Đang tải... (xem toàn văn)
Tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm 2021-2022 có đáp án - Phòng GD&ĐT quận Hai Bà Trưng” dành cho các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi.
UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĂN HĨA VÀ MƠN KHOA HỌC CẤP QUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN Năm học: 2021 - 2022 Ngày thi: 17/02/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài I (5,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 x 3x 2) Cho x, y, z số thực khác thỏa mãn điều kiện: xy yz zx Tính giá trị x y yz zx biểu thức A z x y Bài II (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c số nguyên thoả mãn a3 b3 2021c3 Chứng minh a + b + c chia hết cho 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3 x2 y x y Bài III (2,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x 2x y y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y x y 1 Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn O đường kính AK Các đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường tròn O hai điểm P, Q ( P C khác phía AB ) Gọi M trung điểm BC 1) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành, từ suy OAC BAH 2) Chứng minh AP2 AD.OM 3) Dây KQ cắt BC L Chứng minh AL, HQ cắt điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Bài V (2,0 điểm) 1) Cho x số nguyên dương Tìm tất số nguyên dương n để 4xn x 1 số phương 2) Trong buổi lễ tuyên dương học sinh tiêu biểu lớp quận Hai Bà Trưng, có 20 học sinh nam 22 học sinh nữ trường vinh dự tham gia Người ta nhận thấy học sinh đó: Khơng có học sinh nam quen tất học sinh nữ Mỗi học sinh nữ quen học sinh nam Chứng tỏ rằng: Tồn hai học sinh nam A, B hai học sinh nữ M, N cho A M quen nhau, B N quen nhau, A N không quen nhau, B M không quen - HẾT Lưu ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên: Số báo danh: Trường THCS UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA VÀ MƠN KHOA HỌC CẤP QUẬN MƠN: TỐN, LỚP Năm học: 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 17/02/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Hướng dẫn chấm gồm trang) Bài I (5 điểm) 1) (2,5 điểm) Giải phương trình: x2 x 3x ĐKXĐ: x (0,5 điểm) Ta viết lại phương trình thành: x 1 x x 1 3x 3x 3x (1,0 điểm) x 12 x (TM ĐKXĐ) 3x (1,0 điểm) 2) (2,5 điểm) Tính giá trị biểu thức: A x y yz zx z x y Ta có: x y yz zx x yz x yz x yz A 3 z x y z x y Từ biến đổi 1 1 A x y z x y z Với giả thiết xy yz xz ta có A x y z xy yz xz 3 xyz (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài II (5 điểm) 1) (2,5 điểm) Chứng minh a + b + c chia hết cho Ta có: a3 b3 2021c3 a3 b3 c3 2022c3 a3 b3 c3 (0,5 điểm) Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh n3 - nM6 (1,0 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) Từ a3 + b3 + c3 - a + b + c = a3 - a + b3 - b + c3 - c M6 Do a + b + c chia hết cho 2) (2,5 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x y x y (1,0 điểm) x3 x 5 x x x y x 2y y x x 2 x 2 Mà x, y số nguyên suy 5 x x2 (0,5 điểm) Suy ra: x x2 x x x2 27 x2 2 x2 27 x2 x2 Ư 27 Mà x2 x (1 điểm) Suy ra: x2 3;9;27 Tìm x 1, 5 Với x y (loại) Với x 1 y Với x y Với x 5 y 125 (loại) 27 Thử lại kết luận: cặp số nguyên x, y cần tìm 1;1 ; 5;5 (1 điểm) Bài III (2,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x 2x y y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y x y 1 Điều kiện: x 0; y Áp dụng BĐT Bunhiacopxxki, ta có: x y x y 3( x y) x y x y (0,5 điểm) Tìm GTNN: P x y 1 x y 1 1 x y x y Từ P đạt giá trị nhỏ x y x y 1 1 1 x y 1 (0,75 điểm) Tìm GTLN: Đặt t x y 1;1 t 2 2t 9t t 2 2t 4t 1 t 2 Xét hiệu: P t 1 t 2t 2t Từ P đạt giá trị lớn x 2, y (0,75 điểm) Bài IV (6,0 điểm) A Q E N R O F P B H D L M C K 1) (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành, từ suy OAC BAH Dễ chứng minh: BH / /CK; BK / /CH suy tứ giác BHCK hình bình hành (1,5 điểm) Từ BH = CK, suy tam giác BDA ~ KCA (c.g.c) (1,0 điểm) dẫn tới OAC BAH (1) (0,5 điểm) 2) (2,0 điểm) Chứng minh AP2 AD.OM Ta có ANF ~ ABK (g.g) dẫn đến AP2 AN AK AF AB (0,5 điểm) Mặt khác: AFH ~ ABD (g.g) nên AF.AB AD.AH (0,5 điểm) Hơn AH 2OM (OM đường trung bình tam giác AHK) (0,5 điểm) Dẫn đến AP2 2OM AD (0,5 điểm) 3) (1,0 điểm) Chứng minh AL, HQ cắt điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AL điểm thứ hai R, suy ARH 900 Ta có AR AL AH AD AP Mặt khác từ (1) suy OA vng góc với PQ, dẫn tới AP AQ Do AR AL AH AD AP2 AQ2 (0,5 điểm) Vậy ARQ ~ AQL (c.g.c) Suy ARQ AQL 900 nên QR AL hay ba điểm H , R,Q thẳng hàng Từ HQ, AL cắt điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF (0,5 điểm) Bài V (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để 4xn x 1 số phương Ta có 4xn x 1 y2 y x 1 y x 1 4xn (*) Nhận thấy y x 1 y x 1 y suy y x 1 , y x 1 tính chẵn lẻ, y x 1 , y x 1 | 4xn suy y x 1 , y x 1 chẵn Đặt a a x 1 xn y x 1 2a y x a x 1 thay vào (*) ta có: a d Giả sử d ước nguyên tố chung a a x 1 Khi ta có a x d Từ xn d x d , dẫn tới chia hết cho d (VƠ LÍ) Vậy a, a x 1 Suy a u n , a x với x uv uv 1 un (0,5 điểm) Dễ thấy với n u 1 v 1 uv v u nên khơng có x thỏa mãn Với n un v u vn1 vn2u un1 uv suy n Khi n ta có: 4x2 x 1 y2 (*) dễ thấy x 2, y thỏa mãn (0,5 điểm) 2) (1,0 điểm) Trong 20 học sinh nam, gọi A bạn quen nhiều học sinh nữ Vì A không quen tất bạn nữ, nên tồn học sinh nữ N khơng quen A Vì N quen bạn nam, gọi học sinh nam B (0,5 điểm) Ta chứng minh: Trong học sinh nữ quen A, có học sinh không quen B Thật vậy: Giả sử tất học sinh nữ quen A quen B Như B quen nhiều bạn nữ A (vì B cịn quen N) Điều mâu thuẫn với quy định A bạn quen nhiều học sinh nữ Từ có học sinh nữ quen A mà khơng quen B, bạn M Lưu ý: cách làm khác đúng, giám khảo thống định cho điểm (0,5 điểm) ...UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA VÀ MƠN KHOA HỌC CẤP QUẬN MƠN: TỐN, LỚP Năm học: 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 17/02/2022... N khơng quen A Vì N quen bạn nam, gọi học sinh nam B (0,5 điểm) Ta chứng minh: Trong học sinh nữ quen A, có học sinh khơng quen B Thật vậy: Giả sử tất học sinh nữ quen A quen B Như B quen nhiều... n ta có: 4x2 x 1 y2 (*) dễ thấy x 2, y thỏa mãn (0,5 điểm) 2) (1,0 điểm) Trong 20 học sinh nam, gọi A bạn quen nhiều học sinh nữ Vì A khơng quen tất bạn nữ, nên tồn học sinh nữ