§Ò thi Trêng THPT Phan §¨ng Lu Tæ To¸n Tin o0o §Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 N¨m häc 2006 2007 ( M«n To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót) C©u 1 (2 ®iÓm) Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C) 1) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµ[.]
Trờng THPT Phan Đăng Lu Tổ: Toán-Tin o0o Câu (2 điểm) Cho hàm số y Đề thi thử đại học lần Năm học 2006 - 2007 ( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút) x2 3x , có đồ thị (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số trên; 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biÕt r»ng tiÕp tun ®ã víi hai ®êng tiƯm cËn (C), tạo thành tam giác Câu (2 điểm) Giải phơng trình sau: x tg cos x sin x ; 1) x x cot g tg 2 2) 2(log9x) = log3x log3( x ) Câu (3 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vuông A, D BiÕt r»ng AB = AD = SD = a, CD = 2a (a số dơng cho trớc) SD(ABCD) a) Chứng minh tam giác SBC tam giác vuông; b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC (cân A) Cạnh BC, trung tuyến từ đỉnh B tam giác có phơng trình lần lợt (d1): y - = 0, (d2): 2x 3y + = §êng trung tuyÕn từ đỉnh C qua điểm M( cạnh lại tam giác ; 4) Lập phơng trình Câu (1 điểm) Cho tôn hình vuông cạnh a Ngời ta cắt bốn góc bốn hình vuông nhau, gập tôn lại để đợc hộp không nắp (hộp chữ nhật) Tìm cạnh hình vuông bị cắt cho thể tÝch cđa khèi hép lín nhÊt 2 2 C©u (1 điểm) Tính tích phân I = x dx 2 x 2 C©u (1 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức T 1 ; 3 x y y z z x3 víi x, y, z ba số dơng thay đổi thoả mÃn xyz = -HÕt (Lu ý: HS thi khối B không làm câu phần 1b); HS thi khối D không làm câu phần 1).) Hớng dẫn chấm (Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Trờng THPT Phan Đăng Lu) Nội dung Điểm Câu (KB:2.5) (KD:3.0) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hµm sè y x2 (KB: 1.5) (KD: 2) 3x 3x2 3 TX§: D =(-∞; 0) (0; +∞); y’ = ; y’ = x = 0.25 (KD:0.5) 3x yC§ = y(- ) = -2; yCT = y( ) = 2; đờng thẳng x = tiệm cận đứng, đờng thẳng y x tiệm cận xiên đồ thị hàm số Bảng biến thiên x - + y y Đồ thị - -2 -∞ +∞ - - + 0.25 +∞ +∞ -∞ 0.25 (KD:0.5) (KB:0.5) (KD:0.5) ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 0.25 (KB:0.5) (KD:0.5) 2) Viết phơng trình tiếp tuyến Vì hệ số góc tiệm cận xiên k = 1/ nên góc tiệm cận xiên tiệm cận đứng 600 Do ®ã tiÕp tun t víi hai tiƯm cËn tđ , tx tạo thành tam giác t d ( d phân giác gãc 0.25 (t®Otx)) t® tx O t d HƯ sè góc d kd = , nên hệ sè gãc cđa t lµ kt =-1/ Suy x0 3 = - 1/ ( víi x0 lµ hoµnh x0 0.25 ®é tiÕp ®iÓm) x0 = suy y0 = 3/ 0.25 Do phơng trình tiếp tuyến thoả mÃn toán y Câu x2 hoac y x 2 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1) 0.25 (KB: 1.5) (KD: 2) x k (k ) §K: ; x cot g 0.25 (KD: 0.5) Khi phơng trình tơng đơng với cos x sin x cos x sin x 1 (*) x x cot g cot g 2 x x x x x x x x 2(cos sin ) (cos sin ) 0 (cos sin )(cos 3sin ) 0 2 2 2 2 x x cos sin 0 cos x 3sin x 0 2 x l ( voi l ) x 2l cot g x 3 (loai) §èi chiÕu §K ta có nghiệm phơng trình x = -/2 + 2l ( với l Z) (HS đặt t = tg(x/2); giải (*) cách chia hai vế cho , nh sẻ khó khăn việc loại nghiệm không thích hợp) 2) ĐK: x > 0; 2(log9x)2 = log3x log3( x ) (log3x)2 - log3x log3( x ) = 0.25 (KD: 0.5) 0.25 (KB: 0.5) (KD: 0.5) 0.25 (KB: 0.5) (KD: 0.5) 0.25 log3x ( log3x - log3( x )) = 0.25 • log3x = x = 1; • log3x - log3( x ) = x 2x 0.25 x 0 (loai) x 1 2x 1 x x x Vậy nghiệm phơng trình x = 1, x = Câu ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1) (Lu ý: HS thi khèi B kh«ng làm câu phần 1b); HS thi khối D không làm câu phần 1).) Vì SD (ABCD) nên tam giác SDC, SDB, tam giác vuông Suy S 0.25 0.25 SC SD DC a a) 1® F D C ABCD hình thang vuông A, D AB = AD = CD = a Suy BD AD AB a A B E E = DA CB, F lµ Gäi trung ®iĨm cđa CD (HS cã thĨ chØ CBBD råi suy CBSB) 0.25 BC BF FC a Do ®ã SB SD BD a Tam gi¸c SBC cã SC a , SB a , 2 BC a suy SC = SB + BC tam giác SBC vuông B 0.25 0.25 d(D, (SEC)) 0.25 (vì AB song song nửa CD nên A trung điểm ED) NÕu gäi h = d(D, (SEC)) th× ta cã 1 1 1 0.5 2 2 h DC DE DS 4a 4a a 2a ( DC, DE, DS đôi vuông gãc) VËy d(A, (SBC)) = a 0.25 d(A, (SBC)) = d(A, (SEC)) = b) 1® S F D A 2) C (Häc sinh cã thÓ tÝnh K/c(A, (SBC)) cách tính thể tích khối SABC dt(SBC)) ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) B y 0 B = d1d2 B: B(0; 1) 0.25 x y 0 M(-1/2;4 ) I d2 M d2 nên M không trọng tâm tam giác Gọi d d3 đờng thẳng qua M song song víi BC (d1) Suy N (d3): y = Gäi N =d2d3 suy N(9/2; 4) Do G trung điểm MN I(2; 4) Vì tam giác ABC cân 0.25 A nên I AH ( AH trung tuyến đờng cao tam giác) Suy đờng thẳng AH có phơng trình x = B H C d1 H = d1 AH H(2; 1) C(4; 1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, G = AH d2 0.25 G(2; 7/3) Suy A(2; 5) E A Tõ ®ã ta cã AB: 2x - y + = 0; AC: 2x + y - = 0.25 C©u ( Trêng THPT Phan Đăng Lu ) Gọi x cạnh hình vuông bị cắt (điều kiện: < x < a/2) Khi thể tích khối hộp tạo thành V = x(a - 2x)2 ( HS không đặt điều kiện không cho điểm phần này) 0.25 Cách Xét hàm số V(x) = x(a - 2x)2 (trên (0; a/2)) Ta cã V’ = 12x2 - 8ax + a2; x V’ V a/6 + a/2 - 2a 27 0.5 Cách Vì < x < a/2 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số d¬ng 4x, a - 2x, a - 2x ta cã 4V = 4x(a - 2x)2 (2a/3)3, dÊu b»ng x = a/6 Suy MaxV = 2a x = a/6 Vậy khối hộp tạo thành tích lớn 27 0.25 hình vuông bị cắt có cạnh x = a/6 Câu5 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 2 I= x dx ; Đặt y = x - 1; I = 2 x 2 2 y dy y 0.25 Đặt y = cost (víi t [0; ] ); ta cã t t cos 4 t sin t dt sin t dt cos dt (1 cos t ) dt t t sin 2sin 6 2 cos I 4 I t sin t 6 VËy I = 12 12 Câu6 ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 2 Ta cã (x - y) x - xy + y2 xy x3 + y3 (x + y)xy (v× x > 0, y > 0) Céng hai vÕ víi xyz = ta cã x3 + y3 + (x + y + z)xy > (v× z > 0) Suy 1 xyz z x3 y ( x y z ) xy ( x y z ) xy x y z , dÊu “ =” xÉy x = y x ; dÊu “ =” xÉy y = z; y z 1 x y z y ; dÊu “ =” xÉy z = x 3 z x 1 x y z LËp luËn t¬ng tù ta cã Suy 0.5 0.25 0.25 0.25 1 x y z 1 ; 3 x y 1 y z 1 z x 1 x y z x y z x y z 0.25 dÊu “ =” xÉy x = y = z Vậy giá trị lớn cña T b»ng x = y = z = ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 0.25 ... -HÕt (Lu ý: HS thi khối B không làm câu phần 1b); HS thi khối D không làm câu phần 1).) Hớng dẫn chấm (Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Trờng THPT Phan Đăng Lu) Nội dung Điểm Câu (KB:2.5)... x x 4 VËy nghiệm phơng trình x = 1, x = Câu ( Trờng THPT Phan Đăng Lu ) 1) (Lu ý: HS thi khối B không làm câu phần 1b); HS thi khối D không làm câu phần 1).) Vì SD (ABCD) nên tam giác... y x tiệm cận xiên đồ thị hàm số Bảng biến thi? ?n x - + y y Đồ thị - -2 -∞ +∞ - - + 0.25 +∞ +∞ -∞ 0.25 (KD:0.5) (KB:0.5) (KD:0.5) ( Trêng THPT Phan Đăng Lu ) 0.25 (KB:0.5) (KD:0.5) 2) Viết phơng