PHÒNG GIÁO dục và đào tạo

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 2013 Môn thi Toán Thời gian 150[.]

Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm 01 trang)  x 2 x   x2  x    x  x  x    Câu 1: (3 điểm) Cho A =  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x2  8x  x2  x   18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2  ( x  y )( x  y )  45 c) Giải hệ phương trình:  2  ( x  y )( x  y )  85 Câu : (4 điểm) a) Cho a  b  c  , tính giá trị biểu thức: 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c b) Tìm số tự nhiên n cho A  n2  n  số chính phương P Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N  (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  x 10 y 10  16     ( x  y 16 )  (1  x y ) 2 y x  Hết Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x  0, x  A   x ( x  1) A    x ( x  1)   x ( x  1)  b c  x  (vì x  x  1)    x 1  x   1 1 A   x ( x  1)   x  x    ( x  )   4 4  A 1 Vậy GTLN A = x   x  (t / m) 4 Điểm 0.25đ 0.75đ 0.25đ 0.75đ 0.75đ 0.25đ x  x  x  x   18  2( x  x  8)  x  x    Đặt x  x   y, y  ta phương trình: y2  3y    y2  y  y   a y   ( y  2)(2 y  1)    y    y =  b 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 2 x   x  x  Nên: |2x-7| < x2 + 2x +  0.5đ x    0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ  2 x    x  x  2  x  4x   Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x   x     x   3  x  5 Kết luận nghiệm bất phương trình 0.5đ 0.25đ 2   ( x  y )( x  y )  45 ( x  y )( x  y )  45 (1) Biến đổi   2 2   ( x  y )( x  y )  85 ( x  y )( x  y )  85 (2) c Từ hệ ta có x – y > Nhân hai vế (1) với 17 nhân hai vế (2) với đồng sau nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2)  4x2 + 17xy + 4y2 = Nếu y = thì x = => không thỏa mãn hệ Nếu y  , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y)  {(4;-1);(1;-4)} 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 1  2  2  2 2 b  c  (b  c) a  c  (a  c) a  b  (a  b) 1 abc     0 (voi : abc  0) 2bc 2ac 2ab 2abc A  n2  n  số chính phương nên A có dạng A  n  n   k (k  N * ) P a b 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ (dk : abc  0) 1đ 1đ  4n  4n  24  4k  (2k )  (2n  1)  23 0.5đ 2k  2n   23  (2k  2n  1)(2k  2n  1)  23    2k  2n   0.5đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k  2n   23 k     2k  2n   n  a Vậy với n = thì A số chính phương C ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA P = (AB+BM)+(CN+CA) O A (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM C (t/c tt cắt nhau) N = OA2  OM  a2  R2 Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi 0.75đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, C ABC = a  R Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần)  S BIA Trình bày c/m: S BID  S BIC Trình bày c/m: S BIC b 0.5đ A 1.0đ => S BID  S BIA  S ABD 0.5đ Trình bày c/m: S ABD  S ABC => S BID 36 S ABC  1 36 36 E 0.5đ I B D C Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0 Q 0.5đ  x 10 y 10  16    ( x  y 16 )  (1  x y )   y x   1  x 10 y 10      1  ( x 16  y 16   1)  (1  x y )  2 y x  0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bớn sớ dương ta có:   x 10 y 10     1  x y 2 y x  16 ( x  y 16   1)  x y 4 0.25đ 0.25đ => Q  x y  x y   x y  x y    Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa 0.5đ 0.5đ ... NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x  0, x  A   x ( x  1) A... được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y)  {(4;-1);(1;-4)} 1  2  2 2 b c a