Một số không gian xác suất trên r

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 29 22 MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng 3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Bài báo này[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 - 29 MỘT SỐ KHƠNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN Phạm Thị Thái, Đồn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo đưa số không gian xác suất từ xây dựng số biến ngẫu nhiên khơng gian xác suất nói Ngồi ra, báo xây dựng số không gian xác suất tập số thực cảm sinh không gian xác suất xây dựng Cuối cùng, số ví dụ đưa để minh họa cho việc tính kì vọng phương sai số biến ngẫu nhiên không gian xác suất đề cập đến Từ khóa:  - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai Mở đầu Trong tốn học, không gian xác suất tảng lý thuyết xác suất đại (cả lý thuyết xác suất cổ điển) Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm xác suất biến cố phát biểu nhiều dạng khác nhau, nhiên thấy định nghĩa khơng nói lên chất tốn học vấn đề Ngày nay, lý thuyết xác suất phát triển dựa phương pháp tiên đề lý thuyết độ đo Điều làm cho lý thuyết xác suất thực khoa học toán học Bài báo xây dựng số ví dụ minh họa cho số khái niệm quan trọng lý thuyết xác suất đại Đó khơng gian xác suất, biến ngẫu nhiên, khơng gian xác suất cảm sinh kì vọng, phương sai biến ngẫu nhiên không gian xác suất tổng quát Tất vấn đề nêu xây dựng dựa vào lý thuyết chặt chẽ độ đo, tích phân Lebesgue,… Bài báo trình bày theo bố cục sau Trước hết, dựa vào tài liệu [1], [2] [3] trình bày khái niệm cần dùng lý thuyết xác suất tổng quát không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, khơng gian xác suất cảm sinh kì vọng, phương sai biến ngẫu nhiên phần đầu mục Tiếp sau đó, phần cuối mục, số ví dụ minh họa cho khái niệm nêu xây dựng với tiêu chí đơn giản, tinh giản chặt chẽ, làm phong phú thêm khái niệm đưa Không gian xác suất 2.1 Một số khái niệm Định nghĩa 2.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Một họ  - đại số X thỏa mãn điều kiện: tập X gọi a) X  ; b) Nếu A CA ; c) Nếu  An n *   An  n 1 Ngày nhận bài: 26/2/2017 Ngày nhận kết phản biện: 14/4/2017 Ngày nhận đăng: 20/9/2017 Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: phamthithai68@gmail.com 22 Nhận xét 2.2 Có thể thay cách tương đương điều kiện c) điều kiện: c’) Nếu  An n *   An  n 1 Định nghĩa 2.3 Một hàm tập hợp  xác định  - đại số tập tập hợp X gọi độ đo X  thỏa mãn điều kiện sau: a)    A   với A ; b)      0; c)   - cộng tính, tức với A1 , A2 , , An ,   dãy tập rời   An    n1   An   n1    Hơn nữa,  độ đo xác suất   X   Định nghĩa 2.4 Gọi ba  X , ,   không gian xác suất, X  độ đo xác suất X Khi đó, X khơng gian mẫu,  - đại số không gian biến cố  hàm xác suất Ví dụ 2.5 Xét phép thử gieo xúc xắc lần Gọi s số chấm xuất mặt xúc xắc gieo Khi khơng gian mẫu X  1, 2, 3, 4, 5, 6 Xét họ tất tập X (bao gồm 26 phần tử)  - đại số X Vậy không gian biến cố Tiếp theo, xác định hàm xác suất  X sau Với phần tử X, có định nghĩa  s  , s  1, Từ công thức này, xác định tất biến cố Chẳng hạn xác suất biến cố số chấm chẵn E  2, 4, 6 = 2  4  6 ta thấy   E   Vậy  X , ,   không gian xác suất Định nghĩa 2.6 Giả sử  , hai độ đo  - đại số liên tục tuyệt đối độ đo  với E   X Khi độ đo  :  E     E   Kí hiệu  2.2 Một số khơng gian xác suất Ví dụ 2.7 Đặt X  0,1 Kí hiệu  - đại số X sinh tập mở X (khi  - đại số X sinh tập đóng X) Mặt khác, thấy biểu diễn sau đây: i) Với a, b  0, 1 thì: 23  a, b  = ii)  =    1 1 a  , b  ; ( a , b ) = a  , b   ; j0     j j j j b  a  j 1  j  j0      1    1 0, ; a = a , a  ,  a  0,1 ; =     1  ,1       j j j  j 1  j 1  j 1   Bởi tập mở hợp không đếm khoảng mở nên với biểu diễn trên,  - đại số X sinh họ khoảng nửa đóng X 1   Như vậy, tập  ,  ; 0, 3 3  thể thấy    1  1   ,1 ;   ;  ;       2  ; thuộc 3 Hơn có 0, a , a 0, 1 họ  0, a  , a  0, 1 Khi với sinh họ tập 0, a  , a 0, 1 Thật vậy, chẳng hạn với họ khoảng đóng  a, b , a, b  0, 1 , để khơng tính tổng quát coi a, b   0, 1 Sẽ có:  a, b = X \ 0, a   b,1 Mặt khác  0, b   a, b  nên X \ 0, b =  b,1   J  Từ suy điều phải chứng minh Xác định hàm xác suất  X sau Với E  , đặt   E  độ đo Lebesgue ([2]) E Rõ ràng tập thuộc đo Lebesgue tập mở X hợp nhiều đếm khoảng mở, khoảng mở đo Lebesgue Hơn   X    0, 1  Như  độ đo xác suất X Chẳng hạn ta có độ đo (xác suất) số tập (biến cố) sau:  1    1  2   1    1      ,   = ;   0,     ,1  ;      = 0;    ;   = 0;  3     3     3  3  Vậy  X , ,   không gian xác suất 1 Xét  - đại số X cho Ví dụ 2.8 Đặt X   j    j * gồm tất tập X Xác định hàm xác suất  X sau Với tập E  , đặt:  E   kI I tập bao gồm số k mà  E Rõ ràng  độ đo xác suất 2k X   2 k Vậy  X , 24 , 2k * ,   không gian xác suất k 1 Nhận xét 2.9 Độ đo Lebesgue tập không đếm không Do vậy, từ định nghĩa độ đo xác suất  Ví dụ 2.7 Ví dụ 2.8 nói trên, có   ,  độ đo Lebesgue Biến ngẫu nhiên không gian xác suất tổng quát 3.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1 Cho  X , ,   không gian xác suất Giả sử f : X  hàm số X f hàm Borel X với tập Borel ([1]) G  có f 1  G   Gọi hàm Borel không gian xác suất biến ngẫu nhiên Nhận xét 3.2 i) f hàm Borel X tương đương với f 1   , a   , a  , đồng thời tương đương với f 1   , a    , a  ii) Nếu f hàm Borel X f 1   , a  , a  , biến cố hàm xác suất  xác định tập 3.2 Một số biến ngẫu nhiên Ví dụ 3.3 Xét không gian xác suất  X , ,   Ví dụ 2.5, ta xét hàm f : X  xác định sau: s  X , f (s)  s Khi có:   1 1,2  a  , f 1   , a    1,2,3  1,2,3,4 1,2,3,4,5   X Rõ ràng f 1   , a    , a  a  1;  a  2;  a  3;  a  4;  a  5;  a  6; a  nên f hàm Borel X Ví dụ 3.4 Tương tự Ví dụ 3.3, xét X   1, 1 ,  1, 1  - đại số  ,  xác định     Ví dụ 2.7 Khi  X    1, 1   có   1, 1 ,  1, 1 ,  không gian xác tập Borel sinh tập mở  1, 1 hàm xác suất suất Xét f : X  2  2 xác định sau: s  X , f  s   | s | Khi có: a  , f 1   , a    s  X :| s | a 25 Xét trường hợp sau: Trường hợp Nếu a  f 1   , a     Trường hợp Nếu a  đó: f 1   , a    s  X :  a  s  a = s  X :  a  s  s  X : s  a Khơng tính tổng qt, cần s  X : s  a  Thật vậy, đặt g  s   s, s  X hàm g liên tục (với topo thông thường) X Đồng thời: s  X : s  a = s  X : g  s   a =g 1  , a    nghịch ảnh tập mở  , a  , qua hàm liên tục g tập mở X, g 1   , a   tập mở thuộc vào  - đại số Borel X Chứng tỏ f hàm Borel X Nhận xét 3.5 i) Tổng quát Ví dụ 3.4, lập luận tương tự trên, với   hàm f : X  xác định s  X , f  s   | s | hàm Borel X ii) Trong Ví dụ 2.8, tập X thuộc  - đại số nên hàm f : X  có f 1   , a    Do hàm f xác định hàm Borel Tiếp theo, dựa vào kết [5] cách xây dựng tập không Borel, ta xây dựng hàm không hàm Borel sau Ví dụ 3.6 Giả sử c( x) hàm Cantor  0,1 Đặt g  x   x  c  x  , x  X xét khơng gian xác suất  X ,  g     1, ,   Ví dụ 2.7 Khi [5] có g   tập Borel họ tập Cantor đoạn  0,1 Tiếp tục theo [5] tập có độ đo Lebesgue dương chứa tập không đo được, kí hiệu E Nếu đặt A  f 1  E  theo [5] có A tập không Borel X, tức A Xét hàm f : X  xác định bởi: 0 x  A; f  x   1 x  A Khi A tập khơng Borel nên có f 1   ,    A  Vậy f không hàm Borel X Hàm xác suất cảm sinh không gian xác suất 4.1 Hàm xác suất cảm sinh không gian xác suất Giả sử  X , ,   không gian xác suất f hàm Borel X Theo định nghĩa suy với tập Borel A  có: x  X : f  x   A  Do xác định xác suất  x  X : f  x   A Đặt  f  A   x  X : f  x   A , A tập Borel 26 Hơn A  suất     x  X : f  x    =  X  =1, tức  f độ đo xác hàm xác suất  - đại số   tập Borel  f Vậy  f Định nghĩa 4.1 Gọi f độ đo xác suất cảm sinh không gian xác suất  X , ,   hàm Borel f X Đặc biệt đặt: Ff  a    f  , a    f  a  , a  gọi F f hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên f 4.2 Một số hàm xác suất cảm sinh khơng gian xác suất cho trước Ví dụ 4.1 Xét không gian xác suất  X , ,   Ví dụ 2.7 Xét hàm f : X  cho bởi:  1  x  1; f  x    x  x <    tập Borel sinh , coi A   , a  Từ có: Khi dễ thấy f hàm Borel X Do  - đại số tập  , a  , a   f  A   f nên với tập Borel A   , a     x  X : f  x   a a  0;         0, a   < a  ;      0,    a  1;       a     X  0  a   1 2 1  Đặc biệt có  1  Tuy nhiên  f a  0; < a  ;  a  1; a  1    f  x  =1   f f  1     ,1    Điều   chứng tỏ độ đo xác suất cảm sinh  f không liên tục tuyệt đối độ đo (Lebesgue)  Ví dụ 4.2 Xét không gian xác suất  X , ,   hàm Borel f Ví dụ 3.4 Khi | x | nên ta xét tập Borel A  0, 1 Từ có: 27  f  A    Chẳng hạn:  f    , 0   0;  f    x  X :| x | A =  A  1   1     1  0,     0,       , 0     0,            Kì vọng phƣơng sai số biến ngẫu nhiên 5.1 Kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên Giả sử  X , ,   không gian xác suất f : X  hàm Borel X) Kí hiệu p  X ,  , biến ngẫu nhiên (tức p  tập hợp hàm khả tích (Lebesgue) bậc p X Định nghĩa 5.1 Ta nói biến ngẫu nhiên f có kỳ vọng f   X ,   Khi đặt: f   fd  X gọi f kì vọng biến ngẫu nhiên f Đồng thời, f  var f   X f  f  d  f  X,   f ta đặt gọi phương sai biến ngẫu nhiên f Nhận xét 5.2 Theo [4] có f   fdFf var f   ( f  f )2 dFf 5.2 Kì vọng phương sai số biến ngẫu nhiên Ví dụ 5.3 Xét khơng gian xác suất  X , ,   Ví dụ 2.7 biến ngẫu nhiên: 1 x  X  ; f  x   0 x  X  [ \ ] f hàm Borel X Thật vậy, với a  , tập: f thuộc 1 a     a    , a     X   X  [ \ ] a   Tiếp theo, có:  X fd    [0,1] fd  Xét hàm g  x   0, x  0, 1 g hàm liên tục theo [2] có f khả tích Lebesgue X thỏa mãn:  [0,1] fd    Với cách tính tương tự, tích phân: 28 [0,1] gd   Vậy f  g X nên g ... gian xác suất 4.1 Hàm xác suất cảm sinh không gian xác suất Giả sử  X , ,   không gian xác suất f hàm Borel X Theo định nghĩa suy với tập Borel A  có: x  X : f  x   A  Do xác định xác. .. Hơn nữa,  độ đo xác suất   X   Định nghĩa 2.4 Gọi ba  X , ,   khơng gian xác suất, X  độ đo xác suất X Khi đó, X không gian mẫu,  - đại số không gian biến cố  hàm xác suất Ví dụ 2.5... f  a  , a  gọi F f hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên f 4.2 Một số hàm xác suất cảm sinh không gian xác suất cho trước Ví dụ 4.1 Xét khơng gian xác suất  X , ,   Ví dụ 2.7 Xét hàm f