ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 14 Định lý Green trong mặt phẳng, Định lý phân kỳ trong không gian 3 chiều, định lý Stokes LỚP L3.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 14: Định lý Green mặt phẳng, Định lý phân kỳ không gian chiều, định lý Stokes LỚP L33 _ NHÓM 14 GV LÝ THUYẾT: Bùi Thị Khuyên GV BÀI TẬP: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như Tp.HCM, 4/ Danh sách thành viên: MSSV Họ tên Ghi 2114572 Nguyễn Huỳnh Minh Quốc Định lí Stokes 2114660 Nguyễn Đăng Hồng Sơn Định lí Green 2114691 Nguyễn Thành Tài Tổng hợp word 2114703 Võ Thành Tài Định lí phân kì MỤC LỤC TĨM TẮT BÀI BÁO CÁO LỜI CẢM ƠN DANH MỤC HÌNH ẢNH ĐỊNH LÝ GREEN TRONG MẶT PHẲNG 1.1 1.2 1.3 1.4 TỔNG QUAN: ĐỊNH LÍ GREEN: CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ GREEN TRONG TRƯỜNG HỢP D LÀ MIỀN ĐƠN BÀI TẬP ỨNG DỤNG .10 ĐỊNH LÝ STOKES 12 1.1 1.2 1.3 1.4 TỔNG QUAN 12 ĐỊNH LÝ STOKES: 12 CHỨNG MINH MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ STOKES .13 BÀI TẬP ỨNG DỤNG .14 ĐỊNH LÝ PHÂN KỲ TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU 17 1.1 1.2 1.3 1.4 TỔNG QUAN 17 ĐỊNH LÝ PHÂN KỲ: 17 CHỨNG MINH: 17 BÀI TẬP ỨNG DỤNG .19 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO Bài báo cáo thực dựa kiến thức tích lũy thành viên nhóm thơng qua q trình học tập từ giáo viên lớp tham khảo từ sách CALCULUS A COMPLETE COURSE - Robert A Adam, Christopher Essex Bài báo cáo gồm định lý , định lý chúng em chia làm hai phần với bố cục sau: Phần 1: Nêu kiến thức tổng quát nội dung định lý, chứng minh vài trường hợp Phần giúp người đọc hiểu rõ kiến thức lý thuyết định lý để dễ dàng áp dụng vào q trình giải tốn Phần 2: Ứng dụng định lý vào giải vài toán Ở phần chúng em cố gắng đưa lời giải chi tiết để giúp người đọc trau dồi kiến thức, áp dụng tham khảo thêm vài kỹ trình làm tập LỜI CẢM ƠN Nhóm nghiên cứu xin chân thành gửi lời cảm ơn đến cô Bùi Thị Khuyên cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như môn giải tích trường đại học Bách Khoa Tp.HCM cung cấp kiến thức dẫn hướng để nhóm hồn thành tốt đề tài nghiên cứu DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình ảnh 1: Đường cong C miền D bị chặn C Hình ảnh .8 Hình ảnh .9 Hình ảnh .11 Hình ảnh .12 Hình ảnh .14 Hình ảnh .15 Hình ảnh .16 Hình ảnh .19 Hình ảnh 10 20 Hình ảnh 11 21 Hình ảnh 12: Trường véc tơ F=x^2 i+y^2 j 22 Định lý Green mặt phẳng Hình ảnh 1: Đường cong C miền D bị chặn C 1.1 Tổng quan: Định lý Green cho ta mối quan hệ tích phân đường quanh đường cong đơn đóng C tích phân kép miền D bị chặn C (Xem Hình Ta giả sử D bao gồm tất điểm C tất điểm C ) Trong việc phát biểu Định lý Green, ta sử dụng quy ước hướng dương đường cong đơn đóng C việc ngược chiều kim đồng hồ lần C Như vậy, C cho bời hàm véc tơ r ( t ) , a ≤ t ≤ b , miền D ln ln phía bên trái điểm r (t) C (Xem Hình 2.) Hình ảnh (a) Hướng dương (b) Hướng âm 1.2 Định lí Green: Cho C đường cong đơn đóng, trơn khúc hướng theo chiều dương mặt phẳng, D miền bị chặn C Nếu P Q có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D thì: ❑ ❑ ∫ Pdx+Qdy=∬ C D ( ∂∂Qx − ∂∂ Py ) dA Chú ý: Ký hiệu: ❑ ∮ Pdx+Qdy C sử dụng để tích phân đường tính sử dụng hướng dương đường cong đóng C Một ký hiệu khác biên D định hướng ∂ D , phương trình Định lý Green viết là: ❑ ∬( D ❑ ∂Q ∂P − dA=∫ Pdx+ Qdy ∂x ∂ y ∂D ) Định lý Green khơng dễ để chứng minh cách tổng quát, ta chứng minh trường hợp đặc biệt, miền xác định miền loại I miền loại II Ta gọi miền miền đơn (simple regions) 1.3 Chứng minh định lí Green trường hợp D miền đơn Để ý Định lý Green chứng minh ta rằng: ❑ ❑ ∫ Pdx=−∬ ∂∂ Py dA (2) C D và: ❑ ❑ C D ∫ Qdy=∬ ∂∂Qx dA (3) Ta chứng minh phương trình (2) cách biểu diễn D dạng miền loại I: D= {( x , y )|a ≤ x ≤ b , g ( x ) ≤ y ≤ g2 ( x ) } đó, g1 , g2 hàm liên tục Điều cho phép ta tính tích phân kép vế phải phương trình (2) sau: ❑ b g2 ( x ) b ∫ ∂∂ Py dA=∫ ∫ ∂∂ Py (x , y )dydx =∫ [ P (x , g2 ( x ) )−P( x , g ( x ) )] dx (4) D a g (x) a đẳng thức cuối suy từ Định lý giải tích Hình ảnh Bây giờ, ta tính vế trái phương trình (2) cách chia C thành hợp bốn đường cong C1 , C2 , C3 ,C Hình Trên C1 , ta lấy x tham số viết phương trình tham số x=x , y =g ( x ) , a ≤ x ≤ b Như vậy: x, P (¿¿ g1 ( x ) ) dx b P( x , y ) dx=∫ ¿ a ❑ ∫¿ C1 Quan sát C3 từ phải sang trái, C3 từ trái sang phải, −C3 ta viết phương trình tham số x=x , y =g ( x ) , a ≤ x ≤b Vì vậy: ❑ b ❑ ∫ P( x , y)dx=− ∫ P ( x , y )dx =−∫ P( x , g2 ( x ))dx C3 a −C3 Trên C2 C (hai miền rút gọn lại thành điểm nhất), x số, suy dx=0 , và: ❑ ❑ ∫ P( x , y)dx=0=∫ P( x , y )dx C2 C4 Vì vậy: ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ∫ P(x , y) dx=∫ P( x , y)dx +∫ P (x , y ) dx+∫ P(x , y) dx +∫ P( x , y )dx C C1 C2 C3 C4 x, b P(¿ g1 ( x ))−∫ P(x , g2 ( x ) )dx a b ¿∫ ¿ a So sánh biểu thức với phương trình (4), ta thấy rằng: ❑ ❑ C D ∫ P(x , y) dx=−∬ ∂∂ Dy dA Phương trình (3) chứng minh tương tự cách biểu diễn D thành miền loại II Khi đó, cộng hai phương trình (2) (3) lại với nhau, ta thu Định lý Green 1.4 Bài tập ứng dụng ❑ Ví dụ 1: Tính: ∫ x dx + xydy , C hình tam giác bao gồm C đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 0), từ (1, 0) đến (0, 1) từ (0, 1) đến (0, 0) Hình ảnh GIẢI: Mặc dù sử dụng tích phân đường để tính tốn thơng thường, nhiên liên quan đến việc thiết lập ba tích phân riêng biệt theo ba cạnh hình tam giác, ta sử dụng Định lý Green Để ý miền D bao quanh C miền đơn C có hướng dương (Xem Hình 4,) Nếu ta đặt P ( x , y )=x Q(x , y )=xy , thì: ❑ ∫x ❑ dx + xydy=∬ C D ( 1− x ∂Q ∂P − dA=∫ ∫ ( y −0)dydx ∂x ∂ y 0 ) ¿ ∫ ( 1−x )2 dx= 16 ❑ ∮ ( y−e sinx ) dx + ( x + √ y +1 ) dy Ví dụ 2: Tính , C đường tròn C 2 x + y =9 GIẢI : Miền D bị chặn C miền x 2+ y ≤ , ta chuyển sang tọa độ cực sau áp dụng Định lý Green: ( y−e sinx ) dx + ( x + √ y +1 ) dy ¿ ❑ ∮¿ C ❑ ¿∬ D [ ∂ ( x + √ y +1 )− ∂ ( y −e sinx ) dA ∂x ∂y ] 2π 2π ¿ ∫ ∫ ( 7−3 ) rdrdθ=4 ∫ dθ ∫ rdr=36 π 0 0 Trong Ví dụ Ví dụ 2, ta thấy tính tích phân kép dễ tính tích phân đường Tuy nhiên, đơi tính tích phân đường lại dễ hơn, Định lý Green sử dụng theo chiều ngược lại Ví dụ, ta biết P ( x , y )=Q ( x , y )=0 đường cong C , Định lý Green cho ta: ❑ ∬( D ❑ ∂Q ∂P − dA=∫ Pdx+ Qdy=0 ∂x ∂ y C ) không quan trọng giá trị mà P Q nhận miền 10 D Một ứng dụng khác hướng ngược lại Định lý Green tính ❑ diện tích Vì diện tích D ∬ 1dA nên ta chọn P Q D cho: ∂Q ∂ P − =1 ∂x ∂y Có vài khả sau đây: P ( x , y )=0 P ( x , y )=− y P ( x , y )= −1 y Q ( x , y )=x Q ( x , y ) =0 Q ( x , y )= x Khi đó, Định lý Green cho ta cơng thức tính diện tích miền ❑ ❑ ❑ A=∮ xdy =−∮ ydx= C C D sau: ∮ xdy − ydx ( ) 2C Ví dụ 3: Tính diện tích bao quanh đường ellipse x2 y2 + =1 a2 b2 GIẢI: Hình ellipse có phương trình tham số x=acost , y=bsint , ≤t ≤2 π Sử dụng công thức thứ ba phương trình (5), ta có: ❑ A= ∫ xdy − ydx 2C 2π ¿ ∫ ( acost )( bcost ) dt−( bsint )(−asint ) dt 2π ¿ ab ∫ dt =πab 11 Định lý Stokes Hình ảnh 1.1 Tổng quan Định lý Stokes coi Định lý Green không gian nhiều chiều Trong định lý Green liên hệ tích phân kép miền phẳng D với tích phân đường biên phẳng miền đó, Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt mặt S với tích phân đường biên S (là đường cong không gian) Hình biểu diễn mặt định hướng với véc tơ pháp tuyến đơn vị n Hướng S suy hướng dương đường biên C biểu diễn hình Điều có nghĩa ta bước theo hướng dương C với đầu ta theo hướng véc tơ pháp tuyến n, mặt S ln ln phía bên trái ta 1.5 Định lý Stokes: Cho S mặt định hướng trơn khúc bị chặn biên đơn, đóng, trơn khúc C có hướng dương Cho F trường véc tơ với thành phần có đạo hàm riêng liên tục miền mở R3 chứa S Khi đó: ❑ ❑ ∫ F dr =∬ curl F dS C S ****************** Vì: ❑ ❑ ∫ F dr =∫ F T ds C C ❑ ❑ ∬ curl F dS=∬ curl F n dS S S Nên Định lý Stokes nói tích phân đường biên S thành phần tiếp tuyến F với tích phân mặt S thành phần pháp tuyến curl F Biên định hướng mặt đinh hướng S thường viết ∂ S , nên Định lý Stokes biểu diễn là: ❑ ❑ ∬ curl F dS=∫ F dr (1) S ∂S 12 Mặc dù Định lý Stokes khó để chứng minh cách tổng quát, ta chứng minh S đồ thị F, S ,C có dáng điệu đẹp 1.6 Chứng minh trường hợp định lí Stokes Hình ảnh Giả sử phương trình S có dạng z=g ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , với g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục D miền phẳng đơn có biên C1 tương ứng với C Nếu hướng S hướng lên hướng dương C tương ứng với hướng dương C1 (xem Hình 2.) Ta cho F = P i + Q j + R k, với đạo hàm riêng P ,Q , R liên tục Vì S đồ thị hàm nên ta có: ❑ ❑ ∂ z ∂P ∂ R ∂z ∂Q ∂ P − − + − dA (2) ∬ curl F dS=∬ − ∂∂ Ry − ∂Q ∂z ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y S D [( ) ( ) ( )] đạo hàm riêng P ,Q , R tính ( x , y , g ( x , y ) ) Nếu: x=x ( t ) y= y ( t ) a ≤ t ≤ b phương trình tham số C1 , phương trình tham số C là: x=x ( t ) y= y ( t ) z=g ( x ( t ) , y ( t ) ) a ≤t ≤b Điều cho phép ta tính tích phân đường với trợ giúp quy tắc chuỗi sau: b ❑ dy dz +Q + R dt ∫ F dr =∫ P dx dt dt dt C a ( b ) dx dy ∂ z dx ∂ z dy +Q + R + dt dt dt ∂ x dt ∂ y dt ( )] [ ∫ [( ) ( ) ] ∫( ∬[ ( ) ( )] ¿∫ P a b ¿ a ❑ ¿ D ∂ z dx ∂ z dy P+ R + Q+ R dt ∂ x dt ∂ y dt ❑ ¿ C1 P+ R ∂z ∂z dx + Q+ R dy ∂x ∂y ) ( ) ∂ ∂z ∂ ∂z Q+ R − P+ R dA ∂x ∂y ∂y ∂x ta sử dụng Định lý Green bước cuối Khi đó, sử dụng quy tắc chuỗi lần nhớ P ,Q , R hàm x , y , z z hàm x y , ta thu được: 13 ❑ ❑ ∫ F dr =∬ C − D ( [( ∂Q ∂ Q ∂ z ∂ R ∂ z ∂ R ∂ z ∂ z ∂2 z + + + +R ∂x ∂ z ∂x ∂x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂x ∂ y ) )] ∂ P ∂ P ∂ z ∂R ∂ z ∂R ∂z ∂z ∂ z + + + +R dA ∂ y ∂z ∂ y ∂ y ∂x ∂ z ∂ y ∂ x ∂ y∂ z Bốn số hạng tích phân kép bị triệt tiêu sáu số hạng cịn lại xếp để trùng khớp với vế phải phương trình (2) Vì thế: ❑ ❑ ∫ F dr =∬ curl F dS C S 1.7 Bài tập ứng dụng ❑ Ví dụ 1: Tính ∫ F dr , F ( x , y , z )=− y i+ x j+ z k C C đường cong giao điểm mặt phẳng y + z=2 mặt trụ (Hướng C ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ bên trên.) GIẢI: Đường cong C 2 x + y =1 (là ellipse) biểu diễn Hình Mặc dù ❑ ∫ F dr tính trực tiếp, dễ ta sử dụng Định lý C Stokes Trước tiên ta tính: i j k ∂ ∂ ∂ curl F= =( 1+2 y ) k ∂ x ∂ y ∂z − y2 x z2 [ ] Hình ảnh Mặc dù có nhiều mặt có biên C , lựa chọn tiện lợi miền ellip S mặt phẳng y + z=2 bị chặn C Nếu ta hướng S lên trên, C có hướng dương Hình chiếu D S lên mặtphẳng xy miền tròn x 2+ y ≤1 , nên với z=g ( x , y )=2− y , ta có: 14 ❑ ❑ 2π ❑ ∫ F dr =∬ curl F dS=∬ ( 1+ y ) dA C S 2π ¿∫ D ¿ ∫ ∫ ( 1+ 2rsinθ ) rdrd 0 ¿ ( π ) +0=π ( 12 + 23 sinθ )dθ ❑ Ví dụ 2: Sử dụng Định lý Stokes để tính tích phân ∬ curl F dS , S F ( x , y , z )=xz i+ yz j+ xy k S phần mặt cầu x 2+ y + z 2=4 nằm mặt trụ x 2+ y =1 mặt phẳng xy (Xem Hình 4.) Hình ảnh GIẢI: Để tìm đường biên C , ta giải phương trình x 2+ y + z 2=4 2 x + y =1 Trừ đi, ta z =3 z=√ (vì z> ¿ Như vậy, C đường tròn cho phương trình x 2+ y =1 , z=√ Phương trình véc tơ C là: r ( t ) =cost i+ sint j+ √ k ≤t ≤ π Nên: r ' ( t )=−sint i+ cost j Ta có: F ( r ( t ) )=√ cost i+ √ sint j+ costsint k Vì vậy, theo Định lý Stokes: 2π ❑ curl F dS=∫ F dr =¿ ∫ F ( r ( t ) ) r ' ( t ) dt C ❑ ∬¿ S 2π 2π ¿ ∫ (−√ cost sint + √ sint cost ) dt ¿ √ 3∫ dt =0 Để ý Ví dụ 2, ta tính tích phân mặt cách đơn giản biết giá trị F biên C Điều có nghiĩa ta có mặt định hướng khác với với biên C ta thu giá trị giống y hệt cho tích phân mặt Tổng quát, S S mặt định hướng với biên định hướng C thỏa mãn giả thiết Định lý Stokes, đó: 15 ❑ ❑ ❑ ∬ curl F dS=∫ F dr=∫ curl F dS(3) S1 C S2 Tính chất hữu ích việc tính tích phân mặt khó khăn lại dễ tính với mặt cịn lại 16 Định lý phân kỳ không gian ba chiều 1.1 Tổng quan Ta có cơng thức Định lý Green theo dạng véc tơ sau: ❑ ❑ ∫ F n ds=∬ ¿ F ( x , y ) dA C D với C đường cong có biên hướng dương miền phẳng D Nếu ta muốn mở rộng định lý sang trường véc tơ R3 , ta đốn rằng: ❑ ❑ ∬ F n dS=∭ ¿ F ( x , y , z ) dV ( ) S E với S mặt biên miền E Phương trình (1) hóa lại giả thiết phù hợp, gọi Định lý phân kỳ Để ý tương đồng với Định lý Green Định lý Stokes chỗ liên hệ tích phân đạo hàm hàm (div F trường hợp này) miền với tích phân hàm F ban đầu biên miền 1.8 Định lý phân kỳ: Cho E miền đơn cho S mặt biên E với hướng dương (bên ngoài) Cho F trường véc tơ với hàm thành phần có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa E Khi đó: ❑ ❑ ∬ F dS=∭ ¿ F dV S E Như vậy, Định lý phân kỳ phát biểu rằng, điều kiện cho, thông lượng F qua mặt biên E với tích phân bội ba phân kỳ F E 1.9 Chứng minh: Cho F P i+ Q j+ = R k Khi đó: ∂ P ∂Q ∂ R + + ∂x ∂ y ∂ z nên: ❑ ❑ ❑ ❑ ∂P ∂Q ¿ F dV = dV + dV + ∭ ∭ ∂ x ∭ ∂ y ∭ ∂∂ Rz dV E E E E Nếu n véc tơ pháp tuyến đơnvị hướng ngồi S tích phân mặt vế trái Định lý phân kỳ là: ¿ F= ❑ ❑ ❑ ∬ F dS=∬ F n dS=∬ ( P i+Q j+ R k ) n dS S S ❑ S ❑ ❑ ¿∬ P i n dS+∬ Q j n dS+∬ R k n dS S S S 17 Vì vậy, để chứng minh Định lý phân kỳ, ta cần chứng minh ba phương trình sau đây: ❑ ❑ ∬ P i n dS=∭ S E ❑ ❑ S E ❑ ∂P dV ( ) ∂x ❑ ∬ Q j n dS=∭ S E ∂Q dV ( ) ∂y ∬ R k n dS=∭ ∂∂Rz dV ( ) Để chứng minh phương trình (4), ta sử dụng tích chất E miền loại I: E= {( x , y , z )|( x , y ) ∈ D ,u1 ( x , y ) ≤ z ≤u ( x , y ) } Với D hình chiếu E lên mặt phẳng xy Vì vậy, ta có: ❑ ❑ ∂R ∭ ∂ z dV =∬ E D [ u2 ( x , y ) ] ∂R ( x , y , z ) dz dA ∂z u (x,y) ∫ Và thế, theo Định lý giải tích, ta có: ❑ ❑ ∭ ∂∂ Rz dV =∬ [ R ( x , y , u2 ( x , y ) )−R ( x , y ,u ( x , y ) ) ] dA(5) E D Hình ảnh Mặt biên S bao gồm ba phần: mặt đáy S , mặt S , mặt bên thẳng đứng S nằm biên D (Xem Hình S khơng có trường hợp hình cầu) Để ý S ta có k n = 0, k véc tơ thẳng đứng n véc tơ nằm ngang, vậy: ❑ ❑ ∬ R k n dS=∬ dS=0 S3 S3 Như vậy, có mặt thẳng đứng hay khơng ta viết: ❑ ❑ ❑ ∬ R k n dS=∬ R k ∙ n dS +∬ R k n dS ( ) S S1 S2 Phương trình S z=u2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D hướng n lên phía trên, nên ta có: ❑ véc tơ pháp tuyến ❑ ∬ R k n dS=∬ R ( x , y ,u ( x , y ) ) dA S2 D Trên S ta có z=u1 ( x , y ) , véc tơ pháp tuyến hướng ngồi n xuống phía nên ta nhân với −1 : 18 ❑ ❑ ∬ R k n dS=−∬ R ( x , y ,u ( x , y )) dA S1 D Vì phương trình (6) cho ta: ❑ ❑ ∬ R k n dS=∬ [ R ( x , y , u2 ( x , y ) )−R ( x , y , u1 ( x , y ) ) ] dA S D So sánh với phương trình (5), rằng: ❑ ❑ R k n dS= ∬ ∭ ∂∂Rz dV S E Phương trình (2) (3) chứng minh tương tự việc biểu diễn dạng miền loại II loại III tương ứng E 1.10 Bài tập ứng dụng Ví dụ 1: Tìm thơng lượng trường véc tơ F ( x , y , z )=z i+ y j+ x k mặt cầu đơn vị x 2+ y + z 2=1 GIẢI: Đầu tiên, ta tính phân kỳ F: ∂ ∂ ∂ divF = ( z ) + ( y )+ ( x )=1 ∂x ∂y ∂z Mặt cầu đơn vị S biên hình cầu đơn vị B : x 2+ y + z ≤ Vì thế, Định lý phân kỳ cho ta thông lượng là: ❑ ❑ ❑ ∬ F dS=∭ divFdV =∭ dV =V ( B ) = 43 π ( )3= 43 π S B B ❑ Ví dụ 2: Tính ∬ F dS , đó: S F ( x , y , z )=xyi+ ( y +e x z ) j+sin ( xy ) k S mặt miền E bị chặn hình trụ parabolic: phẳng z=0, y=0 y + z=2 (Xem hình 2.) z=1−x mặt Hình ảnh 10 GIẢI: Sẽ khó để tính tích phân mặt cho cách trực tiếp (ta phải tính bốn tích phân mặt tương ứng với bốn mặt S ) Hơn nữa, phân kỳ phức tạp F nhiều: ∂ ∂ xz divF = ( xy ) + ( y +e ) + ∂ ( sinxy )= y +2 y=3 y ∂x ∂y ∂z 19 Vì vậy, ta sử dụng Định lý phân kỳ để biến đổi tích phân mặt cho thành tích phân bội ba Cách đơn giản để tính tích phân bội ba biểu diễn E dạng miền loại 3: E= {( x , y , z )|−1 ≤ x ≤ 1,0≤ z ≤ 1−x , 0≤ y ≤2−z } Khi đó, ta có: ❑ ❑ ❑ ∬ F dS=∭ ¿ F dV =∭ y dV S E E 2 1−x 2−z ¿ 3∫ −1 ∫∫ 0 1− x ydydzdx=3 ∫ ∫ −1 ( 2−z )2 dzdx ¿− ∫ [ ( x 2+ ) −8 ] dx −1 184 35 Mặc dù ta chứng minh Định lý phân kỳ cho trường hợp miền đơn, định lý chứng minh cho miền hợp hữu hạn miền đơn (Cách chứng minh tương tự chứng minh sử dụng cho việc mở rộng Định lý Green.) ¿−∫ ( x6 +3 x +3 x 2−7 ) dx= Hình ảnh 11 Ví dụ, xét miền E nằm mặt đóng S S , với S nằm S Gọi n1 n2 véc tơ pháp tuyến hướng S S Khi đó, mặt biên E S=S1 ∪ S véc tơ pháp tuyến n cho n=−n1 S n=n2 S (Xem Hình 3.) Áp dụng Định lý phân kỳ vào S , ta được: ❑ ❑ ❑ ❑ ∭ ¿ F dV =∬ F dS−∬ F n dS ( ) E S ❑ S ❑ ¿∬ F (−n1 ) dS+∬ F n2 dS S1 S2 ❑ ¿−∬ F dS+∬ F dS S1 S2 Ví dụ 3: Xét điện trường: εQ E ( x )= x | x| điện tích Q có vị trí gốc tọa độ x=⟨ x , y , z ⟩ véc tơ vị trí Sử dụng Định lý phân kỳ để thông lượng điện E qua mặt đóng S chứa gốc tọa độ là: ❑ ∬ E dS=4 πεQ S2 20 ... Ghi 21 145 72 Nguyễn Huỳnh Minh Quốc Định lí Stokes 21 14660 Nguyễn Đăng Hồng Sơn Định lí Green 21 14691 Nguyễn Thành Tài Tổng hợp word 21 14703 Võ Thành Tài Định lí phân kì MỤC LỤC TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO... S 2? ? ¿∫ D ¿ ∫ ∫ ( 1+ 2rsinθ ) rdrd 0 ¿ ( π ) +0=π ( 12 + 23 sinθ )dθ ❑ Ví dụ 2: Sử dụng Định lý Stokes để tính tích phân ∬ curl F dS , S F ( x , y , z )=xz i+ yz j+ xy k S phần mặt cầu x 2+ ... , 0≤ y ? ?2? ??z } Khi đó, ta có: ❑ ❑ ❑ ∬ F dS=∭ ¿ F dV =∭ y dV S E E 2 1−x 2? ??z ¿ 3∫ −1 ∫∫ 0 1− x ydydzdx=3 ∫ ∫ −1 ( 2? ??z )2 dzdx ¿− ∫ [ ( x 2+ ) −8 ] dx −1 184 35 Mặc dù ta chứng minh Định lý phân