Cùng tham gia thử sức với “Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Quảng Bình” để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức môn học nhằm chuẩn bị cho kì thi quan trọng sắp diễn ra. Chúc các em vượt qua kì thi học kì thật dễ dàng nhé!
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BÁO DANH:…………… KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2022-2023 Khóa ngày 13 tháng 12 năm 2022 Mơn thi: TỐN LỚP THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 05 câu x x −1 − + Câu (2.0 điểm): Cho biểu thức A = : x + 4x −1 x −1 x + ( ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = 20 + 14 + 20 − 14 Câu (2.0 điểm): a) Giải phương trình: x − x − = x − (1 − x ) 3 x + ( m − 1) y = 12 b) Cho hệ phương trình: (với m tham số) ( m − 1) x + 12 y = 24 Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa điều kiện x + y Câu (1.5 điểm): Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 2023 Chứng minh rằng: x yz zx xy 2023 + y + z y + 2022 z z + 2022 x x + 2022 y Câu (3,5 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a Điểm E di động cạnh CD (khác C, D) M giao điểm AE với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AE cắt CD N I trung điểm đoạn thẳng MN Đường phân giác góc BAE cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: a) BM DE = a b) AI vng góc với MN I nằm đường thẳng cố định E di động cạnh CD (khác C, D) c) AP EP Câu (1,0 điểm): Cho P = n6 − n + 2n3 + 2n (với n , n ) Chứng minh rằng: P khơng phải số phương -HẾT Chú ý: + Cán coi thi không giải thích thêm + Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2022-2023 Khóa ngày 13 tháng 12 năm 2022 Mơn thi: TỐN LỚP THCS Đáp án này gồm có 06 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm thí sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, thí sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Ở câu thí sinh khơng vẽ hình cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Thí sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Câu Điểm Nội dung x x −1 − + Cho biểu thức A = : x + 4x −1 x −1 x + ( ) 2.0 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = 20 + 14 + 20 − 14 1.a x x −1 − + Rút gọn biểu thức A = : x + 4x −1 x −1 x + ( ) Điều kiện: x 0; x ; x 4 x − − x + x + (2 x + 1) A= (2 x + 1)(2 x − 1) x −1 1.0 0.25 0.25 x −1 x +1 x −1 x −1 x +1 A= x −1 1.b A= 0.25 x +1 Vậy A = với điều kiện x 0; x ; x x −1 0.25 Tính giá trị biểu thức A x = 20 + 14 + 20 − 14 1.0 Áp dụng đẳng thức ( a + b ) = a + b3 + 3ab ( a + b ) , ta có : ( )( ) x3 = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 20 + 14 20 − 14 x 0.25 ( )( ) x3 = 40 + 3 20 + 14 20 − 14 x x − x − 40 = ( x − ) x + x + 10 = 0.25 ( ) 0.25 x = (do x + x + 10 0) Thay x = vào A ta A = 2.a x +1 +1 = = x −1 −1 Vậy A = x = 20 + 14 + 20 − 14 Giải phương trình x − x − = x − (1 − x ) 0.25 1.0 Điều kiện: x (*) Ta có: x − x − = x − (1 − x ) x + x x − + x − − 2( x + x − 1) − = ( (x + ) ( ) x + x −1 − x + x −1 − = 2.b )( 0.5 ) x −1 +1 x + x −1 − = 1 x x + x −1 = x −1 = − x x −1 = − 6x + x 1 x 1 x 1 x x = x = ( x − )( x − ) = x − x + 10 = x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3 x + ( m − 1) y = 12 Cho hệ phương trình (với m tham số) m x 12 y 24 − + = ( ) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa điều kiện x + y 3x + ( m − 1) y = 12 (1) 3 x + ( m − 1) y = 12 Ta có: 24 − ( m − 1) x m − x + 12 y = 24 ( ) ( 2) y = 12 Thay (2) vào (1) ta được: 36 − ( m − 1)2 x = 168 − 24m ( m − )( m + 5) x = 24m − 168 ( 3) 0.5 1.0 0.25 Hệ có nghiệm (3) có nghiệm m −5 m Khi đó: x = 24 ( m − ) 24m − 168 24 = = ( m − )( m + 5) ( m − )( m + 5) m + 0.25 Thay vào (2) ta 24 ( m − 1) 24 + 12 y = 24 12 y = 24 − m+5 m+5 ( m − 1) ( m − 1) 12 y= m+5 m+5 24 12 36 − m − + 1 0 Do đó: x + y m+5 m+5 m+5 y = 2− 0.25 m − 31 m − 31 m + m+5 −5 m 31 Kết hợp với điều kiện ta có −5 m 31 m 0.25 Vậy −5 m 31 m thỏa mãn yêu cầu toán Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 2023 Chứng minh yz zx xy 2023 + y + z y + 2022 z z + 2022 x x + 2022 y Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: + Cho ba số thực a, b, c ta có: rằng: x ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) a + b + c − ab − bc − ca ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) (1) + Cho hai số thực ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b2 , b3 ) ta có: 2 ( a1b2 − a2b1 ) + ( a2b3 − a3b2 ) + ( a3b1 − a1b3 ) 2 2 2 ( a1b2 ) + ( a2b1 ) + ( a2b3 ) + ( a3b2 ) + ( a3b1 ) + ( a1b3 ) ( a1b1a2b2 + a2b2 a3b3 + a3b3a1b1 ) ( a12 + a22 + a32 )( b12 + b22 + b32 ) ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) 2 a1b1 + a2b2 + a3b3 1.5 (a 0.25 + a22 + a32 )( b12 + b22 + b32 ) ( ) Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát: Cho ba số thực x, y , z dương x + y + z = k ( k − 1) x + y xy Ta có bất đẳng thức sau: ( ) x + ( k − 1) y k2 0.5 Thật vậy, ( 3) ( k − 1) x + xy + ( k − 1) xy + ( k − 1) y − k xy ( k − 1)( x − y ) (đúng) Áp dụng (3) ta có: x yz zx xy + y + z y + ( k − 1) z z + ( k − 1) x x + ( k − 1) y ( ( ) x ( k − 1) y + z + y ( k − 1) z + x + z ( k − 1) x + y k = x ( k − 1) yx + zx + y ( k − 1) zy + xy + z ( k − 1) xz + yz k 0.25 ) ( x + y + z ) ( ( k − 1) yx + zx + ( k − 1) zy + xy + ( k − 1) xz + yz ) (theo (2)) k = k ( zx + xy + yz ) k = xy + yz + zx ( x + y + z) = 0.25 k (theo (1)) yz zx xy k + y + z ( 4) y + ( k − 1) z z + ( k − 1) x x + ( k − 1) y Thay k = 2023 ta được: yz zx xy 2023 x + y + z (đpcm) y + 2022 z z + 2022 x x + 2022 y 2023 Dấu " = " xảy x = y = z = Cho hình vng ABCD có cạnh a Điểm E di động cạnh CD (khác C, D) M giao điểm AE với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AE cắt CD N I trung điểm đoạn thẳng MN Do đó: x 0.25 Đường phân giác góc BAE cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: 3.5 a) BM DE = a b) AI vuông góc với MN I ln nằm mợt đường thẳng cố định E di động cạnh CD (khác C, D) c) AP EP N I 0.25 A D E K B F L C P M BM DE = a 4.a 1.0 Xét tam giác AEN có: EAN = 900 , AD đường cao Áp dụng hệ thức tam giác vng cho tam giác AEN ta có: DE.DN = AD DE.DN = a 2 0.5 (1) Xét hai tam giác ADN MBA ta có: ADN = ABM = 900 AD = AB = a DAN = BAM (vì phụ với góc DAE ) 0.5 Suy ra: ADN = MBA ( g.c.g ) DN = BM ( ) Từ (1), (2) suy ra: BM DE = a (đpcm) AI vng góc với MN I nằm một đường thẳng cố định E di động cạnh CD (khác C, D) 1.25 Xét tam giác AMN ta có: AM = AN (theo câu a)), AI đường trung tuyến Suy ra: AI đường cao tam giác AMN hay AI ⊥ MN 0.25 Xét tam giác AMN ta có: MAN = 900 (giả thiết), AI đường trung tuyến Suy ra: AI = 4.b MN 0.25 ( 3) Xét tam giác CMN ta có: MCN = 900 (giả thiết), CI đường trung tuyến Suy ra: CI = MN 0.25 ( 4) Từ (3), (4) suy ra: AI = CI hay I nằm đường trung trực đoạn 0.25 thẳng AC (5) Mặt khác, BD đường trung trực đoạn thẳng AC (vì ABCD hình vng) (6) 0.25 Từ (5), (6) suy ra: I nằm đường thẳng BD cố định (đpcm) AP EP 4.c 1.0 Kẻ EF ⊥ AP ( F AB ) , EK ⊥ AB ( K AB ) (7) Xét tứ giác BCEK có B = C = K = 900 nên BCEK hình chữ nhật 0.5 Suy ra: EK = BC = a (8) Gọi L giao điểm AP với EK Ta có: BAP = KEF (vì phụ với 0.25 góc AKL (9) Từ (7), (8), (9) suy ra: ABP = EKF AP = EF (10 ) Vì AP vừa đường cao vừa đường phân giác tam giác AEF nên AP đường trung trực đoạn thẳng EF Suy ra: PE = PF (11) Từ (10), (11) ta có: AP = EF PE + PF = PE + PE = 2PE AP 2PE 0.25 (đpcm) Cho P = n6 − n + 2n3 + 2n (với n , n ) Chứng minh P số phương Ta có: P = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 = n2 (n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n , n n2 − 2n + = (n − 1)2 + (n − 1) n2 − 2n + = n2 − 2(n − 1) n2 1.0 0.25 0.25 0.25 Do đó: ( n − 1) n − 2n + n n − 2n + khơng số phương Vậy P = n6 − n + 2n3 + 2n không số phương 0.25 ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 202 2-2 023 Khóa ngày 13 tháng 12 năm 2022 Mơn thi: TỐN LỚP THCS Đáp án này gồm có 06 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án trình... Xét tam giác AEN có: EAN = 90 0 , AD đường cao Áp dụng hệ thức tam giác vuông cho tam giác AEN ta có: DE.DN = AD DE.DN = a 2 0.5 (1) Xét hai tam giác ADN MBA ta có: ADN = ABM = 90 0 AD = AB = a... Xét tứ giác BCEK có B = C = K = 90 0 nên BCEK hình chữ nhật 0.5 Suy ra: EK = BC = a (8) Gọi L giao điểm AP với EK Ta có: BAP = KEF (vì phụ với 0.25 góc AKL (9) Từ (7), (8), (9) suy ra: ABP =