Tổng hợp các bài toán về rút gọn biểu thức chứa căn

C©u 1 (6 ®iÓm) Cho biÓu thøc 1 Hoàng Chí Hải TH&THCS Đông Khê Bà i 1 Cho biÓu thøc 33 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 8 xx x x x x x x x x A                          ( )0;8[.]

1 Bà i 1: Cho biÓu thøc A  3    x2    x    x  x  ( x  8; x  8; x  0) :  x   x   x   x  23 x 8 x Chøng minh A kh«ng phơ thc biÕn sè H-íng dÉn Cho biĨu thøc A  3    x2    x    x  x  ( x  8; x  8; x  0) :  x   x   x   x  23 x 8 x Chøng minh A kh«ng phơ thc biÕn sè (2  x )(  23 x  x )   23 x  x   x  23 x  23 :     23 x 23 x x 2     x  23 x  23 x (2  x )(  23 x  x ) 23 x A  3  23 x x 2 42 x  x  A x  (3 x  2)(3 x  2)  x (3 x  2)   (3 x  2)(3 x  2)   x (3 x  2)  A   x  x  2 x Bà i : Cho biÓu thøc 3  1  1  x y xx y y A       : y  x  y x y   x xy  x y 1) Rót gän A 2) T×m x ; y biÕt xy  ;A5 36 Hướng dẫn: 1)  x y x y  A   : xy  xy x y   A  x y xy  xy x  y   x  y x  y     xy x  y  x y xy 2) A   x  y  xy  x  y  theo Viet đảo  x  y x  xy  y  xy ( x  y ) theo GT xy  x; y nghiệm dương phương trình bậc 1 t  t    6t  5t      t1  ; t  6 Hoàng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khê 1 1 1 1  x; y    ; ;  ;   3 3 4 Bà i : Rót gän biĨu thøc A T×m tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên H-ớng dẫn ĐKXĐ : x  -26;x  -6;x  -3;x  1;x  2;   x  x  x    x  x  x    x  3x  26 x  78  .  :   A     2 x  x ( x  )  ( x  ) ( x  x  x  12 )         x    ( x  4)( x  1)   ( x  3)( x  26)  .  :   A     ( x  )( x  ) x  ( x  )( x  )        x   3( x  2)( x  6) 3x  18  x  3( x  2)( x  6) A   2( x  6) ( x  3)( x  26)  x   ( x  3)( x  26) 3x  18  x  3( x  2)( x  6) x  26 3( x  2)( x  6) 3( x  2) A   2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  3) 3( x  2) 2( x  3) V× A  Z nªn 2A  Z A  XÐt 2A  x+3 x 2A A 3( x  2) 3( x  3)  15 15   3  Z  x   U (15) x3 x3 x3 -5 -3 -1 -8 -6 -4 -2 2(lo¹i) 18 -12 -2 -6 ( lo¹i) -1 -15 -18 VËy x   18;8; ;4;2;0;12 Bà i : Cho biểu thức A nguyên  x  y x2  y  y   4x4  4x2 y  y  : A    2  y  x y  xy  x x  y  xy  x   Với x  0; y  0; x  y; y   x Rót gän biĨu thøc A Cho y=1 tìm x để A  Hướng dẫn : Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đông Khê 15 12  x  y x2  y  y   4x4  4x2 y  y  : A    2  y  x y  xy  x x  y  xy  x    x y x2  y2  y   ( x  y )( x  1)   A  2  y  x ( x  y )( y  x)  (2 x  y  2)( x  y  2) 2x2  y  ( x  y )( x  1) x 1 A  2 ( x  y )( y  x) (2 x  y  2)( x  y  2) (2 y  x)( x  y  2) với y= ta có A x 1   x  x  11x   2  x 2 x  3  ( x  1)( x  x  7)   x    a  b2 a b a b   2 , a, b  2 a  b  a  b a  b  a  b   a b Bµi : Cho biĨu thøc : P   A, Rót gän P=? B, BiÕt a-b=1 t×m GTNN a2  b2 P= b a) (b  1)  b 2b  2b  1 = = 2b+ +2  2 +2 b b b 2  GTNN P = 2 +2  2b =  b= vµ a= +1 2 b b) Vì a-b=1 => a=1+b => P= Bài :  a b Cho biểu thức D =     ab  a  b   a  b  2ab   : 1   với a > , b > , ab  1  ab   ab   a) Rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2  a b Rút gọn D : Biểu thức D =    a  b   a  b  2ab   : 1    ab   ab     ab Với ĐK : a > , b > , ab  Biểu thức D có nghĩa Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khê D     a  b  ab   a  b  ab  ab a  2b a  ab  a  b a 1  b  1  a 1  b   :  :  ab  ab  ab  ab a 1  b   ab a    ab 1  a 1  b   a b) a =  ab  :  ab  a  b  2ab 2 => D   =        1  1 5  1 52     2 1 52  2 52 13 6  >0) Bµi : Cho biĨu thøc   a   a  . A = 1 : 1     a     a  (a  1)( a 1) a) Tìm điều kiện a ®Ĩ A cã nghÜa b) Rót gän biĨu thøc A c) với giá trị a A có giá trị nguyên Giải : a  a  . Ta cã: A = 1 : 1     a     a  (a  1)( a  1)   1 a  a  a 1 a  A = 1 :   a  (a  1)( a  1)    ( a  1)  A = 1 :   a  (a  1)( a  1) a   a0  a  (*) a) BiÓu thøc A cã nghÜa khi: 1a a 0    a  a    a 1  b) Víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã:  A = 1 :  A=  ( a  1)   a  (a  1)( a  1) (1  a) ( a  1) (a  1)( a  1)  a 1 a 1 c) Ta cã: Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đông Khê    2 3 1  13 13 (Vì A==1- a 1 Biểu thức A có giá trị nguyên khi: (a  1) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} Kết hợp với điều kiện (*) => a = Bµi 7: Cho biĨu thøc: x x 3 2( x  3) x 3   P= x2 x 3 x 1 3 x a) Rót gän biĨu thøc P b) Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm GTNN P Giải Điều kiện để giá trị biểu thức P xác ®Þnh : x0; x a) Rót gän: x x 3 2( x  3) x3   P= ( x  1)( x  3) x 1 x 3 x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) = = = ( x  3)( x  1) x x   x  12 x  18  x  x  x  x x  3x  x  24 ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) = x( x  8)  3( x  8) ( x  3)( x  1) = x8 x 1 b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2  x = - 14   22  58  Khi ®ã P = = = 11  1 4 58  VËy víi x = 14 - th× P = 11 c) x8 x 1 9   x 1  x 1 22 924 P= x 1 x 1 x 1 x 1 ( áp dụng BĐT CôSi cho số d-ơng x 1; ) x 1 DÊu"=" x¶y  x    x = (tháa m·n ®iỊu kiện) x Vậy minP = 4, đạt đ-ợc x = x 2   Bµi : Cho A= x 3 x x 6 2 x a) Rót gän A Hồng Chí Hải _ TH&THCS ụng Khờ b) Tìm x để A có giá trị nguyên a) đk x 0; x A=  x  2     x  3 x  2 x 2 x 3  x 4 (2®) x 2 x 4  1 nguyªn ( x -2)  x = 0; 1; 9; 16 (2®) x 2 x 2 b) A= Bµi : Cho biĨu thøc sau: P  x2  x x  x 1  2x  x  x 2 x  1 x 1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q §iỊu kiƯn:  x  P x     2 x 1 x  x 1 x  x 1 P  x  x 1 x nhận giá trị số nguyên P   x 1  x 1 1  1 3  P   x  x      x     víi mäi x tho¶ mÃn điều kiện xác định 4 4  1  P   x    x  4 x x 2 Q    P M x  x 1 x 1 x Víi  x   x    M    Q Q nguyên x x Q 1 1 x  x 1 73 73 x  x 1   x  ;x  2 73 KÕt luËn: víi x Q Z Bài 10 : Cho biÓu thøc  x y x  y   x  y  xy   : 1   A    xy    xy   xy   a, Rót gän A Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khờ b, Tính giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Giải :a, Điều kiện để A có nghĩa lµ x  0; y  0; xy   x y x y  x  y  xy   : 1  Ta cã : A        xy  xy  xy    x  y  xy  x  y  xy  x  y  xy  :  xy  xy       x  x y  y  y x  x  x y  y  y x  x  y  xy :  xy  xy  x  2y x x 1  y  x  xy   1  x   y  1  x 1  y   x  xy b, Ta có : x thoả mÃn điều kiện x  2    2  42  2 2 x    Thay x vµo A ta cã:   2 1 1 A   1    652      c, Víi mäi x  ta cã      1    1  52 52       3 1 3 1  25  12 13  x 1   x  x 1   x 1 x 1 x 1 x VËy giá trị lớn P = Bi 11: Cho biÓu thøc: A= ( x 1 A 1 1 x x 1   x  ( v× x+1>0)  x2 x   ): x x 1 x  x 1  x Víi x>0 vµ x  a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < a Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khê x 1  x2 x  x  A     : x    x 1 x  x 1  A    A  x2   x 1 x  x 1  x2 x  x  x  x 1    x 1  x  x 1   x 1 x  x 1   x        x   x  1 x  x  1 x  x  x 1 2 b Vì x nên x x  Mµ A  x  x 1  A0 (1) V× x   x  x    x  x 1  tøc A x = - Khi ®ã P = 14    1  22  4  Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khê 58  11 x8 x 1 x8 3) P = x 1 x 1 = x 1  x 1 x 1 DÊu " = " s¶y x  = x 1 x x 1; ( áp dụng BĐT Côsi cho hai sè d-¬ng x 1 +  x 1 - 2 - = ) x = thoả mÃn đk Vậy P = x = Bµi 13: Cho biĨu thøc: x  x4 A= x 2  x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn gọn biểu thức A c) Tính giá trị A x = 25 d) Tìm giá trị x ®Ó A =  Giải: a) (1 ®iÓm) BiÓu thøc A đ-ợc xác định : x Xac dinh x     x   (0,5 diem)   x   x    x 20  x   x4 b) : Rót gän biĨu thøc A A= = = x  x4 x 2 x  ( x  2) x  x x 2  x 2   x 2 ( x  2)( x  2) x 2 ( x  2)( x  2) c) : Khi x = 25 th× A = d) : A =   x x 2 = x 2 ( x  2) ( x  2) 25    = x2  x x 2 3 3 x   x   x   VËy víi x=  x 2 x ( x  2) 25 =  x 1 ( T/m điều kiện) x= 1 A =  Bài 14: Cho biÓu thøc  x x 1 x 1   x  : x   A =      x  x  x      Hồng Chí Hải _ TH&THCS ụng Khờ 10 a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Gii a) ĐKXĐ: x > x   x x 1 x 1   x  : x   A =      x  x  x       Ta cã:  ( x  1)( x  x  1) x    x ( x  1) x  :  =       ( x  )( x  ) x  x  x       x  x 1 x 1   x  x  x   :       x  x  x      = =  x 2 x 1 b) A = : x x 1 => =  x 2 x 1 2 x =3 x  x  x 1 x 1 = x 1 x 1 = x => 3x + x 1 - x x 1 P  P  x - x 1 x - x 1-  x  x x 1 x ( x  1) x x 1 x x - x 1    x x   x  x       b) Ta cã    x   x  Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đơng Khê x 1 x - = => x = 2/3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn , nhá nhÊt cđa P Giải a)  §iỊu kiƯn x  P  x  ( x  1)(x - x  1) x - x  P  x 2 x x Bµi 15: Cho biĨu thøc P  : ... P= Bài :  a b Cho biểu thức D =     ab  a  b   a  b  2ab   : 1   với a > , b > , ab  1  ab   ab   a) Rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2  a b Rút gọn D : Biểu thức. ..  x4 A= x x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn gọn biểu thức A c) Tính giá trị A x = 25 d) Tìm giá trị x để A = Gii: a) (1 điểm) Biểu thức A đ-ợc xác định : x Xac dinh x... P2 < 2P Bài 22 : Hồng Chí Hải _ TH&THCS Đông Khê 16  a   a :  , với a ≥ Cho biểu thức: A = 1       a 1 1  a a a  a  a 1 A ,út gon biểu thức A B,ính giá trị biểu thức A a