Ôn thi vào lớp 10 môn toán chuyên 3 BIẾN đổi đơn GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA căn THỨC bậc HAI

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề 3 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ 1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn  2 0A B A B B  2 Đưa thừa số vào trong dấu căn 2[.]

Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN – BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Đưa thừa số dấu A2 B  A B  B   Đưa thừa số vào dấu A B  A2 B (với A  0; B  ) A B   A2 B ( với A  0; B  ) Khử mẫu biểu thức chứa A  B AB  B2 B AB (với AB  0; B  ) Trục thức mẫu M M A   A  0 ; A A  M A∓ B M  A B A B   A  0; B  0; A  B  Rút gọn biểu thức có chứa bậc hai Bước Dùng phép biến đổi đơn giản để đưa thức bậc hai phức tạp thành thức bậc hai đơn giản Bước Thực phép tính theo thứ tự biết B Một số ví dụ Ví dụ 1: Sắp xếp số sau theo thứ tự tăng dần: a) 3; 5; 2; ; b) 15; 6; ; 3 Giải Tìm cách giải Để xếp thức không đồng dạng, đưa thừa số vào dấu Sau so sánh biểu thức Trình bày lời giải a) Đưa thừa số vào dấu căn, ta được: Mà  48 ;  45 ;  50 ;  20 20  45  48  50 Suy thứ tự tăng dần 5; 5; 3; b) Đưa thừa số vào dấu căn, ta được:  24 ; 15 ;  12 ; 3  18 Mà 12  15  18  24 Suy thứ tự tăng dần ; 15; 2; Ví dụ 2: Khử thức mẫu số: A  59 3 5 Giải Tìm cách giải Chúng ta khơng thể vận dụng lần đẳng thức để khử đồng thời ba thức mẫu Do vậy, tìm cách giảm bớt số mẫu đẳng thức:  a b c    a b c  a b   c  a  b  c  ab Sau khử thường mẫu cách nhân tử mẫu mẫu với biểu thức liên hợp Trình bày lời giải A A 59    3 5 3    59  3 5 15  7    59   60     15  Ví dụ 3: Thực phép tính a) A  20  45  80  125 ;   1 1   b) B              0,    Giải Tìm cách giải Để thực phép tính, bạn ln ý:  Đưa thừa số dấu  Trục thức mẫu, khử mẫu biểu thức lấy  Sau thu gọn thức đồng dạng Trình bày lời giải a) Ta có: A  20  45  80  125    15  A    12  5  11 b) Ta có: B  B B B     1   1 1     1 1          5  15       15      3     1  15  1    6 15   1 3 10  Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: R    2.3.  1   1   1 3 3  3  3  3 Giải Tìm cách giải Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức “chồng chất” Do trước thực rút gọn, nên khai “chồng chất” trước Quan sát thấy, để biến đổi “chồng chất” này, cần làm xuất Do có hai hướng biến đổi nhằm xuất yêu cầu đó: Cách Mỗi phân thức nhân tử mẫu với Cách Nhân hai vế với Trình bày lời giải Cách Mỗi phân thức nhân tử mẫu với R  10 2 62   10 2 62 R  10  10   1  1 R  10  10  3 3 R R  3  , ta được:         10    10  3    10  10    10  10  95 R 2 Cách Nhân hai vế với , ta được: R 3 3   2 62 2 62 R 3 3   2  1  1 R 3 3   2 3 3 Suy ra: R  2  x  16 x  x 1 x 7  x  Ví dụ 5: Cho biểu thức: A      :    x 3 x 1   x    x2 x 3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  6 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 – 2015) Giải Tìm cách giải Khi rút gọn biểu thức chứa thức, ý bước:  Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa  Vận dụng quy tắc phép tính phân thức, phép tính thức để đưa biểu thức dạng đơn giản Trình bày lời giải a) TXĐ: x  0; x  1; x   A      x  1  x  3 x 1 x   x 1 x 7 x 2  : x 3 x 1  x 1  2 x 6 x 7 x 2 A    : x   x 1  x 3    x 3  x   x 1  x   x 1 A        x 3 x 1  x   x   x    A x 9 x 2 x  x 1 x 1 x  b) A  6  x 9  6  x   6 x 2  x 2  x  21  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A  6 x  Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:  a2 2  a2 a    a  1  P        :   a       a  11  a   a  a   Giải Tìm cách giải Bài tốn có nhiều thành phần giống nhau, nên đổi biến cách đặt a   x Sau rút gọn biểu thức với biến x Trình bày lời giải Đặt a   x , biểu thức có dạng: x     3x  1   x    x : P         x 11   x     x  x x  P x2 x x   x    x  3   :   x  x2  x  x  3 x  x 3  x   x  2x  : P   x   x  x  x  3 P x  x  3 x2 3x    x   x   x   P  x    x  3 x  x  3 33  x .3  x   x  2 P x  a2 Vậy P  2 Ví dụ 7: Cho số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện xyz  100 Tính giá trị biểu thức: A x  xy  x  10 y yz  y   10 z xz  10 z  10 Giải Tìm cách giải Quan sát giả thiết kết luận, nhận thấy số 100 số 10 có liên quan tới nhau: 10  100  xyz Do vậy, suy luận tự nhiên thay 10 biểu thức biến đổi tiếp xyz Trình bày lời giải Thay 10  100  xyz vào biểu thức A, ta có: A x  xy  x  xyz A x x y   yz   y   yz A A   y  yz y   yz  y yz  y   y yz  y  y   xyz z zx  xyz z  xyz  zx yz zx  yz  y  yz yz  y  1  yz  y  Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức: a) A  b) T  1 ;    1 2 2024  2025 1 1     4 7  10 10  13 3022  3025 Giải Tìm cách giải Bài tốn khơng thể quy đồng mẫu thức để thực Quan sát toán ta nhận thấy biểu thức dãy phân thức viết theo quy luật Mặt khác quan sát thành phần ta có:      3025  3024   1 biểu thức A, biểu thức B là:   10    3025  3022   3 Do vậy, nghĩ tới việc trục thức mẫu nhằm đưa mẫu thức chung lẽ tự nhiên Trình bày lời giải a) A  1 3 2015  2014     2015  1 3 2015  2014 b) T  7 10  13  10 3025  3022     74 10  13  10 3025  3022  3025  55  53   3 Ví dụ 9: Chứng minh rằng: 1 1      1 5  11 97  99 Giải Tìm cách giải Thống nhìn qua tốn có quy luật ví dụ Song thực tương tự khơng thành công chúng không khử liên tiếp Vẫn định hướng đó, nghĩ tới kĩ thuật làm trội để sau trục thức khử liên tiếp Do vậy, có hai cách giải sau: Trình bày lời giải 1 1     1 5  11 97  99 Cách Đặt A  B  1 1     3 7 11  13 99  101  Ta có: A  B  A  A  B  Xét A  B  1 1      1 3 5 7  11 99  101  A B  3 5 7 9 101  99      1 53 75 97 101  99  A B  101  100    2 Mà A  A  B  A  Cách Ta có: A   A A 9  A  Điều phải chứng minh 1 1    1 5 9  11 97  101 5 9 11  101  97     1 95 11  101  97 101  100    Điều phải chứng minh 4 C Bài tập vận dụng 3.1 Trục thức mẫu: a) c) ;   2  10 b) 15 ; 10  20  40   80 10 2 5 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có:           1    b)   1      51     1   15 15   10   10   10  10   c) 10   2 5 2    10   10  10  2 5 7  10  7  10   2 5 3.2 Rút gọn biểu thức:  a) A  3  3  3 3 ; b) B  2 2 2   Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A  b) Ta có: B  B  3  3   3   1  3   42  42 42   :    2  2 6   1  1 1  :     2  2 6   1  B : 2     1   1     B 1    1 : 2 B 1 3 1 1 :   2 2 2 3.3 Rút gọn biểu thức: P  3 10    3 10   Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P   10  62   10  62 P  10  10     1 P  10  10  1 1 P 3    3  13    10    10   1 P 10   15  10  10   15  10 45  P 24  44 11 3.4 Thực phép tính:  175  2 ; 8 a) A  32 3 2  17  12 17  12 b) B  Hướng dẫn giải – đáp số 8 5 2   5 2 87 a) A  A4 b) B  B B 3 2 3 2    12   12  1   3 2 3 2 32 3  2    1  3 2  3  2    1 1  1 1 B 1    2 1 1 3.5 Rút gọn biểu thức: B   1 2 3 3      2 6     Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: B    1  46   2 2.6    2  2 46  2 B 2 2 2 3 2  2 B  2  2 B 2  B 2  2 2    3   3 2  2 2.6 3.4  2 2  6  2  B 0 3.6 Rút gọn biểu thức: a) A  1   2 b) T   2 2 2  2 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A   2  2 2    2  2 2  A  2  2   3 A 2  2 42  42  A b) Ta có: T     1   1 2  3 2  3 43    1 1   6 43 S  2 2 S  3.7 Cho A  3  4 3  B  3  4 3  Tính A3  B (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  3 4 6    3 5 3 3   25   1   A 15   5  10  5    20 20 10 Ta có: B  B 3  4 3   3 4   1      3 5 3  25  5  15   5  10  5    20 20 10  5 5 5 5 5   ; A.B   10 10 10.10 Suy ra: A  B   5 5 Ta có: A  B   A  B   AB  A  B       5 25   3 3.8 Xác định a, b biết: 13 17   a  b 11  11  11 Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái:  13  11   9.7  11   17.  11    17   11 16.7  4.11  13  11 52  4.17  11  11    11 4 4 Đồng hai vế ta được: a  ; b   4 3.9 Cho 1 x  1 x  Với x  1; x  1 x  1 x Chứng minh x 1  12  17 x 1 Hướng dẫn giải – đáp số  Ta có: 1 x  1 x  x  1  x    2  x   x2 1  x  2x ĐKXĐ: x     x2     x  2.x 2x   x  2.x  Bình phương hai vế, ta được:  x  x  2.x   x  2 x  Vì x  nên x  2   x  2 2 1 2 3 x 1 2 3    Xét x 1 2 89 2 3 1     12   12  17 1 Điều phải chứng minh 3.10 Tính giá trị biểu thức M  x  x3  x x  3 2 1 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x     7 1 1 7  1  x    x2   2 Ta có: x3  x.x      1  2     x5  x x   2   29  41 Thay vào biểu thức M ta có:   M  29  41      M       2020  1 3.11 Cho biểu thức: M    2   x 1  x 1   x 1  1   1   3       a) Rút gọn M; b) Tìm giá trị lớn M Hướng dẫn giải – đáp số   3 a) Ta có: M    3  x 1  x 1        2020 2 x 1   3  2020 M      x  x   x  x   x   3  2020 M     x  x  4 x  x   x   1  2020 M     x  x  x  x   x  1 x  x   x  x  2020 M 2 x 1  x  1  x x  2020 M x  x 1 x 1 M 2020 TXĐ: x  x  x 1 b) Ta có: x  x   Vì x  2020 2020   2020 x  x 1 nên M  Vậy giá trị lớn M 2020 x   x 7  x 3 3.12 Cho biểu thức A      x  2 x  x  x   : x  x    x  0; x   a) Rút gọn A b) Tìm x để A  x  (Tuyển sinh lớp 10 chuyên, ĐHSP, TP Hồ Chí Minh, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A  A A    x  2   x   x  1 2 x 1  x  3x  x x 3  x  23 x 65 x 7 x x 2 x 3 x  2 x 1    x 3   x  x  2 x 1 b) A  x    x 2 x 3   x x 1    x  x 1  x 1 x 1  x x 1  4x  x 1      x 1 x 1   x   x  , thuộc tập xác định Vậy với x  A  x  3.13 Cho số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện xyz  Đặt: P  x xy  x   y yz  y   z Tính zx  z  P Hướng dẫn giải – đáp số Thay   xyz vào biểu thức P, ta có: P x  xy  x  xyz P x x P P  y   yz  y 1 y z  y  yz y   yz  y yz  y    y yz  y  y  xyz z zx  xyz z  xyz   zx yz zx  yz  y  yz yz  1  yz  y   P  3.14 Cho biểu thức P  n  1 n 1  n  n 1  với n  ℕ; n    n 1 1 n 1  n  n 1  a) Rút gọn biểu thức: Q  P với n  ℕ; n  n  n 1 1 b) Tìm tất giá trị n  n  ℕ; n   cho P số nguyên tố (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Đà Nẵng, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt P n   x biểu thức P có dạng: x 1 x  x2  x    x  x  x2  2x  x  1 x  3   x  1 x  3  x  x     x  1 x  3  x2  x   x2  x   x2  x   x  1 x  3  x  x  1 x2  x x    x  1 x  3  x  1 x  3 x  a) Do Q  Suy Q  x x 1 :  x  3x    x3 x  x  x  3 x  1  n 1 n  Theo câu a, ta có P  P  1 x n 1 nên P  x3 n 1  3 , P số nguyên tố nên P phải số nguyên dương n 1    ℕ  n    Ư(3) n 1  n 1  3 n 1 15 35 n Thử lại, với n  15 P  hợp số (loại); với n  35 P  số nguyên tố (thỏa mãn) Vậy với n  35 P  số nguyên tố 3.15 Cho x, y, z  khác đôi Chứng minh giá trị biểu thức P khơng phụ thuộc vào vị trí biến P  x x y  x z    y y z  y x    z z x  z y  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P  P P P x x     x    x  z z x  y  x  y  x  z  y  z  y z y  y z y xy z z xz y  x y   x z  y z y  z  x  z  y   yz  x y  y   x z  z     y z y z    z y z x y x z x x y  P  Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào vị trí biến  x y x  y  x3 y 2y 3.16 Cho biểu thức: P       x y  y x x y  y x  x y x y   Chứng minh P nhận giá trị nguyên với x, y thỏa mãn điều kiện: x  0, y  x  y Hướng dẫn giải – đáp số   x y x y  x xy  y Ta có: P     xy x  y xy x  y  x  y x  y        P P P P x y   x y  xy  x  y  x xy 2y  x y x y x  xy  y  x  xy  y x xy 2y  x y x y xy  x  y  2 x  y xy  x  y  x xy 2y  x y x y 2x 2y   Điều phải chứng minh x y x y  2x 1   x x 5 3.17 Cho biểu thức: P    :        x   x 1 x  x    x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x  3 c) Tìm x để P có giá trị số tự nhiên d) Tìm x để P  1 Hướng dẫn giải – đáp số 2x 1  x a) Ta có: P  P P  2x 1  x  x  x  x 1  95   x  1 x 1  x   x 1  x 1  x 1 x  x   x 1 x 2 : x 1 x  x   3  : 3 x  1  x 1 x 1 x   P b) x     x 1   x 1  x 2 x 1 ĐKXĐ: x  x  x 2   62 5     x   thuộc TXĐ Thay vào biểu thức P, ta có: P 11 52   1 1 c) Ta có: P    52  1   73 1 Để P có giá trị số tự nhiên x 2 x   U  3 x  , Từ ta có bảng giá trị sau: x 2 x 25 x Kết hợp với tập xác định, với x  9; 25 P nhận giá trị số tự nhiên x 1 x 1 1   0 x 2 x 2 d) P  1  P     x  x  khác dấu Mặt khác, ta có x   x 1  x 1 x   x    Do đó:   2 x    x    Kết hợp với tập xác định, ta có: S   x /  x   P  1    3.18 Rút gọn biểu thức: P   x2 y y xy  y x  x y x xy y x y  Với x  0, y  0, x  y Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P P P P x x  3x y  y x  y y  x x  y y x xy y 3x x  3x y  y x x xy y  x x  xy  y  x y  x    xy  y   y   x y  x y  x y  y x y  y x y y x 3 y x    x y x y x y 3.19 Chứng minh a, b, c số dương thỏa mãn a  c  2b ta ln có: 1   a b b c a c Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết, suy a  b  b  c 1 a b b c a c     a b bc ab a b b c Xét vế trái:    a c a c   ac ac a c a Vế trái = Vế phải Điều phải chứng minh 3.20 Chứng minh rằng: 1 1     4 1 3 5 79  80 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số Cách Đặt A  Đặt B  1 1     1 3 5 79  80 1 1     2 4 6 80  81  Ta có: A  B  A  A  B  Xét A  B   A B  1 1      1 2 3 4 80  81 2 3 4 5 81  80      1 3 43 54 81  80  A  B  81   Mà A  A  B  A   A  Điều phải chứng minh Cách Ta có: A   A A 1 1     1 3 5 79  81 3 5 7 81  79     1 53 5 81  79 81   Điều phải chứng minh 3.21 Cho dãy số a1 ; a2 ; ; an thỏa mãn a1  an 1   an với n  1; 2;3 Tính a2020  3.an Hướng dẫn giải – đáp số 3 Ta có: an   1  an     an    3an   an  3an   3an  3an  2an  an  2  3an 1  3an 3 Ta có: an 3  1  an    an  3an  an 1  3an   an     3an   an 1  3an   3an 1  3an 4an  an 4 Từ suy a1  a4  a7   a2020 Vậy a2020  3.22 Cho số thực a  thỏa mãn a  Chứng minh rằng: a  1  a a a  a Hướng dẫn giải – đáp số   1  1 Từ giả thiết  a  a   a       a  a   a    a 1   a  a 1   a  a    a 4    1    a  a  0     Nhận xét: Vì Xét a  a  nên a 1  loại, suy  a  1 1 1  1         a 2 1 1 Từ ta có: a  1  a  Điều phải chứng minh a a ... 1 3 1 1 :   2 2 2 3. 3 Rút gọn biểu thức: P  3? ?? 10    3? ?? 10   Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P   10  62   10  62 P  10  10     1 P  10  10  1 1 P ? ?3    ? ?3. ..         10    10  ? ?3    10  10    10  10  95 R 2 Cách Nhân hai vế với , ta được: R 3? ?? 3? ??   2 62 2 62 R 3? ?? 3? ??   2  1  1 R 3? ?? 3? ??   2 3? ?? 3? ?? Suy ra: R  2...  3? ?? 2  3? ?? 4? ?3    1 1   6 4? ?3 S  2 2 S  3. 7 Cho A  3? ??  4 3? ??  B  3? ??  4 3? ??  Tính A3  B (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải –