03 Phuong trinh mat phang Khóa học LTĐH môn Toán Moon vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH! 1) Véc tơ pháp[.]
Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > có phương vng góc với (P) gọi véc tơ pháp tuyến (P) (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có phương trình viết dạng ( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = (P) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có phương trình tổng qt ( P ) : Ax + By + Cz + D = (P) qua ba điểm phân biệt A, B, C có véc tơ pháp tuyến nP = AB; AC (P) qua điểm A song song với (Q) ta chọn cho nP = nQ nP ⊥ nα (P) qua điểm A vng góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) → nP = nα ; nβ nP ⊥ nβ n ⊥ a (P) qua điểm A song song với hai véc tơ a; b P → nP = a; b nP ⊥ b n ⊥ AB (P) qua điểm A, B vng góc với (α) P → nP = AB; nα nP ⊥ nα Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau: a) qua M(1; 1; 2) có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) b) qua M(2; 0; 1) song song với (Q): x + 2y + 5z − = c) qua M(3; −1; 0) vng góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − = 0; (R): 2x + 3y − z − = Hướng dẫn giải: a) (P) qua M(1; 1; 2) có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) nên có phương trình ( P) : ( x − 1) − 2.( y − 1) + 1.( z − ) = ⇔ x − y + z − = b) (P) // (Q) nên nP // nQ , chọn nP = nQ = (1; 2;5 ) → ( P ) :1 ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = → ( P ) : x + y + z − = c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − = 0; (R): 2x + 3y − z − = nên có véc tơ pháp tuyến nP ⊥ nQ → nP = nQ ; nR = = ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 ) 2 − nP ⊥ nR Khi (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − z = ⇔ x − y − z − = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng qua A nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mặt phẳng qua A biết hai véctơ có giá song song hoặt nằm mặt phẳng a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3) c) Viết phương trình mặt phẳng qua C vng góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC e) Viết phương trình (ABC) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2) a) Viết phương trình mặt phẳng qua I(2; 1; 1) song song với (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (P): 2x – y – 3z – = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Trang Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B vng góc với (Q): 2x – y + 2z – = d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy vng góc với (R): 3x – y – 3z – = e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz) Ví dụ 4: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: A(3;1; −1), B(2; −1; 4) a) ( β ) : x − y + 3z − = A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) b) ( β ) : x + 3y − z + = A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) c) ( β ) : x + y − 8z − = A(3; −1; −2), B(−3;1; 2) d) ( β ) : x − y − z + = Ví dụ 5: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , ( P ) : x − 3y + z − = 0, ( Q ) : 3x − y + 5z − = b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z − = c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − y − 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x − 8y + 3z + 11 = d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : x − 3y + z − = 0, ( Q ) : x − y − z − = Ví dụ 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + z − = 0, (Q ) : x + y − z − = 0, ( R ) : x + y + z − = b) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : y + z − = 0, ( R ) : x − y + 19 = c) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = Ví dụ 7: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : x + y − = 0, (Q ) : y − 3z − = 0, ( R ) : x + y − 3z − = b) ( P ) : y + z − = 0, (Q ) : x + y − z + = 0, ( R ) : x + y + z − = c) ( P ) : x + y − z − = 0, (Q ) : x + y + z + = 0, ( R ) : x − y − 3z + = d) ( P ) : x − y + z − = 0, (Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến Oz qua gốc tạo độ nên có phương trình z = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình z − a = Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến Ox qua gốc tạo độ nên có phương trình x = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình x − a = Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến Oy qua gốc tạo độ nên có phương trình y = Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình y − a = Mặt phẳng trung trực: Cho hai điểm A, B Khi mặt phẳng trung trực AB qua trung điểm I AB nhận AB làm véc tơ pháp Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Trang Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 tuyến Phương trình mặt chắn: Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) (P) có phương x y z + + = a b c Một số đặc điểm mặt chắn: + Độ dài OA = a ; OB = b ; OC = c trình đoạn chắn: ( P ) : 1 + Thế tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC = abc 6 + Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực tâm H tam giác ABC Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 2; 2) cắt tia Ox, Oy,Oz điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Hướng dẫn giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt tia Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Do mặt phẳng cắt tia nên Ta có a, b, c > x y z Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = a b c 2 1 1 → + + =1⇔ + + = • Do M ∈ ( P ) a b c a b c Ta có OA = a; OB = b; OC = c →VOABC = abc 1 3 • Do a, b, c ba số dương nên theo Côsi ta có + + ≥ ⇔ ≥3 ⇔ abc ≥ ⇔ abc ≥ 216 a b c abc abc →VOABC ≥ 216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = , từ ta phương trình (P): x + y + z – = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; 0) mặt phẳng (P): y – z + = Viết phương trình mặt phẳng qua A, vng góc với (P) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho diện tích tam giác ABC y z ± =1 2 Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 0; 0) điểm M(2; 3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, M cho (α) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho VOABC = , với O gốc tọa độ Đ/s: ( ABC ) : x ± x y z x y z + − = 1; − + =1 2 Bài 3: [ĐVH] Cho điểm A(–2; 0; 0) mặt phẳng (P): x + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng qua A, vng góc với (P) cắt trục Oy, Oz lần lược điểm B, C cho VOABC = x y z Đ/s: ( ABC ) : − + + = Bài 4: [ĐVH] Cho điểm B(0; 3; 0) điểm M(1; -3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua B, M cho (α) cắt trục Ox, Oz lần lược điểm A, C cho S ABC = , với O gốc tọa độ y z Đ/s: ( α ) : x + + = Đ/s: ( ABC ) : Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Trang Khóa học LTĐH mơn Toán Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 5: [ĐVH] Viết pt mp qua M(2; 1; 4) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC Bài 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 2; 2) cắt tia Ox, Oy,Oz điểm A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Bài 7: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; 1; 1) cắt tia Ox, Oy,Oz lần lược điểm A, B, C cho tam giác ABC cân A, đồng thời M trọng tâm tam giác ABC Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Trang