Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC Câu 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, a) Chứng minh rằng b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Ch[.]
QUAN HỆ VNG GĨC Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvng C, SA ( ABC ) a) Chứng minh rằng: b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: c) Gọi mp(P) qua AE vuông góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF ( SAB) Giải: a) Ta có: S Mặt khác, SA ( ABC ) SA BC (2) BC ( ABC ) D H Từ (1) (2) suy ra: E B A b) Ta có: Theo a) C Từ (3) (4) suy ra: c) Ta thấy: F Theo b) Trong mp(ADE) kẻ Từ (5) (6) suy ra: Vì hay d) Từ Theo c) Từ (7) (8) suy ra: AF ( SAB) Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: Giải: Ta có: S F Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, từ ta có: D A H I B I Hay C F A D H Từ (1) (2) suy ra: B C Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vuông A B, AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: , S + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, (*) Mặt khác, tam giác vuông cân I nên: (*) Từ (*) (**) suy ra: hay I A B D C (2) Từ (1) (2) suy ra: hay ∆SCD vuông C Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD S E Ta có: P M A Mặt khác, I Mà (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) D O B N C Từ (*) (**) ta có: Từ (1) (2) ta có: Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: S Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH M Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, A mà hay I H (1) D Vì ∆SAD nên: B K P N C Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay Từ (*) (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: Giải:+ Ta có: S (1) (giả thiết) D + Mặt khác, (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: C O A mà B nên Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, , Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: S Giải: + Ta có: + Xét tam giác vng ABM có: Xét tam giác vng ACD có: A M Ta có: I B Hay D C + Từ (1) (2) suy ra: mà nên S Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, Tính góc hai đường thẳng SD BC? D A B C Giải: Ta có: BC//AD Do đó, Xét tam giác vSAD vng A ta có: Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’? Giải: Gọi H trung điểm BC Ta có: A' C' Hay, I Xét tam giác A’B’H có , B' A C , H B S Do đó, Vậy Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, , H trung điểm AB, SH=HC, SA=AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) A D H B a C Giải: + Ta có: , Vì nên tam giác SAH vuông A hay Do đó, mà AC hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD) + Ta có: , (ABCD) góc có tang Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, Tính sin góc giữa: a) SC (SAB) b) AC (SBC) Giải: a) Ta có: S (vì ) đó: SB hình chiếu vng góc SC mp(SAB) Ta có: b) + Trong mp(SAB) kẻ H A D Theo a) nên hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) B C + Xét tam giác vng SAB có: + Vậy Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) Giải: + Kẻ B' (1) + Mặt khác, ta có: A' , C' D' (2) H Từ (1) (2) suy ra: B Do đó, C A + Xét tam giác vng BCA’ có: D + Ta có: Vậy Câu 13: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Tính theo a α Giải: + Gọi I trung điểm BC + Ta có: S + Kẻ mà nên H Do đó, + Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: C A I B Vậy, Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, , SA=2a, S a) Tính b) Tính Giải: a) Kẻ H Ta có: D A Từ (*) (**) suy ra: Từ (1) (2) ta có: K O B hay + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: C Vậy, b) Gọi Kẻ Ta có: Từ (*) (**) suy ra: Từ (1) (2) ta có: hay + Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: Vậy, Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, Gọi I, F trung điểm AB AD Tính S Giải: Gọi + Kẻ + Ta có: B C H I K A D F + Mặt khác, Xét hai tam giác vng AID DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra, mà hay + Từ (*) (**) ta có: (**) (2) Từ (1) (2) suy ra: hay + Ta có: Do đó, Vậy, B' Câu 16: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, Hình chiếu vng C' A' góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính D' d ( B ',( A ' BD )) Giải: + Gọi O giao điểm AC BD B C O A H D Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó, + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Mặt khác, Từ (1) (2) suy ra: + Xét tam giác vuông BCD có: Vậy: Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, giác cạnh a, , tam Tính S Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay + D Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ H I Mặt khác, ta có: C B M J A Từ (1) (2) suy ra: hay + Xét tam giác SIJ có: Với: , Do đó: , Vậy Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=a, CD=2a, , SD=a a) Tính d ( D,( SBC )) 10 b) Tính d ( A,( SBC )) S Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ + Vì B hay S B Tam giác BCD vng M H Mặt khác, Từ (*) (**) ta có: suy ra: H Từ (1) (2) M D C N C hay + Xét tam giác vng SBD có: A A B E Vậy, b) Ta có: Vậy, Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, BC=4a, Tính Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; mặt phẳng (ABC) kẻ ; mặt phẳng (SMN) kẻ + Ta có: , Suy ra, , Xét tam giác vng SMN có: 11 + Mặt khác, ta có: Vậy Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh cịn lại 3a Tính d ( AB, CD ) A Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB J + Vì ACD ACD tam giác nên: Mặt khác, I Do đó, nên tam giác AIB cân + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD + Ta có: D B I C Vậy 12 S Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, K Tính Giải: + Trong mp(SCH) kẻ D N + Mặt khác, H A Xét hai tam giác vuông AMD DNC có AM=DN, AD=DC Từ ta có: C B M hay Từ (*), (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC + Ta có: Xét tam giác vng SHC ta có: Vậy Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, C A I Tính B H Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ C' A' J B' 13 + Ta có: Ta có: đều) nên + Trong mp(CIJ) kẻ (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) Từ (1), (2) suy ra: (vì ∆ABC tam giác hay + Xét tam giác vng CIJ có: Vậy Câu 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên Tính S Giải: + Vì H A I D B J O C + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC + Trong mp(SIJ) kẻ Theo giả thiết ta có: Từ (1), (2) suy ra: + Xét tam giác SIJ có: Với: IJ=a, hay Suy ra: Vậy 14 S Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM H A N C M H + Ta có: + Trong mp(SMN) kẻ J S I D C B N I M O A B Theo giả thiết: Mặt khác ta có: (*), (**) suy ra: Từ Từ (1), (2) suy ra: + Xét tam giác SMN có: với Do đó, Vậy Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay + Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ + Theo giải thiết ta có: 15 Từ (*), (**) ta có: + Ta có: + Xét tam giác vng SAJ có: Từ (1), (2) ta có: ; Vậy 16 ... giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay Từ (*) (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: Giải:+ Ta có: S (1) (giả thi? ??t) D... Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: , S + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, (*) Mặt khác, tam giác vuông. .. SAH vng A hay Do đó, mà AC hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD) + Ta có: , (ABCD) góc có tang Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc