“Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Yên Bình” giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) A Câu 1: (4,0 điểm) Cho = ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022 – 2023 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2022 x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 ( x ≥ 0; x ≠ 1) a) Rút gọn A b) Tính giá trị A với x= − c) Chứng minh A < Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + + 2x x + = 2x + x2 + 4x + −3 xy + y b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + 22 = c) Tìm số tự nhiên biết: Nếu số cộng thêm 64 đơn vị bớt 35 đơn vị ta số phương Câu 3: (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC AD lấy điểm E F cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M N a) Chứng minh: CM DN = a2; = 90o b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh: MKN c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ ? Câu 4: (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 + x2 − 6x + b) Cho a, b, c số dương Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b Câu : (3 điểm) Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm góc AC BD 30 Tính diện tích tứ giác ABCD Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………… Cán coi thi số 1:………………… Số báo danh:…………………………… Cán coi thi số 1:………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2022 – 2023 - Mơn: Tốn lớp Nội dung Câu Điểm a) Với x ≥ 0; x ≠ ta có: Câu x+2 x +1 − A= + x −1 x −1 x + x +1 0,5 x + ( x + 1)( x − 1) x2 + x + − A =+ x3 − x3 − x3 − 0,5 = A x− x x = x −1 x + x +1 0,5 0,5 b) x =9 − =(2 − 1) ⇒ x =2 − 2 −1 2 −1 = − + 2 −1+1 − 2 −1 + 16 A= 73 x 1 c) A < ⇔ A − < ⇔ − 0; b>0 ; a ≠ b a+ b Ta có: A ab A( ab a+ b Nội Dung + 1 + : a b Điểm a + b ( a b) ab ( a b ) 1 a+ b ): a b ab 1 ab A a b a+ b A Vậy A a+ b 0.5 ab a+ b ab 0.5 với a>0; b>0 ; a ≠ b 2) Ta có: a 2 ; b => a= b= 3+ 2 = 3− 2 = ( + 1) = ( − 1) = +1 = −1 = +1 −1 Tính được: ab = ; a + b = 2 Thay vào A ta được: A = 2 ĐKXĐ: x ≤ −4 x ≥ −1 ⇔ x2 + 5x + − x2 + 5x + = 2 Đặt y = x + x + (y ≥ 0) ta được: y - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (khơng thỏa mãn đk); y2 = (thỏa mãn đk) Với y = ta có x + x + = Giải phương trình x1 = 0; x2 = -5 (thỏa mãn) 1) x + x − x + x + = −2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S= {−5;0} 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 2) Nếu x4 + 4x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức đa thức phải có bậc Giả sử: x4 + 4x3 + ax2 + bx + = (Ax2 + Bx + C)2 x4 + 4x3 + ax2 + bx + = A2x4 + 2ABx3 + (2AC + B2)x2 + 2BCx + C2 Đồng hệ số hai vế, ta được: A2 = 1; 2AB = 4; 2AC + B2 = a; 2BC = b; C2 = Khơng tính tổng qt, giả sử A = suy B = 2; C=1 C=-1 Nếu C = a = 6, b = Nếu C = -1 a = 2, b = -4 Vậy có hai cặp số (a, b) thoả mãn yêu cầu toán (6, 4) (2, -4) 1) Ta có: n3 + 6n + 8n = n(n + 2)(n + 4) Vì n chẵn => n = 2k với k ∈ N => n3 + 6n + 8n= 8k (k + 1)(k + 2) Do k ∈ N => k (k + 1)(k + 2) ba số tự nhiên liên tiếp => k (k + 1)(k + 2) chia hết cho => 8k (k + 1)(k + 2) chia hết cho 48 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy n3 + 6n + 8n chia hết cho 48 với n số tự nhiên n chẵn 0.5 (x+2)(x+y+1) = 2) Ta có: x + xy + 3x + y = 0.5 Do x; y nguyên => x+2 ; x+y+1 có giá trị nguyên Mà 3=3.1=1.3= (-3).(-1)=(-1).(-3 ) 0.25 x + = x =−1 ⇔ y +1 = x += y 0.25 = x + = x ⇔ x + y + =1 y =−1 0.25 +) +) x + =−1 x =−3 ⇔ x + y + =−3 y =−1 0.25 +) x + =−3 x =−5 ⇔ x + y + =−1 y =3 0.25 Vậy (x;y) =(-1;3); (1;-1); (-3;-1); (-5;3) 0.25 +) Với điều kiện x ≥ 1, y ≥ ta có: x −1 + x M= 0.5 y−4 y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có: 1+ x −1 x = 2 x −1 ⇒ ≤ x 1 4+ y−4 y y= −4 = ( y − 4) ≤ ⋅ 2 y−4 ⇒ ≤ y x −= Và 1( x − 1) ≤ y−4 1 ≤ + = y 4 Vậy giá trị lớn M ⇔ x = 2; y = Suy ra: M = x −1 + x Cho đường tròn (C) với tâm O, bán kính R đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F 1) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng 2) Chứng minh tích AM.AN khơng đổi 3) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Vẽ hình F M C A E N B O (C ) 0.5 0.5 0.5 0.25 1) Ta có: MO trung tuyến tam giác AMB; MO = AB = 900 ⇒ AMB ⇒ MN ⊥ BF BC ⊥ NF (gt) ⇒ A trực tâm tam giác BNF ⇒ FA ⊥ NB Tương tự chứng minh MN ⊥ BF Ta có: AE ⊥ NB Vậy ba điểm A, E, F thẳng hàng = MAB nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng 2) Ta có: CAN AN AC = AB AM Hay AM ⋅ AN = AB ⋅ AC = 2R không đổi 0.25 0.5 0.5 0.5 1.0 Suy ra: 3) Ta có BA = BC nên A trọng tâm tam giác BNF ⇔ C trung điểm NF (3) Mặt khác: CAN = MAB (2 góc đối đỉnh) ) = MAB (cùng phụ với MBA mà CFM = CFM , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng ⇒ CAN ⇒ 0.5 0.5 0.5 2 2 + + + + 15 35 63 399 2 2 + + + + 3.5 5.7 7.9 19.21 1 1 1 1 = − + − + − + + − 5 7 19 21 = 1 − 21 = = 0.5 CN AC = ⇒ CN ⋅ CF = BC ⋅ AC = 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: NF = CN + CF ≥ CN ⋅ CF = 2R không đổi Nên: NF ngắn ⇔ CN =CF ⇔ C trung điểm NF (4) Từ (3) (4) suy ra: A trọng tâm tam giác BNF ⇔ NF ngắn P= 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 ... + + + + 15 35 63 399 PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN - LỚP (Đáp án gồm 04 trang) YÊN BÌNH ĐÁP ÁN ĐỀ DỰ BỊ Học sinh phải lập luận chi... 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 PHỊNG GD&ĐT N BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 202 2-2 023 Mơn thi: Tốn - Lớp (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề dự bị) Câu 1: (3,0 điểm)...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2022 – 2023 - Mơn: Tốn lớp Nội dung Câu Điểm a) Với x ≥ 0; x ≠ ta có: Câu x+2 x +1 − A= + x −1 x −1 x + x