SỔ TAY KIẾN THỨC TOÁN 12

Tài Liệu Ôn Thi Group https //TaiLieuOnThi Net T A IL IE U O N T H I N E T https //tlot cc/tailieuonthigroup https //TaiLieuOnThi Net Tuyensinh247 com 1 MỤC LỤC Hàm số 02 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và[.]

Trang 2

MỤC LỤC

Hàm số 02

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit 19

Nguyên hàm, tích phân 29

Số phức 46

Khối đa diện 50

Các khối trịn xoay 57

Phương pháp tọa độ trong khơng gian 65

Cuốn sổ tay gồm 80 trang, tổng hợp lại đầy đủ các dạng bài và công thức quan trọng của mơn Tốn lớp 12

Trang 3

HÀM SỐ

ĐƠN ĐIỆU

Tìm khoảng đơn điệu của

hàm số

 

y f x

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Giải phương trình f ' x 0 và tìm các điểm f ' x

không xác định

Bước 3: Lập BBT của hàm số f x  

Bước 4: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu chứa tham số

Đơn điệu trên

- Đối với hàm đa thức bậc ba: Sử dụng tam thức bậc hai:

2' 0y ax  bx c a220 0' 0 ; ' 04 0 4 0aayxyxbacbac                 

Đơn điệu trên  a b ;

Đơn điệu trên

Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L

Trang 4

Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L Cho  32 ; 0y f x m ax bx cxd a  2' ' ; 3 2y  fx m  ax  bxc có  ' b23ac Bước 1: Tính 'y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0  1' 0a 

Bước 2: Biến đổi x1x2 L

2 2122 212 4 1 2xxLxxx xL     Vậy 22  4 2S  PL Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét

đưa (2) về phương trình theo

m

Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) và kết luận

Trang 5

Lưu ý không lấy dấu bằng

Riêng đối với hàm yax bcx d





Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

ax bycx d là y' adbc2cx d

Đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định 0adbc hoặc 0ad bc Phương pháp chung:

- Tính y' Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên  a b thì ; y' 0  x  a b; (y' 0  x  a b; ) và bằng 0 tại hữu hạn điểm

- Cô lập m, đưa về dạng:   ; max ;  a bmg x  xa b  mg x ,       ;; mina bmg x  xa b  mg x- Lập BBT hàm số g x trên   a b và kết luận ;0adbc hoặc 0ad bc  + d  ; c    (tức là hoặc dc   hoặc dc   )

Đơn điệu trên  a b ;

Đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng  ; 

Trang 6

Hàm yf x m ;  ax2 bx c

dx e

 

 



Cơng thức tính nhanh đạo hàm:

22' adxaex be cdydx e  

Hs đồng biến trên TXĐ khi ' 0y  và nghịch biến trên khi y'0

Hàm phân thức chứa lượng giác

 ;  au x   byf x mcu xd  ; trong đó

  sin , cos , tan , cot

u x  xxxx

Cách 1: Tính đạo hàm trực tiếp

Chú ý đạo hàm hàm hợp: y' f '   u u x '

Dấu của y phụ thuộc vào tích dấu ' f ' u và u x' 

Cách 2: Đổi biến

Đặt tu x , với x ;  thì t D t t1; 2

+ Nếu t'u x'   0 x  ;  thì u cầu bài tốn trở thành

tìm m để y f t  đơn điệu cùng chiều đề bài trên D + Nếu t'u x'   0 x  ;  thì yêu cầu bài tốn trở thành

tìm m để y f t  đơn điệu ngược chiều đề bài trên D

VD: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số cos 22 cosmxyx m nghịch biến trên 3 2;     + Đặt tcosx, với ;3 2x   thì 10;2t + Ta có '  sin 0 ;3 2t x   x  x    2 1, 0;2 2mtyttm       Bài tốn  Tìm m để hàm số y f t đồng biến trên 0;12      2 2 24 0' 0 2 001 20;121mmftmmmmtmm                 

Lưu ý: lấy dấu bằng

Trang 7

CỰC TRỊ

Phương pháp

tìm cực trị 1 Tìm tập xác định cùa hàm số

2 Tính y', giải phương trình y' 0 và xác định các điểm mà y' không xác định

3 Lập bảng xét dấu y' và xác định các điểm cực trị là điểm mà qua đó y' đổi dấu

Note: Chỉ cần y' đổi dấu, không cần y'0

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC HÀM ĐA THỨC BẬC BA 320yax bx  cx d a1 Đạo hàm: 2' 32yaxbx c 2 Điều kiện để hàm số có cực trị: 23 0b  ac 3 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

Trang 8

Điều kiện cần và đủ để x0 là điểm cực đại của hàm số y f x :   00' 0'' 0fxfx

Điều kiện cần và đủ để x0 là điểm cực tiểu của hàm số y f x :   00' 0'' 0fxfx

Tìm số điểm cực trị thông qua đạo hàm đã cho

Nếu thoả mãn pt f ' x 0thì là nghiệm bội lẻ

   1  2

' mn

fx  xxxx

+ m n, lẻ: x x1, 2 là những điểm cực trị + m n, chẵn : x x1, 2 khơng là cực trị

Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f x 

Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:  Đạo hàm y' phải đổi dấu khi qua nó

 Tại các điểm cực trị, y' có thể bằng 0 hoặc không xác định nhưng y phải xác định

 Hàm số thay đổi chiều hướng mũi tên khi qua nó  Đồ thị hàm số “lồi lên hoặc lõm xuống” tại các

điểm cực trị

Tìm số điểm cực trị thơng qua đồ thị hàm số y f ' x

Quan sát điểm cực trị thoả mãn các dấu hiệu:

 Là giao điểm của đồ thị f ' x với trục hoành Ox

 y f ' x đổi dấu khi qua các điểm đó hay tại đó đồ thị f ' x nằm về cả hai phía mặt phẳng bờ Ox

 Khơng tính điểm mà tại đó f ' x tiếp xúc Ox

Tại điểm đồ thị hàm số đi từ miền âm lên dương là điểm

Trang 9

Dữ kiện Công thức thỏa mãn

0

ab Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab0

Tam giác ABC vuông cân tại A b3  8a Tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp O

3 8 8 0

b  a abc

Tam giác ABC đều b3 24a Tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp O

3 8 4 0

b  a abc

Tam giác ABC có diện tích S0 3 2 50

32aS b 0 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R

388baRa b

Tam giác ABC có trọng tâm O 26

b  ac Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r

2214 18brbaa     

Tam giác ABC có trực tâm O 3

8 4 0

b  a ac Tam giác ABC có 3 góc

nhọn  38 0ba b Khi đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị A, B, C CỰC TRỊ CHỨA m Hàm đa thức bậc 3: 32 0yax bx cxd a (hệ số a có chứa m) + Hàm số có 2 cực trị  a 0 và  'y' 0+ Hàm số có 1 cực trị  a 0 và b0

Trang 10

CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM KHÁC   2T xaxbx cymx nM x   với 0, 0namTm      Hàm số có 2 điểm cực trị: a T x  0 0  Hàm số khơng có cực trị: a T x  0 0 Chú ý: 0; n 0amTm     hàm số suy biến và khơng có cực trị Với 2axbx cymxn 

Trang 11

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện cho trước: Cho hàm số  32 

, 0

f x m ax bx cxd a

Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: TXĐ: DR22' 3 2yaxbxcAxBxC    

Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu

12'0 0'y 0 3 0AamDbac         

Bước 3: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của PT Khi đó, theo ĐL Vi-et:

12122; 3 3BbCcSxxPx xAaAa        

Bước 4: Biến đổi hệ thức đề bài về dạng

chứa S P; Từ đó giải tìm được mD2

Bước 5: Kết luận mD1D2 thoả mãn yêu cầu bài toán

Điều kiện để hai điểm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn 

Khi đó PT y'0 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thoả mãn:

Trang 12

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x  trên  a b;

Bước 1: Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên khoảng  a b , tại đó ; f ' x

bằng 0 hoặc f ' x không xác định

Bước 2: Tính f a       , f b , f x1 , f x2 , , f x  n

Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có:    ;maxa bM  f x ,    ;mina bm f x

Note: Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 khoảng, hoặc các hàm

phức tạp thì bước 3 nên thay bằng lập BBT của hàm số

SKILL SỬ DỤNG MTCT – CHỨC NĂNG TABLE

MODE 7 (đối với FX 570 VN

plus) hoặc MODE 8 (đối với FX 580 VN X) Bước 1: Nhập hàm số f X  Bước 2: Nhập START = a, END = b, STEP 19ba Bước 3: Đọc giá trị cột F X  và tìm GTNN, GTLN của hàm số trên  a b; , đạt được tại các giá trị x tương ứng ở cột X Nếu đề bài cho bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số, yêu cầu

tìm GTLN, GTNN trên một khoảng/ một đoạn nào đó, ta chú ý giá trị của hàm tại hai điểm đầu mút và tại các điểm cực trị

Trang 13

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Khái niệm

Đường thẳng yy0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị y f x  nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim   0

xf xy

  , lim   0

xf xy

 

Đường thẳng x x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị y f x  nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn:  

0limxx f x  ,  0limxx f x  

Nên sử dụng máy tính cầm tay để tính giới hạn Đường tiệm cận đứng của đồ thị là nghiệm của mẫu số không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử số (không triệt tiêu hết khác với trùng)

Trang 14

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Sự biến thiên:

- Xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm các điểm mà y'0 hoặc khơng xác định, xét dấu đạo hàm) - Tìm cực trị

- Tính các giới hạn tại vơ cực, tìm các đường tiệm cận (nếu có) - Lập BBT

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất

Trang 16

Hàm số y f x 

có đồ thị  C

Với số a0 Hàm số y f x a có đồ thị  C là tịnh tiến '

 C theo phương của Oy lên trên a đơn vị

Hàm số y f x a có đồ thị

 C là tịnh tiến '  C theo

phương của Oy xuống dưới a

đơn vị

Hàm số y f x a   có đồ thị  C là tịnh tiến '

 C theo phương của Ox qua phải a đơn vị

Hàm số y f x  có đồ thị

 C' là đối xứng  C qua Ox

Hàm số y f x a có đồ thị  C là tịnh tiến '

 C theo phương của Ox qua trái a đơn vị

Hàm số y f  x có đồ thị  C' là đối xứng

 C qua Oy

Trang 17

1 Giao điểm của hai đồ thị

Giả sử hàm số y f x  có đồ thị là  C1 và hàm số

 

yg x có đồ thị là  C2

Để tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị trên giải phương trình f x  g x .

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Giả sử hàm số y f x  có đồ thị là  C1 và hàm số

 

yg x có đồ thị là  C2

Hai đường cong  C1 và  C2 tiếp xúc nhau hệ phương trình     ' 'f xg xfxg x

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ

tiếp điểm của hai đường cong đó

Biến đổi đồ thị chứa dấu GTTĐ

Bài toán tương giao

Trang 18

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : y f x  tại M x y 0; 0

Bước 1: Tính y' f ' x

suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là

 0

'

k y x

Bước 2: Phương trình tiếp

tuyến của đồ thị  C tại

điểm M x y 0; 0 có dạng:

 

0 ' 00

yy  fxxx

Sử dụng máy tính

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng

:

d yax b

Bước 1: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến

 0

'

k y x Nhập d f x |x x0

dx  bằng cách nhấn SHIFT  sau đó nhấn  ta được a .

Bước 2: Sau đó nhân với X tiếp tục nhấn

  0

f xCALC Xx

  nhấn phím  ta

được b

① Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại

điểm x thì ta tìm 0 y bằng cách thế vào hàm số ban 0đầu, tức y f x 0 Nếu cho y ta thay vào hàm số để 0giải ra x 0.

② Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các

giao điểm của đồ thị  C : y f x và đường thẳng

:

d yax b Khi đó các hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và  C .

Trang 19

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : y f x  biết tiếp tuyến đồ thị đi qua điểm A x A;yA.

Phương pháp:

Cách 1:

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A x A;yA hệ số góc k có dạng: d y: k x xAyA  *

Bước 2: d là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  

 'AAf xk xxyfxk  

Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình  * , ta được tiếp tuyến cần tuyến Cách 2:

Bước 1: Gọi M x 0; f x 0  là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k y x' 0  f ' x0 theo x 0Bước 2: PTTT d y:  y x'  0 xx0y0  **

Điểm A x A;yAd nên yA  y x'  0 xAx0y0 giải phương trình này ta tìm được x 0.

Bước 3: Thế x vào 0  ** ta được tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:

Cho f x bằng kết quả các đáp án Vào   MODE  5  4 nhập hệ số phương trình

Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số  C1 : y f x  và  C2 : yg x .

Phương pháp:

Bước 1: Gọi d là tiếp tuyến chung của    C1 , C2 và x là hoành độ tiếp điểm của d và 0  C thì 1

d :y f '  x0 xx0 f x  0 ***

Trang 20

Hàm lũy thừa n

yx Hàm mũ yax 0 a 1 Hàm lôgarit



loga 0 1

y x  a

- Với n nguyên dương:

D

- Với n  hoặc n0:

 

\ 0

D

- Với n không nguyên:

0; D Tập xác định D Tập xác định D0;   1'nnx nx Đạo hàm hàm hợp:  '1.nnu nu  u ax 'axlnaĐạo hàm hàm hợp:  au 'au.ln 'a u 1log 'lnaxxaĐạo hàm hàm hợp:  'log '.lnauuua- Hàm số luôn đồng biến khi

0n - Hàm số luôn nghịch biến khi n0- Hàm số luôn đồng biến trên khi a1 - Hàm số luôn nghịch biến trên khi 0 a 1- Hàm số đồng biến trên 0; khi a1- Hàm số nghịch biến trên 0; khi 0 a 1- Với n0: Khơng có tiệm

cận

- Với n0: TCN Ox , TCĐ Oy

TCN: Ox , TCĐ: khơng có,

đồ thị nằm hồn tốn phía trên trục hồnh

TCN: khơng có, TCĐ: Oy, đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung

1 – TẬP XÁC ĐỊNH

2 – ĐẠO HÀM

3 – SỰ BIẾN THIÊN

4 – TIỆM CẬN

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Trang 22

ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

1

a

0 a 1

Hàm logarit cơ số e, kí hiệu ln x Đặc biệt:   1   'lnx ' ; lnu ' u

xu

 

Hàm logarit cơ số 10 , kí hiệu: log x Đặc biệt:  1  '

Trang 23

CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARIT 1 na b.n  nab2 nnnaabb 3  mnmna  a4 nana khi n lea khi n chan 5 n knka  a6 a a  a  a07 aa a 0a  8   . 0a  a  a9  ab  a b  a b, 010 aa a b, 0bb      11 log 1 0, loga  aa1 0  a 112 logaba b logaa  0 a 1,b0

13 loga b b1 2 logab1logab212: 0 1, , 0DK  ab b 14 1 12122

logab logab logab 0 a 1,b b, 0

b     15 1 loga logab 0 a 1,b 0b    16 log log 0 , 1, 0logcacbba cba   17 1 log 0 , 1logabba ba  18 1 loga b logab 0 a 1,b 0, 0    

Đưa về cùng cơ số Đặt ẩn phụ Logarit hóa, mũ hóa

Phương pháp đồ thị, hàm đơn điệu và hàm đặc trưng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT

Trang 24

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đổi phương trình về dạng f x  g x 

a a

 Với 0 a 1 Ta có: f x  g x    

a a  f x g x • af x   1 f x 0

Phương pháp đặt ẩn số phụ

Lưu ý: Ẩn số phụ t0 Trong một số bài cần tìm điều kiện chặt chẽ cho t

Dạng 1: Phương trình có dạng: 23200xxxxxAxBaCAaBaCaD      ta đặt t ax, (t0) Dạng 2: Phương trình có dạng:  22 x x x 0A a B a b C b  Biến đổi phương trình đưa về dạng:

20xxaaABCbb             Đặt  0xattb     Dạng 3: Phương trình có dạng x x 0A a B b  C Với a b1 hoặc a bx x 1 Đặt tax (t0), khi đó x 1bt

Phương pháp lấy lơgarit hai vế (lơgarit hóa)

    log

f x

aa M  f x  M

Chú ý: khi các vế phương trình có chứa tích các lũy thừa với cơ số khác nhau, ta lấy lôgarit hai vế cùng một cơ số nào đó

VD: 1 2 2

3 2x x 8.4x

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2, ta được

2

12

2222

log 3x log 2x log 8log 4x  2 

Trang 25

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số

Biến đổi phương trình về dạng:     

  0 1loga loga 0 0af xg xf xhoac g xf xg x      Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Đặt tlogaf x , với a và f x  thích hợp để đưa phương trình logarit về phương trình đại số đối với t

Dạng 1: 2 loga loga 0 0 1 Ax Bx C  a Đặt tlogax Dạng 2: AlogaxBlogxa C 0 0  a 1 Đặt 1 loga logx 0 1txaxt    

Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế

Áp dụng định nghĩa logarit: logaf x g x ag x   f x 0 a 1, f x 0

Có thể sử dụng các phương pháp khác như: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Xét phương trình có dạng: x

a x ; logaxx a1, 0

 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hàm số x

ya hoặc ylogax và yx

 Dựa vào đồ thị, tìm hồnh độ giao điểm của hai đường, đây là nghiệm của phương trình đã cho Thử lại bằng phép

Trang 26

PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐƠN ĐIỆU

Xét phương trình f x g x  trên D

Nếu f x  đồng biến, yg x  nghịch biến trên D thì phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm Nếu f x  đơn điệu, yg x  khơng đổi trên D thì phương trình cũng có nhiều nhất một nghiệm

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

Đánh giá hai vế đối lập: VTMVTMVP

VPM   

Dấu “=” xảy ra: VTVPVTM

VPM



   



Biến đổi đưa về    f uf vuvf t don dieu    f t

 là hàm đặc trưng, f t  có thể là đơn điệu tăng

hoặc đơn điệu giảm trên D

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

Chú ý:

Có thể sử dụng MTCT để tìm nghiệm của phương trình mũ và logarit B1: Chuyển hết về 1 vế và nhập phương trình vào máy tính

B2: Ấn shilf solve tại các giá trị x bất kì

Trang 27

Dạng 1: 𝑎𝑥 > 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑥 > 𝑏 Tập nghiệm 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 𝑏 ≤ 0 ℝ ℝ 𝑏 > 0 (log𝑎𝑏 ; +∞) (−∞; log𝑎𝑏) Dạng 2: 𝑎𝑥 ≥ 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑥 ≥ 𝑏 Tập nghiệm 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 𝑏 ≤ 0 ℝ ℝ 𝑏 > 0 [log𝑎𝑏 ; +∞) (−∞; log𝑎𝑏] Dạng 3: 𝑎𝑥 < 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑥 < 𝑏 Tập nghiệm 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 𝑏 ≤ 0 ∅ ∅ 𝑏 > 0 (−∞; log𝑎𝑏) (log𝑎𝑏 ; +∞) Dạng 4: 𝑎𝑥 ≤ 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑥 ≤ 𝑏 Tập nghiệm 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 𝑏 ≤ 0 ∅ ∅ 𝑏 > 0 (−∞; log𝑎𝑏] [log𝑎𝑏 ; +∞)

Cách phương pháp giải bất phương trình mũ: Tương tự các phương pháp giải phương trình mũ

Lưu ý khi giải:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ {𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥)𝑎 > 1 ⇔ {𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)𝑎 > 1{𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥)0 < 𝑎 < 1 ⇔ {𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)0 < 𝑎 < 1

Giải bất phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số

Trang 28

Dạng 1: logaxb a 0, a1logaxba1 0 a 1Nghiệm ab;0;abDạng 2: logaxb a 0, a1logaxba1 0 a 1Nghiệm ab;0;abDạng 3: logaxb a 0, a1logaxba1 0 a 1Nghiệm 0;abab;Dạng 4: logaxb a 0, a1logaxba1 0 a 1Nghiệm 0;ab ab;

Cách phương pháp giải bất phương trình logarit: Tương tự các phương pháp giải phương trình logarit

Lưu ý khi giải:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT • logaf x logag x   1    1: 1 0a  f x g x     0 a 1: 1  0 f x g x• logaf x b  2   1: 2 ba  f x a   0 a 1: 2  0 f x ab

Giải bất phương trình lơgarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Trang 29

BÀI TỐN THỰC TẾ

Các dạng tốn về lãi suất ngân hàng

Lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn

%

r /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn (n *) là: Sn  A nAr A1nr

Lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép %r

/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: Sn A1rn

Lãi kép liên tục – Tăng trưởng mũ Cơng thức: n r.

nS  Ae

Bài tốn tăng trưởng dân số

Công thức: Xm Xn1rm n , m n,  ,mn

r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

m

X dân số năm m

n

Trang 30

Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm hợp uu x 0dxC0duC1dx xC1du uC11aaxx dxCa  aua 11u duCa 1lndxxCx   1du lnuCu   1 1 121ndxnC nx   nx    1 1 121ndxnC nu   nu   12 xdx xC 21 duuCu  cosxdxsinxC

cosudusinuC

sinxdx cosxC

sinudu cosuC

Trang 31

 1   1 f ax b dxf ax b d ax bF ax bCaa       1  1 1 11nnax bax bdxC nan     2 216 1 tan tancosdxax bdxax bCax b       a  21 1 12 dx Ca ax bax b  2217 1 cot cotsindxax bdxax bCax b       a  1 13 dx 2 ax bCaax b    8 eax bdx 1eax bCa    1 4 cos ax b dx sin ax bCa    1 9 0 1lnax bax bmmdxCmam     1 5 sin ax b dx cos ax bCa     10 1 dx 1ln ax bCax b a  THIẾT LẬP BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNGPHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Trang 32

   'fx dx d f x  f x C  '    f u xu x dx f u xd u x F u x CCông thức vi phân f ' x dxdf x 

1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA BIẾN VÀO VI PHÂN

Với y f x dyy dx' Với yg t dy f ' t dt Với uu x duu dx'

Với g t  f x g t dt'   f ' x dx

Liên hệ đạo hàm, nguyên hàm và vi phân

Trang 33

DẠNG 3 DẠNG 4  1ln Ifxdxx Đặt t lnxdt 1dxx   . I  f e x e dxx Đặt t exdte dxx  1ln If a bxdxx Đặt ta blnxdtbdxx    x xI  f abee dxĐặt xxt a be dtbe dx.DẠNG 1 DẠNG 2  1 .mnnI  f ax  bx dxĐặt 1 1nntax   bdt n ax dx    'nI  f x fx dxĐặt    1  'nnnt f x  tf x nt dt  fx dx 11mnnxIfdxax     Đặt 1 1 1 ,nntax   dta n x dx với m n,   2dxIfxxĐặt 2dxtxdtx  

2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Cho  f u du  F u C và uu x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

   '   

f u x u x dx f u x duF u x C



LOẠI 1: Đặt tu x 

Trang 34

DẠNG 5 DẠNG 6 cos .sinI  fxxdxĐặt tcosx  dt sinxdx sin .cosI  fxxdxĐặt tsinx dt cosxdx  cos .sinI  f abxxdxĐặt t a bcosx  dtbsinxdx  sin .cosI  f abxxdxĐặt t a bsinx dtbcosxdx DẠNG 7 DẠNG 8 tan  2cosdxIfxxĐặt  2 21tan 1 tancostxdtdxx dxx     cot  2sindxIfxxĐặt  2 21cot 1 cotsintxdtdxx dxx      DẠNG 9 DẠNG 10 22 

sin ; cos sin 2

I  fxxxdxĐặt 22sin sin 2 ;cos sin 2 txdtxdxtxdtxdx      

sin cos   sin cos 

I  fx xxx dx

Đặt tsinxcosxdtcosx sinx dx

Trang 36

Nhận dạng

Tích hai hàm khác loại nhau, khơng có đạo hàm Ví dụ:xsinxdx,xe dxx ,xlnxdx,exsinxdx …

Phương pháp làm bài: Đặt vi phannguyen hamududxdvdxv     

 , suy ra I udvuvvdu

Với P x lnxdx đặt uln ,x dvP x dx  Với   xP x e dx

 đặt uP x ,dve dxx

Với P x sinxdx, P x cosxdx

đặt uP x , dvsinxdx hoặc dvcosxdx

Với xsin , xcos

exdxexdx

 đặt

sin , cos , x

u x u x dve dx

Chú ý: Sau khi áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, ta phải nhận được một nguyên hàm dễ hơn ban đầu

3 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Nếu hai hàm số uu x  và vv x  có đạo hàm liên tục trên K thìu x v x dx    ' u x v x   u x v x dx'   

Hoặc dạng rút gọn: udvuvvdu

Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv bằng phần còn lại

Trang 37

① Kỹ thuật chọn hệ số Khi đặt     'uf xdufx dxdvg x dxvG xC       

  với C = const bất kì, ta hay chọn C0.Đơi khi ta chọn C để vdu đơn giản nhất

② Phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo:

VD: Tìm họ nguyên hàm 2 sin 1 3I x  x dxKết quả: 221 2 2

cos 1 3 sin 1 3 cos 1 3

3 9 271 2 2cos 1 3 sin 1 33 27 9IxxxxxCxxxxC              

MỘT VÀI KĨ THUẬT QUAN TRỌNG

Bước 1: Chia thành hai cột:

+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0

+ Cột 2: Cột dv luôn lấy nguyên hàm

cho đến khi tương ứng với cột 1

Bước 2: Nhân chéo kết quả của hai

cột với nhau Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu   , sau đó đan dấu       ,  ,  ,

Bước 3: Kết quả bài toán là

tổng các phép nhân vừa tìm được

Trang 38

③ Tích phân đường chéo Nguyên hàm lặp (Dạng luân hồi): VD: Tìm nguyên hàm 2cos 3xI exdx2221 1 1

cos 3 3sin 3 9 cos 3

2 4 4xxxI  ex  xe   xe dx 1 2 cos 3 3 2 sin 3 92 4 4xxexexI   2213 1 3cos 3 sin 34 2 4xxIexex C    222 3cos 3 sin 313 13xxIexex C   

④ Phương pháp đường chéo dạng:  f x  lnnaxb dx

VD: Tìm nguyên hàm I xln2 xdx Kết quả: 222222 1ln ln ln ln2 2 4 2 2xxxxI  x x  C  x x C  

Nếu tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại ln Các dịng

vẫn nhân chéo như các trường hợp trên, nhưng thêm (tích của hai phần tử dịng cuối cùng) vẫn sử dụng quy tắc đan dấu

Trang 39

VD: Tính 33 1xIdxx+ Đặt t 33x  1 t3 3x 1 3t dt2 3dxt dt2 dx + Ta có: 1 3 13x t   35224152331 1 1 1.3 3 3 5 23 1 3 113 5 2tttIt dttt dtCtxxC                  VD: Tính 343 23 2 3 2xLdxxx  Đặt 12634433x 2 t  3x 2 t ; 3x 2 t ; 3x 2 t 12  1112 43x t  dx t dt61124314141312141341 14 41 114 114 ln 114 13tLt dtttttdtdtttttdttttttC                     

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỶ

DẠNG 1: m 

Rax b dx



Đặt m

t ax b , lũy thừa và vi phân hai vế

Trang 40

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶXét nguyên hàm   P xIdxQ x , với P x   ,Q x là các đa thức

bậc của tử số P x  bậc của mẫu số   PP

Q x  phân tích mẫu Q x  thành nhân tử, sau đó dùng đồng nhất hệ số đưa về dạng tổng các phân thức đơn giản

bậc của tử số P x  bậc của mẫu số

 

Q x  Chia đa thức

Một vài kĩ thuật quan trọng