặt trụ: x + y = • Mặt phẳng: z = Hình 1: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh thực tế: Hình trụ trịn phổ biến thực tế có cấu trúc chắn chịu áp lực lớn, vật dụng hình trụ dễ cằm nắm nên ứng dụng nhiều lĩnh vực Hình 1: Hình ảnh vật thể thực tế: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 7/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh c) Tính thể tích khối vật thể: 2 Với x + y = Ta có x = r cos φ; y = r sin φ; D = (r, φ) : ≤ r ≤ 1; ≤ φ ≤ 2π 2φ V= d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: • Diện tích đáy: Sday = 2.π.R = 2.π.1 = 2π • Diện tích xung quanh: Sxq = 2.π.r.h = 2π.1.3 = 6π • Diện tích tồn phần: S = 2Sday + Sxq = 2.2π + 6π = 10π Bài tập 2: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x + 30y = • Mặt phẳng: y = −5; y = 5; x = 3; x = −3 Hình 3: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh tương đồng thực tế: Đối với mơ hình thực tế ta có ứng dụng: • Mái vịm Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 8/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh • Cầu • Rada • v.v Hình 4: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Tính thể tích vật thể: Với x + 30y = x Ta có D = (x, y) : −3 ≤ x ≤ 3; −5 ≤ y ≤ − 302 ; z = 0; z = V= − d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: S = Ldz = D Bài tập 3: a) Mơ hình: x y • Mặt trụ: 92 + 42 = • Mặt phẳng: z = 3; z = Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 5: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh tương đồng thực tế: Mơ hình thực tế sử dụng vật dụng ngày gương, bàn ghế, đồ hộp, Hình 6: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Tính thể tích vật thể: x Với: Ta có: D = V= dx −3 d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 10/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh • Diện tích đáy: S = day D = 2.π = 6π (Đơn vị diện tích) • Diện tích xung quanh: Sxq = dSxq = D • Diện tích toàn phần: S = 2Sday + Sxq = 12π + 47, (Đơn vị diện tích) Bài tập 4: a) Mơ hình: 2 • Mặt trụ: x + y = 2y • Mặt phẳng: z = 12 − 0.5x; z = + xy Hình 7: Hình ảnh vật thể khơng gian: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 11/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh b) Các hình ảnh thực tế: Trong kháng chiến chống Mỹ cứu nước để tránh bị máy bay địch phát hoạt động nấu ăn cao gần anh hùng ni qn Hồng Cầm phát bếp tên ơng Cấu tạo bếp gồm phần bếp phần ống khói với phần ống khói cấu tạo gồm nhiều ống khác tản khói khơng khí Mơ hình hình ảnh ống khói bếp Hồng Cầm nhơ lên phần lỏm hai mơ đất, đầu cắt xiên Hình 8: Hình ảnh cấu tạo bếp Hồng Cầm c) Tính thể tích vật thể: 1 Miền Ω giới hạn mặt z = 12 − , mặt z = + xy mặt 2 xung quanh hình trụ với phương trình x + y = 2y Theo cơng thức tính tích phân bội ba, ta có: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 12/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh V= D (x, y) : ≤ y ≤ 2; − 2y − y ≤ x ≤ 2y − y2 D= Bằng phép đổi biến x = rcosφ, y = rsinφ, chuyển miền D sang hệ tọa độ trụ Khi đó: D= (r, φ) : ≤ r ≤ 2sinφ; ≤ φ ≤ π Như vậy, π 2sinφ V= = sinφ) 18.sin φ − = d) Tính diện tích bề mặt bao quanh vật thể: * Diện tích mặt phẳng biên (C1): 2 • Giao mặt trụ x + y = 2y mặt phẳng z = + xy • Miền D hình chiếu mặt cong z = + xy mặt phẳng Oxy nẳm 2 mặt trụ x + y = 2y Ta có: D= S (C1) (x, y) : ≤ y ≤ 2; − 2y − y ≤ x ≤ 2y − y2 = D √ 2y−y = − *Diện tích mặt trụ bao quanh vật thể (C2): √ 2y−y 2 2 • Giao mặt trụ x + y = 2y hai mặt phẳng z = 12 − x, z = + xy • Theo cơng thức tính tích phân đường loại 1, ta tham số hóa sau: Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 13/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh = x S (C2) ( 2π cos t); y = sin(t) với = 12 − vị diện tích) Bài tập 5: a) Mơ hình: • Mặt trụ: x = cos(φ)(1 − sin(φ)) < φ < 2π y = sin(φ)(1 − sin(φ)) • Mặt phẳng: z1 = 0; z2 = + y Hình 9: Hình ảnh vật thể khơng gian: b) Các hình ảnh thực tế: Trong dịp lễ hội, người ta dự định làm tường hoa hình trái tim trồng hoa hồng đỏ dọc phần cung màu đỏ, kết hoa thành hồng vàng dọc tường vàng Vật thể cịn dùng làm mẫu trang trí vương miệng Đề tập lớn mơn Giải tích (MT1005) - Niên khóa 2021-2022 Trang 14/20 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Hình 10: Hình ảnh vật thể thực tế: c) Thể tích vật thể: Miền Ω giới hạn mặt z10; z2 = + y mặt xung quanh hình trụ với phương trình tọa độ cực x = cos(φ)(1 − sin(φ)) y = sin(φ)(1 − sin(φ)) Theo cơng thức tích phân bội ba, ta có: 2+y 0