HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI 10 18173/2354 1059 2018 0001 Natural Science 2018, Volume 63, Issue 3, pp 3 22 This paper is available online at http //stdb hnue edu vn ỨNG DỤNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀO MỘT SỐ[.]
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Science 2018, Volume 63, Issue 3, pp 3-22 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2018-0001 ỨNG DỤNG GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀO MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đạt Đăng1 Lưu Cơng Đơng2 Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Y Hà Nội Tóm tắt Trong báo chúng tơi sử dụng góc định hướng vào giải số tốn Hình học phẳng chọn lọc sáng tạo số tốn hình học Đây toán chủ yếu liên quan đến mối quan hệ đường thẳng đường tròn, đa giác đường trịn nội ngoại tiếp chúng Việc sử dụng góc định hướng tránh tình trạng xét thiếu trường hợp phải biện luận nhiều trường hợp việc dùng góc vơ hướng thơng thường Hình học phổ thơng Từ khóa: Góc định hướng, điểm đồng viên, điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Cơ sở lý thuyết Trong lượng giác số phức, người ta quan tâm tới chuyển động hai tia để xây dựng giá trị lượng giác argumen Thông qua góc định hướng, ta biết hình dạng vị trí góc Những kiến thức góc định hướng đề cập đến số tài liệu [1-3], nhiên tài liệu chưa đề cặp nhiều đến tính ứng dụng góc định hướng vào tốn Trong phần sở lí thuyết đây, nhắc lại xây dựng số tính chất hữu ích thường xuyên xuất tốn 1.1 Góc định hướng hai tia d coi Ox tia đầu Oy tia cuối, ta nói góc Định nghĩa 1.1 Cho góc hình học xOy, d xOy định hướng (hoặc gọi góc định hướng (Ox, Oy)) Số đo góc định hướng (Ox, Oy) số đo góc lượng giác tất góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối Oy Ngày nhận bài: 13/3/2018 Ngày sửa bài: 20/3/2018 Ngày nhận đăng: 27/3/2018 Tác giả liên lạc: Nguyễn Đạt Đăng, địa email: dangnd@hnue.edu.vn Nguyễn Đạt Đăng Lưu Cơng Đơng Định nghĩa 1.2 Với góc định hướng (Ox, Oy) cho trước, ta tìm góc lượng giác (Ox, Oy) với số đo α (rad) đó: −π < α ≤ π Khi α gọi giá trị góc định hướng (Ox, Oy) ta viết số đo góc định hướng (Ox, Oy) dạng: Sđ(Ox, Oy) = α+k2π (Ox, Oy) = α (mod 2π), với α giá trị Định nghĩa 1.3 Góc định hướng (Ox, Oy) có tia đầu Ox trùng với tia cuối Oy gọi góc định hướng khơng kí hiệu (Ox, Ox) = (mod 2π) (Oy, Oy) = (mod 2π) Định nghĩa 1.4 Hai góc định hướng (Ox, Oy) (Ou, Ot) khác bội 2π, tức (Ox, Oy) = (Ou, Ov) (mod 2π) ta nói hai góc Định nghĩa 1.5 Cho hai góc định hướng có số đo α β Tổng hai góc góc định hướng có số đo α + β Hiệu hai góc góc định hướng có số đo α + (−β) α − β Nếu m số nguyên cho trước tích m với góc có số đo α góc định hướng có số đo m.α 1.2 Góc định hướng hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt x y Hai đường thẳng lập thành bốn góc mà góc hình học có số đo từ 0◦ đến 180◦ Góc có số đo nhỏ bốn góc gọi góc hình học hai đường thẳng x y, kí hiệu (x, y) (y, x) Trên sở này, ta có khái niệm góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa 1.6 Cho góc hình học tạo hai đường thẳng x y Nếu coi x cạnh đầu y cạnh cuối ta nói góc hai đường thẳng x y định hướng (hoặc gọi góc định hướng (x, y)) Số đo góc định hướng (x, y) số đo góc định hướng hai tia có chung đỉnh O hai cạnh nằm hai đường thẳng x y [1] Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa này, ta suy α số đo góc hai tia nằm x y số đo góc định hướng x y là: Sđ(x, y) = α + kπ (k ∈ Z) (x, y) = α (mod π) Trong α gọi giá trị Định nghĩa 1.7 Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β Khi đó: (x, y) = (x′ , y ′ ) (mod π) giá trị hai góc Định nghĩa 1.8 Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β Khi đó: (x, y) ± (x′ , y ′ ) = α ± β k(x, y) = kα(k 6= 0) Ứng dụng góc định hướng vào số tốn hình học phẳng 1.3 Một số kết góc định hướng Định lí 1.1 Cho hai điểm phân biệt A, B góc α (khác π) Tập hợp giao điểm M hai đường thẳng x y qua A B cho (x, y) = α (mod π) đường tròn qua A B (trừ A, B) Trường hợp x k y góc định hướng (x, y) = (mod π) Định lí 1.2 (Hệ thức Chasles) Với x, y, z đường thẳng thì: (x, y) + (y, z) = (x, z) (mod π) Định lí 1.3 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm đường thẳng khi: (CA, CB) = (DA, DB) = (mod π) Định lí 1.4 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm đường tròn khi: (AC, AB) = (DC, DB) 6= (mod π) Định lí 1.5 (Hệ thức Chasles tam giác) Với tam giác ABC, ta có: (BA, BC) + (CB, CA) + (AC, AB) = (mod π) Định lí 1.6 Nếu I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC thì: (IA, IB) = π + (CA, CB) (mod π) 2 Hệ 1.1 Cho tam giác ABC Khi điều kiện sau tương đương: (i) Tam giác ABC cân A (ii) (BA, BC) = (CB, CA) (mod π) (iii) (AB, AC) = 2(CB, CA) (mod π) [2] Nguyễn Đạt Đăng Lưu Công Đông Hệ 1.2 (Định lí Miquel) Cho tam giác ABC M, N, P nằm đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB Khi đường trịn (AN P ), (BP M ), (CM N ) có điểm chung Điểm gọi điểm Miquel ba đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) Ứng dụng góc định hướng Các toán sau chủ yếu bao gồm toán tác giả sáng tác dựa việc sử dụng góc định hướng, cịn lại số tốn tác giả sưu tầm Những khơng nguồn tài liệu tham khảo tác giả sáng tác, cịn tốn tác giả sưu tầm rõ nguồn tài liệu sưu tầm Bài toán 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O), đường trịn đường kính AB cắt đường trịn đường kính BC lần thứ hai N cắt đường trịn đường kính AD lần thứ hai P Đường trịn đường kính CD cắt đường trịn đường kính BC lần thứ hai M cắt đường trịn đường kính AD lần thứ hai Q Chứng minh điểm M, N, P, Q đồng viên Ứng dụng góc định hướng vào số tốn hình học phẳng Lời giải: Bài tốn trường hợp riêng toán sau đây: Bài toán 2.2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Ký hiệu (O1 ) đường tròn qua A, B, (O2 ) qua B, C, (O3 ) qua C, D, (O4 ) qua A, D Ký hiệu : (O1 ) ∩ (O2 ) =N, (O2 ) ∩ (O3 ) = P, (O3 ) ∩ (O4 ) = Q, (O1 ) ∩ (O4 ) = M Biết (Oi ) 6= (Oj )∀i 6= j, i, j = 1, 4) , chứng minh M, N, P, Q đồng viên Theo hệ thức Chasles, ta có: (M N, M Q) = (M N, M A) + (M A, M Q) = (BN, BA) + (DA, DQ) (mod π) (P N, P Q) = (P N, P C) + (P C, P Q) = (BN, BC) + (DC, DQ)(mod π) Mặt khác, tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp nên (BC, BA) = (DC, DA) (mod π) Do đó: (BC, BN ) + (BN, BA) = (DC, DQ) + (DQ, DA) ⇔ (P C, P N ) + (M N, M A) = (P C, P Q) + (M Q, M A) (mod π) Vậy (M N, M Q) = (P N, P Q) (mod π) nên điểm M, N, P, Q đồng viên Nhận xét 2.1 Khi (QD, QP ) = (CD, CP ) = (mod π) (ta coi CD đường trịn có bán kính vơ lớn) M, N, P, Q nằm đường tròn Ta có tốn sau đây: Nguyễn Đạt Đăng Lưu Cơng Đơng Bài tốn 2.3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O2 ) qua hai điểm B, C cắt đoạn thẳng CD P , đường tròn (O4 ) qua hai điểm A, D cắt đoạn thẳng CD Q Đường tròn (O1 ) qua hai điểm A, B cắt (O4 ) (O2 ) M, N Chứng minh rằng: M, N, P, Q đồng viên Tương tự, ta có tốn sau: Bài tốn 2.4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O1 ) qua điểm A, B cắt đường thẳng BC P đường tròn (O2 ) qua điểm A, D cắt đường thẳng CD Q (O1 ) cắt (O2 ) lần thứ hai M Chứng minh P, M, Q thẳng hàng Một câu hỏi tự nhiên đặt với giả thiết tương tự Bài toán 2.2 khẳng định cịn khơng ta thay "tứ giác" đa giác? Sử dụng Bài tốn 2.3, ta có toán sau: Bài toán 2.5 Cho lục giác lồi ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn qua điểm A, B cắt hai đường chéo AD BE M N Đường trịn qua điểm D, E cắt hai đường chéo AD BE Q R Đường tròn (AM F ) cắt đường tròn (EF R) lần thứ hai S đường tròn (BN C) cắt đường tròn (DQC) lần thứ hai tại P Chứng minh điểm M, N, P, Q, R, S đồng viên Ứng dụng góc định hướng vào số tốn hình học phẳng Lời giải: Áp dụng kết Bài toán 2.3 cho tứ giác ABEF ABCD BCDE, ta thu M, N, P, Q, R, S đồng viên Nhận xét: Trong lời giải Bài toán 2.2, yếu tố nội tiếp đóng vai trị định Khi (BA, BC) = (DA, DC) 6= (mod π) Bây ta giả thiết A, B, C, D thẳng hàng tức (BA, BC) = (DA, DC) = (mod π), ta có tốn sau đây: Bài toán 2.6 Cho điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm đường thẳng Ký hiệu (O1 ) đường tròn qua A, B, (O2 ) qua B, C, (O3 ) qua C, D, (O4 ) qua A, D Ký hiệu : (O1 ) ∩ (O2 ) = B1 , (O2 ) ∩ (O3 ) = C1 , (O3 ) ∩ (O4 ) = D1 , (O1 ) ∩ (O4 ) = A1 Chứng minh A1 , B1 , C1 , D1 đồng viên thẳng hàng Lời giải Theo đề ta có: (B1 A1 , B1 C1 ) = (B1 A1 , B1 B) + (B1 B, B1 C1 ) = (AA1 , AB) + (CB, CC1 )=(AA1 , AD) + (CD, CC1 ) = (D1 A1 , D1 D) + (D1 D, D1 C1 ) = (D1 A1 , D1 C1 ) (mod π) Điều chứng tỏ A1 , B1 , C1 , D1 đồng viên thẳng hàng ... hai góc Định nghĩa 1.5 Cho hai góc định hướng có số đo α β Tổng hai góc góc định hướng có số đo α + β Hiệu hai góc góc định hướng có số đo α + (−β) α − β Nếu m số ngun cho trước tích m với góc. .. hai góc Định nghĩa 1.8 Cho hai góc (x, y) = α, (x′ , y ′ ) = β Khi đó: (x, y) ± (x′ , y ′ ) = α ± β k(x, y) = kα(k 6= 0) Ứng dụng góc định hướng vào số tốn hình học phẳng 1.3 Một số kết góc định. .. góc có số đo α góc định hướng có số đo m.α 1.2 Góc định hướng hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt x y Hai đường thẳng lập thành bốn góc mà góc hình học có số đo từ 0◦ đến 180◦ Góc có số đo