Một số tính chất hay dùng trong Oxy VÕ QUANG MẪN Ngày 11 tháng 11 năm 2015 Tính chất 1 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm G và trực tâm H Gọi AD là đường kính của (O ) và M là[.]
Một số tính chất hay dùng Oxy VÕ QUANG MẪN Ngày 11 tháng 11 năm 2015 Tính chất Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp O, trọng tâm G trực tâm H Gọi AD đường kính (O ) M trung điểm BC Khi đó: Tứ giác BHCD hình bình hành G trọng tâm tam giác AHD −−→ −−→ 3 O, G, H thẳng hàng HG = HO −−→ −−→ AH = 2OM Lời giải: A H G B O C M D Bài toán Trong mặt phẳng Ox y , gọi H(3;-2), I(8;11),K(4;-1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, B, C (sở thành phố Hồ Chí Minh 2015) Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho tam giác đường cao A A có phương trình x + 2y − = trực tâm H (2; 0) kẻ đường cao B B CC đường thẳng B 0C có phương trình x − y + = M (3; −2) trung điểm BC Tìm tọa độ đỉnh A, B,C (Nghĩa Hưng C 2015) Bài toán Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(2; −2), trọng tâm G (0; 1) trực ¢ ¡ tâm H 21 ; Tìm tọa độ đỉnh B, C tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (Nguyễn Hiền, Đà Nẵng 2015) Bài toán Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có trung điểm BC M (3; −1), đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B qua E (−1; −3) đường thẳng chứa cạnh AC qua F (1; 3) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết D(4; −2) điểm đối xứng A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Núi Thành 2015) Tính chất Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H Gọi AH cắt (O) tai H’ Khi đó: H, H’ đối xứng qua BC Điểm O’ đối xứng với O qua BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (O) (O’) có bán kính Lời giải: A H O C B O0 H0 Bài toán Trong mặt phẳng Ox y , cho tam giác nhọn ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình 3x +5y −8 = 0, x − y −4 = Đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D(4, −2) Viết phương trình đường thẳng AB, biết hồnh độ điểm B khơng lớn (THPT Lê Q Đơn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Bài toán Trong mặt phẳng Ox y, gọi H (3 ; −2), I (8 ; 11), K (4 ; −1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, B,C (sở thành phố HCM 2015) Tính chất Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) đường tròn ngoại tiếp (O) Đường thẳng AI cắt (O) K BC D Khi đó: K B = KC = KI hay K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Gọi J điểm đối xứng với I qua K tứ giác BICJ nội tiếp đường trịn tâm K hay K trung điểm IJ J tâm đường trịn bàng tiếp góc A BK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Lời giải: A I O C B K J Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 5) Tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác I(2; 2) K ( ; 3) Tìm tọa độ B C (THPT Lê Q Đôn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Tính chất Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD, AE phân giác tam giác Gọi M, N trung điểm DE, BC Khi đó, AD, AE qua trung điểm cung nhỏ cung lớn BC (O) Tứ giác AMNO nội tiếp AM tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác AMD cân M Lời giải: I A O E M B D N C K Bài toán Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox y cho tam giác ABC có A (1; 4), tiếp tuyến A có phương đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB trình x − y + = 0, điểm M (−4; 1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB (YÊN PHONG SỐ năm 2015) Bài tốn Cho ABC nội tiếp đường trịn, D(1; −1) chân đường phân giác góc A, AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC (D-14) Tính chất Cho hình vng ABC D M , N hai cạnh AB AC Khi AM +C N = M N ⇔ M D N = 450 ⇔ D H = AD ⇔ M D phân giác N MA Lời giải: Võ Quang Mẫn A D β M H B α N C I Bài toán 10 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình thang ABCD vng A D, có AB = AD < CD, điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng ∆ : 7x − y − 25 = cắt đoạn thẳng AD,CD hai điểm M, N cho BM vng góc với BC tia BN tia phân giác M BC Tìm tọa độ điểm D biết D có hồnh độ dương Bài tốn 11 Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M ( 11 ; ) (A- 2012 CB ) AN có phương trình 2x - y - = Tìm tọa độ 2 điểm A Bài toán 12 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho hình vng ABCD có điểm M(-2;-2) thuộc cạnh AB điểm N thuộc đường thẳng AD cho đường thẳng CM phân giác góc BMN , phương trình đường thẳng CN : 3x + 4y - 11 = Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d) : 4x - 3y - = đỉnh C có tung độ âm Tính chất Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF đồng quy trực tâm H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó: DA phân giác BC phân giác đỉnh D tam giác DEF H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF OA vng góc với EF Đường thẳng nối trung điểm AH, BC vng góc với EF Lời giải: Võ Quang Mẫn A E F H B D I C Bài toán 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (T) có tâm I(0; 5) Đường thẳng AI cắt đường tròn (T) điểm M(5; 0) với M 6= A Đường cao từ đỉnh C cắt đường tròn (T) điểm N ( hoành độ dương −17 −6 ; ), N 6= C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết B có 5 Bài tốn 14 Trong Ox y cho đường trịn (C ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC M(2;2), N(-1;2) chân đường cao hạ từ B, C Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết A có tung độ dương (Ngơ Quyền - Ba Vì lần năm 2015) Bài toán 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Ox y , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25 Các điểm K(-1;1), H(2;5) chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hồnh độ dương (Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2015) Bài toán 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I(2;1), bán kính R = Chân đường cao hạ từ B, C, A tam giác ABC D(4; 2), E(1; -2) F Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF, biết A có tung độ dương (Lương Thế Vinh, Hà Nội, năm 2015) Võ Quang Mẫn Tính chất Cho hình vng ABC D Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh AC cho AN = AC P trung điểm AB Khi Tam giác DMN vuông cân N Tam giác NPM vuông P P M = 2P N CM IN = tam giác DNM Cho N chạy AI M chạy BC Khi IA CB vng cân N Lời giải: D A N P I E B M C Hệ Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi M, N điểm HN HM = Đặc biệt ta hay xét M , N trung HB HA điểm AH , B H , C M , AN phân giác góc AC H , B AH thuộc AH BH Khi C M ⊥AN Võ Quang Mẫn A M 90◦ B N C H Lời giải: Bài toán 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N (2; −1) (A-14) Bài toán 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABCD, điểm M(5;7) nằm cạnh BC Đường trịn đường kính AM cắt BC B cắt BD N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết hồnh độ đỉnh C ngun hồnh độ đỉnh A bé Bài toán 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho hình vng ABC D có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0; 3), trung điểm đoạn CI J (1; 0) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng ∆ : x − y + = (Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc 2015) Tính chất Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B đường chéo AC Các điểm M K, trung điểm AH DC Chứng minh B M ⊥K M a) Đặc biệt ABCD hình vng tam giác BMK vng cân M b) Gọi E trung điểm BH Khi MECK hình bình hành E trực tâm tam giác MBC c) Bài tốn cịn M thuộc đoạn HA thỏa hệ thức HM HE CK = = HA HB CD Lời giải: Võ Quang Mẫn A B M 90◦ E H 90◦ D K C Bài tốn 20 Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vng góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH AD Biết E ( 17 29 17 ; ), F ( ; ), G(1; 5).Tìm tọa độ 5 5 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABE Bài tốn 21 Cho hình thang ABCD vng A, D có CD = 2AB Gọi H hình chiếu D lên AC Điểm M ( hình thang 22 14 ; ) trung điểm HC , cho D(2; 2) B ∈ d : x − 2y + = Tìm tọa độ đỉnh 5 Bài tốn 22 Trong mặt phẳng tọaµđộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) hình chiếu ¶ ; trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A ∆AD H d : 4x + y − = Viết phương trình cạnh BC (THPT Triệu Sơn 5, vng góc A lên BD Điểm M Thanh Hóa 2015) Tính chất Cho tam giác ABC K điểm mặt phẳng tam giác không trùng với đỉnh tam giác Gọi M, N, P hình chiếu K cạnh BC, AC AB Khi K thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC M, N, P thẳng hàng (Đường thẳng qua điểm M, N, P gọi đường thẳng Simson tam giác ABC ứng với điểm K) Lời giải: Võ Quang Mẫn P 90◦ K A N 90◦ B M C 90◦ Bài toán 23 mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) Điểm M (5; 4) điểm thuộc đường tròn (I) Gọi D(1; 6), E(1; 2), F theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB, BC, CA Xác định đĩnh tam giác ABC, biết điểm F thuộc đường thẳng 2x+y=0 Bài toán 24 Trong mặt phẳng Ox y , cho hình chữ nhật ABC D nội tiếp đường trịn (C ) : (x − 2)2 + (y − 4)2 = 25.Trên cung AB lấy điểm M (khác A B ) Gọi P,Q, R, S hình chiếu điểm M AD, AB, BC ,C D Biết P (−2; 8), đường thẳng chứa RS có phương trình (∆) : x − y + = 0, điểm B có hồnh độ ngun thuộc đường thẳng 5x − 4y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C , D ( k2pi lần năm 2014) Tính chất 10 Cho điểm M hai tia Mx, My A, B chạy Mx, C, D chạy My Khi bốn điểm A, B, C, D nội tiếp đường tròn MA.MB = MC.MD Lời giải: Võ Quang Mẫn 10 ... BC (D-14) Tính chất Cho hình vng ABC D M , N hai cạnh AB AC Khi AM +C N = M N ⇔ M D N = 450 ⇔ D H = AD ⇔ M D phân giác N MA Lời giải: Võ Quang Mẫn A D β M H B α N C I Bài toán 10 Trong mặt... tiếp ngoại tiếp tam giác I(2; 2) K ( ; 3) Tìm tọa độ B C (THPT Lê Q Đơn – Tây Ninh 2015) Võ Quang Mẫn Tính chất Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD, AE phân giác tam giác... với EF Đường thẳng nối trung điểm AH, BC vng góc với EF Lời giải: Võ Quang Mẫn A E F H B D I C Bài toán 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (T) có tâm I(0;