së gi¸o dôc ®µo t¹o qung ninh së gi¸o dôc ®µo t¹o qu¶ng ninh kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 9 n¨m häc 2004 2005 ®Ò thi chÝnh thøc m«n To¸n (b¶ng b) Sè BD Thêi gian lµm bµi 150 phót Ch÷ ký GT 1 (kh[.]
sở giáo dục - đào tạo quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp năm học 2004-2005 đề thi thức môn : Toán (bảng b) Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Giải phơng trình : + Bài 2: Cho số thực x, y thoả mÃn điều kiÖn : = + y2 Chøng minh r»ng x = y Sè BD: Ch÷ ký GT = + x2 Bµi 3: Gäi a lµ tham sè thùc cho phơng trình x2 - 3ax - a = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 1) Tính theo a giá trị biểu thức A = 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm phân biệt A B Qua A vÏ c¸t tun MAN víi M thc (O) ; N thuộc (O') M, N không trùng với A Tiếp tuyến M đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến N đờng tròn (O') I 1) Chứng minh độ dài đoạn thẳng MN lớn cát tuyến MAN song song với ®êng th¼ng OO' 2) Chøng minh r»ng ®iĨm B, M, I, N nằm đờng tròn HÕt - híng dÉn chÊm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005 môn toán lớp - bảng B Bài Sơ lợc lời giải B Điều kiện: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) µi (*) * Nếu x áp dụng công thức với A, B 0, điể ta đợc: m (1) + =2 + =2 (1a) Giải (1a) với x 4, đợc kết (1a) vô nghiệm * Nếu 1< x < (x-1)(x-4) < 0, không thoả mÃn điều kiện (*) => x thuộc khoảng (1 ; 4) nghiƯm cđa (1) * NÕu x = 1, thư trùc tiÕp vµ thÊy x = lµ nghiƯm cđa (1) * Nếu x < 1thì áp dụng công thức với A, B 0, ta đợc: (1) + =2 + =2 (1b) Gi¶i (1b) víi x < 1, đợc kết (1b) vô nghiệm Vậy phơng trình ®· cho (1) cã nhÊt nghiÖm x = B Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n + x2 = +y2 => x 1; µi y1 - NÕu x = = y th× cã x = y (®pcm!) ®iĨ m - NÕu x, y không đồng thời = cách nhân với BT liên hợp, đợc: + x2 = + y2 ( ) + (x2 - y2) =0 (x - y)/( + ) + (x2-y2) = (x - y).(1/( + ) + x + y) = x - y = (v× 1/( + ) + x + y > 0) x =y VËy nÕu cã x, y tho¶ m·n + x2 = + y2 x = y (đpcm!) Chú ý: Có thể giải cách xét trờng hợp: - Nếu x > y, CM đợc + x2 > + y2 - Nếu x < y, CM đợc + x2 < + y2 Cho ®iĨ m 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 0,5 ® 0,5 ® 1,5 ® 1,5 ® 1,0 ® 0,5 ® - VËy nÕu + x2 = + y2 x = y B Do phơng trình x2 - 3ax - a = cã hai nghiÖm phân ài biệt x1 x2 nên ta cã : 9a2 + 4a > (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = ; x1 + x2 = 3a 1) => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a ®iĨ m Khi ®ã: A = = Bài 0,5 đ Sơ lợc lời giải Theo (1) 9a2 + 4a > nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2) 2 A = 9a2 + 4a = a2 a = -1/2 ®iĨ DƠ kiĨm tra thÊy víi a = -1/2 x1 = -1 x2 = -1/2 m Vậy Anhỏ = 2, đạt đợc a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 ài B Hình vẽ: 1,0 đ 0,5 đ Cho ®iÓ m 1,0 ® 0,75 ® 0,25 ® I M A N B 1) 2,5 ®iĨ m Gäi H, K lần lợt trung điểm AM, AN => MN = HK Chứng minh đợc HK OO', ®ã OO' kh«ng ®ỉi => MN 2OO' , dÊu = x¶y HK//OO' MN//OO' Suy MN lín nhÊt MAN // OO' (®pcm !) 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 2) 3,5 ®iĨ m Chøng minh đợc : - A M N th× MIN + MBN = 1800 - NÕu N (hoặc M) AM (hoặc AN) MIN = MBN Tõ ®ã suy ®iĨm B, M, I, N thuộc đờng tròn 1,5 đ 1,5 đ 0,5 ® C¸c chó ý chÊm: Híng dÉn chÊm trình bày sơ lợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đợc điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nhng không đợc vợt số điểm dành cho câu phần Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhng phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, đợc làm tròn nh với thi tốt nghiệp Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh Bài 4: Gọi O tâm đờng tròn tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA cđa tø gi¸c ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ đờng thẳng dA, dB, dC, dD cho dA OA, dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD dA tơng ứng cắt điểm K, L, M, N 1) Chøng minh ba ®iĨm N, O, L thẳng hàng 2) Chứng minh OK.OM = OL.ON Bài ài Sơ lợc lời giải B Hình vẽ: 1) DƠ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ tứ giác nội Cho điể m 0,5 đ điể m tiếp đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng phân giác góc A, B, C, D cđa tø gi¸c ABCD Cã NOK + KOL = - ONA - OKA + - OKB - OLB = - ADO - ABO + - BAO - BCO = - ( A + B + C + D )/2 = 2 - = Từ suy điểm N, O, L thẳng hàng 2) điể m Trớc hết ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp ThËt vËy, ta cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = Từ chứng minh đợc OK.OM = ON.OL 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 1,0 ® Bµi 4: Cho đờng tròn (O ; R) điểm A nằm đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC tới đờng tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiÕp tuyÕn qua M c¾t AB ë E, c¾t AC ë F a) BiÕt AO = a TÝnh chu vi tam giác AEF theo a R b) Đờng thẳng BC cắt OE OF P Q H¹ OH BC (H BC) Chøng minh r»ng: µi = B H×nh vÏ: B E M A C 1) điể m F Chứng minh đợc chu vi AEF = AB Tính đợc AB = = (do A nằm (O) nên a>R) Suy chu vi AEF = 1,0 ® 1,0 ® 2) điể m Hạ OH BC Vì EB EM tiếp tuyến nên OEB = OEM = 900 (AEF)/2 T¬ng tù ABC = ACB = 900 - (BAC))/2 Do ®ã BPE = 1800-ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 900-AFE/2 = OFE Hay OPQ = OFE Suy OPQ đồng dạng OFE Do PQ/EF = OH/OM = OH/R ( ®pcm !) 1,0 ® 2,0 ® 1,0 ® ...hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 200 4-2 005 môn toán lớp - bảng B Bài Sơ lợc lời giải B §iỊu kiƯn: (x-1)(x-2) 0; (x-1)(x-3) 0; (x-1)(x-4) µi (*) * NÕu x áp dụng... B, C, D cđa tø gi¸c ABCD Cã NOK + KOL = - ONA - OKA + - OKB - OLB = - ADO - ABO + - BAO - BCO = - ( A + B + C + D )/2 = 2 - = Tõ ®ã suy điểm N, O, L thẳng hàng 2)... 2) 2 A = 9a2 + 4a = a2 a = -1 /2 ®iĨ DƠ kiĨm tra thÊy víi a = -1 /2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1 /2 m VËy Anhá nhÊt = 2, đạt đợc a = -1 /2 ; x1 = -1 x2 = -1 /2 ài B Hình vẽ: 1,0 ® 0,5 ® Cho ®iĨ