tập số hữu tỉ và tập số thực

CÁC TẬP HỢP SỐ 113 Chủ đề 3 TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A. KIẾN THỨC Cung cấp cho người học những kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm; – Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân; – Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học; – Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực. B. KĨ NĂNG Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: – Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm; – Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học. C. THÁI ĐỘ Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số thập phân ở Tiểu học D. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114 2 Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm 120 3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129 4 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 133 5 Tập số thập phân không âm 142 6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152 7 Tập số hữu tỉ 164 8 Tập số thực 171 CÁC TẬP HỢP SỐ 114 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: – Tìm thương của phép chia: a) 25 : 6; b) 3 : 5; c) 17 : 7; . . . – Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm. – Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g. Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy). Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới, để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu trên. Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số, số thập phân. Chẳng hạn: – Tính chất giao hoán a + b = b + a và a × b = b × a. – Tính chất kết hợp (a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c). – Tính chất phân phối a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c. – Tính chất của số 0 a + 0 = a. – Tính chất của số 1 a × 1 = a. v.v… Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán: CÁC TẬP HỢP SỐ 115 Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65). a b c (a + b) x c a x c + b x c 2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7 Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại hay: (a + b) × c = a × c + b × c. Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của những quy tắc đó. Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích. Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng minh chặt chẽ. Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N * ) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0). – Cho phân số 1 2 . Từ phổ thông ta biết: 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = … Như vậy, các phân số bằng phân số 1 2 tạo thành một lớp { 1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ;…}. – Tương tự, cho phân số 3 4 . Ta cũng có: 36 912 4 8 12 16 == = = … Như vậy, các phân số bằng phân số 3 4 cũng tạo thành một lớp { 3 4 ; 6 8 ; 9 12 ; 12 16 ; }. Bằng cách này, ta phân chia các phân số thành các lớp mà mỗi lớp gồm những phân số bằng nhau. CÁC TẬP HỢP SỐ 116 Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau: Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a ∈ N và b ∈ N * ta gọi là một phân số không âm (hay để cho gọn, ta sẽ gọi là phân số). Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Như vậy: P = N × N * . Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu a b để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số đó. Như vậy: P = { a b với a ∈ N và b ∈ N * }. Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” như sau: với a b ; c d ∈ P, ta nói phân số a b tương đương với phân số c d , kí hiệu a b e c d , khi và chỉ khi: ad = bc. Ví dụ: a) 1 2 e 6 12 vì 1 × 12 = 2 × 6 (= 12); b) 9 12 e 15 20 vì 9 × 20 = 12 × 15 (= 180); c) 6 12 ỗ 9 12 vì 6 × 12 ≠ 12 × 9. Từ định nghĩa ta có: – Rõ ràng là a b e a b hay quan hệ hai ngôi e có tính chất phản xạ (1). – Nếu a b e c d thì ad = bc. Suy ra cb = da. Vậy c d e a b . Từ đó suy ra quan hệ e có tính chất đối xứng (2). – Giả sử a b e c d và c d e m n . Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm. Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với n ta có: adn = bcn. Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm. Thành thử a b e m n . Kết quả trên cho ta thấy quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3). Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P. CÁC TẬP HỢP SỐ 117 Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e. Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q + . Mỗi phần tử của tập Q + ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ). – Giả sử r ∈ Q + . Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số a b nào đó, tức là r = C( a b ) hay r = { m n ∈ P và m n e a b }. Một phân số thuộc lớp C( a b ) ta gọi là một đại diện của số hữu tỉ r. Mặt khác, ta lại thấy: a b e c d khi và chỉ khi phân số a b bằng phân số c d (theo nghĩa ta vẫn hiểu ở trường phổ thông). Thành thử, mỗi số hữu tỉ r = C( a b ) là một lớp những phân số bằng phân số a b cho trước. Chẳng hạn: C( 1 2 ) = { 1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ;. . . . }; C( 3 4 ) = { 3 4 ; 6 8 ; 9 12 ; 12 16 ;…}. Để cho gọn, ta sẽ dùng kí hiệu a b để chỉ số hữu tỉ r = C( a b ). Chẳng hạn, ta kí hiệu 1 2 để chỉ số hữu tỉ r = C( 1 2 ), 7 8 để chỉ số hữu tỉ r = C( 7 8 ). – Giả sử hai phân số tối giản p q và p' q' đều là đại diện của số hữu tỉ r. Suy ra, p q e p' q' hay pq’ = qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1. Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’. Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p. Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’. Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản. Khi nói đến phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên. – Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số 1 a , vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là 1 a . Thành thử, tập số tự nhiên N có thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q + . Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C( 1 0 ) là 0 và xác định bởi C( 1 1 ) là 1. CÁC TẬP HỢP SỐ 118 HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp. NHIỆM VỤ 1: Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên. NHIỆM VỤ 2: Nêu các hạn chế của tập số tự nhiên trong việc biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng. NHIỆM VỤ 3: Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính, thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông. ĐÁNH GIÁ Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q + TỪ TẬP SỐ TỰ NHIÊN N. NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm. NHIỆM VỤ 2: Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q + . NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ; CÁC TẬP HỢP SỐ 119 + Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ; + Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ. ĐÁNH GIÁ 1. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào các ô trống a) 3 5 e 15 21 F b) 9 7 e 14 18 F c) 7e 14 2 F d) 9 5 e 45 25 F 2. Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ a) r = 3 5 ; b) r = 7 4 ; c) r = 0; d) r = 1. 3. Chứng minh rằng trong các phân số cùng bằng phân số a b cho trước, chỉ có duy nhất một phân số là tối giản. CÁC TẬP HỢP SỐ 120 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN 3.2.1. Phép cộng và phép nhân Cho hai phân số 4 7 và 3 5 . Từ trường phổ thông ta đã biết: 4 7 + 3 5 = 4537×+× × 75 = 41 35 4 7 × 3 5 = 43 75 × × = 12 35 v.v Từ đây ta đi đến bài toán: Cho hai số hữu tỉ r = C( 4 7 ); s = C( 3 5 ). Ta có thể tìm tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này theo một nghĩa nào đó không? Như phần trên ta đã biết, mỗi số hữu tỉ C( 4 7 ) (hoặc C( 3 5 )) được xác định bởi một lớp các phân số bằng phân số 4 7 (hoặc 3 5 ). Chọn một trong các phân số trong lớp đó ta được một đại diện của số hữu tỉ đó. Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ đó cũng hoàn toàn được xác định bởi phân số đại diện này. Từ phân tích trên đây, ta đi đến ý tưởng tìm tổng của hai số hữu tỉ như sau: C( 4 7 ) + C( 3 5 ) = C( 4 7 + 3 5 ) = C( 41 35 ). Hay tổng của hai số hữu tỉ r = C( 4 7 ) và s = C( 3 5 ) là một số hữu tỉ có phân số đại diện bằng tổng của các phân số đại diện của hai số hữu tỉ đó. Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này. Một cách tổng quát, ta đi đến định nghĩa dưới đây. CÁC TẬP HỢP SỐ 121 Định nghĩa 2.1: Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là a b và c d tương ứng. Ta gọi: a) Tổng của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ t, kí hiệu t = r + s, trong đó, số hữu tỉ t có phân số đại diện là +ad bc bd hay C( a b ) + C( c d ) = C( + ad bc bd ). * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ t nói trên gọi là phép cộng các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các số hạng, t gọi là tổng. b) Tích của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s hoặc rs), trong đó, số hữu tỉ p có phân số đại diện là ac bd hay C( a b ) × C( c d ) = C( ac bd ). * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ p nói trên gọi là phép nhân các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các thừa số, p gọi là tích. Ta có: 1 2 = 4 8 và 5 3 = 10 6 1 2 + 5 3 = +× × 3 5 2 2 3 = 13 6 4 8 + 10 6 = ×+ × × 4 6 10 8 8 6 = 104 48 Vậy 13 6 = 104 48 . Như vậy phải chăng C( 1 2 ) + C( 5 3 ) = C( 4 8 ) + C( 10 6 )? Một cách tổng quát, giả sử a b và a' b' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ r; c d và c' d' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ s. Theo định nghĩa: a b e a' b' và c d e c' d' Hay ab’ = a’b và cd’ = c’d. Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với dd’ và đẳng thức thứ hai với bb’ ta được: ab’dd’ = a’bdd’ CÁC TẬP HỢP SỐ 122 cd’bb’ = c’dbb’ Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta được (ac + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd. Hay C( +ad bc bd ) = C( +a'd' b'c' b'd' ). Vậy C( a b ) + C( c d ) = C( a' b' ) + C( c' d' ). Từ các kết quả trên, ta rút ra: – Tính chất 2.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Tương tự như trên ta cũng có: – Tính chất 2.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Ví dụ 2.1: Cho hai số hữu tỉ r = 4 15 và s = 25 12 . Ta có: r + s = 4 15 + 25 12 = ×+× × 4 12 25 15 15 12 = 273 180 = 91 60 r × s = 4 15 × 25 12 = 100 180 = 5 9 . Định lí 2.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) Tính giao hoán: r + s = s + r và rs = sr với mọi r, s ∈ Q + . b) Tính kết hợp: (r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r, s, t ∈ Q + . c) Phần tử trung lập: Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r × 1 = r. Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t ∈ Q + và nếu rt = st thì r = s với mọi t ∈ Q + , t ≠ 0. e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với mọi r, s, t ∈ Q + . f) Phần tử nghịch đảo: [...]... hành phép nhân các số hữu tỉ không âm NHIỆM VỤ 3: Chứng minh rằng với hai số hữu tỉ cho trước, chỉ có duy nhất một số hữu tỉ là tổng và một số hữu tỉ là tích của chúng 126 CÁC TẬP HỢP SỐ NHIỆM VỤ 4: Xác định điều kiện để phép cộng (phép nhân) hai số hữu tỉ thực hiện được ĐÁNH GIÁ 1 Cho r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện theo thứ tự là 4 7 và 12 21 Tìm r + s và r × s 2 Thực hiện các phép tính... C( 343434 ) 515151 2 C( ) 3 f) C( 363636 ) 515151 2 C( ) 3 2 Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu trả lời đúng 5 5 Cho hai số hữu tỉ r = C( ) và s = C( ) Xen giữa hai số r và s: 6 7 A Không có số hữu tỉ nào B Chỉ có một số hữu tỉ C Chỉ có năm số hữu tỉ D Có vô số số hữu tỉ Hãy viết năm số hữu tỉ nằm giữa chúng 3 Điền chữ thích hợp vào chỗ chấm a) Khi cộng ... mọi r, s, t ∈ Q+ Đặc biệt, nếu r < s và t ≠ 0 thì rt < st b) Tính trù mật: Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ khác chúng c) Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ đều bị chặn trên bởi một số tự nhiên Hay với mọi số hữu tỉ r, tồn tại số tự nhiên a sao cho r < a Chứng minh: m m' m'' ; và theo thứ tự là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t, trong n n' n'' đó r ≤ s Theo định... ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi Tính chất 4.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi Ví dụ 4.1: 135 CÁC TẬP HỢP SỐ Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10 Nếu chia cả tử và mẫu... tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ không âm, trong đó r là số bị chia, s là số chia và q là thương số 125 CÁC TẬP HỢP SỐ Nhận xét: Giả sử r, s ∈ Q+, s ≠ 0 Theo định lí 2.1, tồn tại duy nhất số nghịch đảo s–1 của s Đặt q = r × s–1, ta có qs = (rs–1)s = r(s–1s) = r.1 = r Như vậy, phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được Áp... tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 210 Tổng của tử số và mẫu số bằng 29 Tìm phân số đó 7 Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 11 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân 5 21 Tìm số tự nhiên đó 19 8 Điền dấu > ; < ; = vào ô trống: số bằng 23 24 49 47 181818 2 454545 5 4 91 3 97 141 CÁC TẬP HỢP SỐ 9 Điền các phân số 99 > 100 142 7 61 và vào ô trống thích hợp: 8 62 11 > > 12 CÁC TẬP... bd Định nghĩa 2.2: Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là a c ad − cb Hay C( ) – C( ) = C( ) b d bd * Quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ u nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ không âm Trong đó r là số bị trừ, s là số trừ và u là hiệu số Ví dụ 2.2: Cho r = r–s= 9 2 ; s = Ta có: 11 7 9 × 7 − 2 × 11 41 = trong khi đó s – r không thực hiện được 11× 7 77 vì... chia và quy tắc thực hành phép chia các số hữu tỉ không âm NHIỆM VỤ 3: Phát biểu mối quan hệ giữa: – Phép cộng và phép trừ; – Phép nhân và phép chia các số hữu tỉ không âm NHIỆM VỤ 4: Phát biểu và chứng minh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ các số hữu tỉ không âm NHIỆM VỤ 5: Xác định điều kiện để phép trừ (phép chia) hai số hữu tỉ không âm thực hiện được ĐÁNH GIÁ 1 Cho r và s là hai số. .. của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc: – Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số bằng số chữ số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai gồm các chữ số còn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy – Nếu số chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết thêm những chữ số. .. biết r = 20 4 và s = 9 15 Ta có s–1 có phân số đại diện là 15 20 15 25 vậy r : s = × = 4 9 4 3 Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy: 1 Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện được; 2 Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện được; 3 Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được HOẠT ĐỘNG 1 TÌM HIỂU PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM . số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ; CÁC TẬP HỢP SỐ 119 + Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu. mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ u nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ không âm. Trong đó r là số bị trừ, s là số trừ và u là hiệu số. Ví