PHÒNG GIÁO dục và đào tạo

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 1 PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI Toán lớp 8 Thời gian là[.]

Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN THI: Tốn lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu ( điểm):  x2 x2  y y2  x  xy  y   Cho biểu thức P    : x  x  xy xy y  xy  x y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với giá trị (x; y) thỏa mãn điều kiện: x   y   Câu ( điểm): Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x  xy  y  b) x  x  1 x   x  8  y Tìm tất số nguyên n cho: n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 số phương Câu ( điểm): Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD ( M khác B D) Hạ ME vng góc với AB MF vng góc với AD a) Chứng minh DE  CF; EF = CM b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Câu ( điểm): Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : (p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48 Câu ( điểm): a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh : 1 1 1    2(   ) p a p b p c a b c b) Cho a,b,c,d số dương Chứng minh : a b bc cd a d    bc cd d a ab Hết Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU Mơn: Tốn lớp Năm học: 2014-2015 Nội dung cần trình bày Câu ( điểm): Điểm  x2 x2  y y  x  xy  y   Cho biểu thức P    : x  x  xy xy y  xy  x y a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị biểu thức P với x   y   0,25 đ ĐKXĐ: x  0; y  0; x  y Rút gon được: P 1đ yx xy  x 1 2x 1    x   y  y 1    y    0, 5đ 0, 5đ Với x = (loại) ta giá trị P = 3; Thay x = 1; y =  ta giá trị P  Thay x = 1; y =  0,25 đ 0,25đ 0,25đ Câu ( điểm): Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x2  xy  y  ( 1.25 đ) b) x  x  1 x   x  8 y ( 1.25) Tỡm tất sè nguyªn n cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 số ph-ơng ( 1, ) y 3y2 a) x  xy  y    x     2  y 3y2  x     0 Vì    2  y   y  2; 1;0 2 Lần lượt thay vào PT ta tính giá trị x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:  1; 2 ; 1;2 ;  2; 1 ;  2;1 ;  1;1 ; 1; 1 b) x  x  1 x   x  8  y   x2  8x  x2  8x    y (1) 0,5 đ 0,25đ 0, 5đ 0,5 đ Đặt x2  8x2  z( z  Z ) (nhân vế PT với 4, thêm 49 vào vế ) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Từ PT (1) ta có PT:  z   y  z   y   49 từ tính z; y x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:  x; y    0;0  ;  1;0  ; 1;12  ; 1; 12  ;  9;12  ;  9; 12  ;  8;0  ;  7;0  ;  4;12  0, đ 0,25 đ Giả sử n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( y  N) Ta có y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7  y2 > (n2+ n)2  y > n2  n 0,25 đ 0,25 đ  y  n2  n +1 Vì ( y  N)  y2  n2  n   y2  (n2+ n +1)2 thay y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7  n2 + n -6 <  (n-2) (n+3)   -3  n  Thử trực tiếp n = 2, n =-3 thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n = 2;-3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu ( điểm): Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME góc với AB MF vng góc với AD a Chứng minh DE  CF; EF = CM b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui c Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn D C F a) DF = AE  DFC = AED A M E B 0, Ư 0,  ADE = DCF  EDC + DCF = EDC + ADE 0, Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, EDC + ADE = 900 nên DE  CF MC = MA (BD trung trực AC) MA = FE nên EF = CM 0, b MCF =FED   MCF =  FED Từ  MCF =  FED chứng minh CM  EF Tương tự a) CE  BF ED, FB CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng qui Đặt AD = a ME = FA ( cm) MF = FD (cm)  ME + MF = FA + FD = AD số không đổi  S = ME.MF  (ME+MF)4/4  ME.MF lớn ME = MF SAEMF = a2/4 = Lúc M trung điểm BD 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ S Câu ( điểm): Cho p số nguyên tố lớn 3.CMR : (p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ suy p1007 lẻ Đặt p1007=2k+1 với k  N  p2014 =4k(k+1) +1 k, k+1 số tự nhiên liên tiếp nên 4k(k+1)  p2014 =4k(k+1) +1 chia dư  p2014 -1 chia hết cho p2014 + chia hết cho  (p2014 – 1)(p2014 +1) 16 (1) Vì p nguyên tố lớn nên p không chia hết cho mà nguyên tố nên p2014 không chia hết cho Nếu p2014 = 3k+1  p2014-1 =3k  (p2014 – 1)(p2014 +1) (2) Nếu p2014 = 3k +2 p2014+1 = 3k+3  (p2014 – 1)(p2014 +1) (3) mà (3,16) =1 kết hợp (1),(2),(3) ta có (p2014 – 1)(p2014 +1) 48 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ Câu ( điểm): a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh : 1 1 1    2(   ) p a p b p c a b c b Cho a,b,c,d số dương Chứng minh : a b bc cd a d    bc cd d a ab a) Chứng minh 1    p a p b p a  p b c 1đ Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Tương tự 1    p b p c p b  p c a 1    pc pa pc pa b Cộng vế ta có điều phải chứng minh 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ b) Ta có: a b bc c d a d a b bc c d d a        0 bc cd d a ab bc cd d a ab ac bb ca d b     4 bc cd d a ab 0,25 đ 0,5đ Xét: ac bd ca d b    4 bc cd d a ab      a  c     b  d   4 bc d a  cd ab  4   a  c  b  d  4 0 abcd abcd => đpcm Dấu = xảy a=b=c=d 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 3, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm Hết ...    x     2  y 3y2  x     0 Vì    2  y   y  2; 1;0 2 Lần lượt thay vào PT ta tính giá trị x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:  1; 2 ; 1;2 ;  2; 1 ;  2;1... x2  8x    y (1) 0,5 đ 0,25đ 0, 5đ 0,5 đ Đặt x2  8x2  z( z  Z ) (nhân vế PT với 4, thêm 49 vào vế ) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Từ PT (1) ta có PT:  z   y  z 