Ôn thi vào lớp 10 môn toán chuyên 22 PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

Chuyên đề 22 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A Kiến thức cần nhớ Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình vô tỉ, ta thường làm như sau + Đặt điều kiện cho ẩn + Bình phương hai[.]

Chun đề 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ A Kiến thức cần nhớ Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình vơ tỉ, ta thường làm sau: + Đặt điều kiện cho ẩn + Bình phương hai vế hai vế dương + Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn + Đánh giá hai vế phương trình + Sau tìm nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện nghiệm, chọn thích hợp B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x  10 x   2x  5x  (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải Quan sát đề bài, nhận thấy tốn có dạng: a.f  x   b f  x   c  Do nên đặt: f  x   y Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giải Đặt 2x  5x   y  y   , suy 2x  5x   y Phương trình có dạng: 2y   5y  2y  5y   Giải ta được: y1  1; y2   Với y =  Với y  2x  5x    2x  5x    2x  5x    x1  2; x2   2x  5x   5  19 5  19  2x  5x    2x  5x    x  ; x4  4 4  5  19 5  19  Vậy tập nghiệm phương trình : S  2;  ; ;  4   Ví dụ Giải phương trình sau:  a) x  3x     x  3x   b) 8 x3  5 x3  c) x  x2  x  x2  x   x  x2  x  x2  x  (Thi học sinh giỏi Tốn 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 - 2008) Giải a) Đặt y  x  3x , phương trình cho trở thành y  y   Giải ta được: y1  1; y2  - Với y = -1 ta có x  3x  1 giải ta x1  - Với y = ta có x  3x  giải ta x3  3 3 ; x2  2  37  37 ; x4  2     37  37  Vậy tập nghiệm phương trình : S   ; ; ;  2   b) Điều kiện  x  28 Đặt y  x   y   phương trình cho trở thành: 8y  5y   8y2   y   y    y  25  (8  y)(5  y)   y  3y   Giải ta y1  (thỏa mãn); y2 =  (không thỏa mãn) Với y  ta có: x3 1 x  Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta chuyển dấu sang vế (cơ lập thức) Sau bình phương hai vế c) Điều kiện x  x  0; x  x  0; x   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:  x  x    x  x   x  x2   x  x2   x  2 2  x  x2  x  x2  x   x  x   x  x   Dấu xảy   2  x  x   x  x   Hệ vô nghiệm nên dấu khơng xảy Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x  x   (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học ) Giải Tìm cách giải Quan sát phương trình ta tiếp cận cách giải theo hướng sau: - Hướng Quan sát nâng lên lũy thừa để khử phương trình bậc bốn, nên có nghiệm hồn tồn giải cách phân tích đa thức thành nhân tử 2  1  1 - Hướng Bài tốn có dạng x  m  x  m nên đưa  x     x  m   Từ giải 2  2  tiếp phương trình đơn giản - Hướng Bài tốn có dạng x  m  x  m nên chuyển giải hệ phương trình đối xứng, cách đặt x  m  y ta hệ phương trình:  x  m  y   y  m  x Trình bày lời giải  5  x   x   Cách Ta có: x   x  có điều kiện    x  x   Bình phương hai vế ta được: x  10 x  25  x        x  10 x  x  20   x  x  4x  x  x  4x  5x  5x  20      x2  x  x2  x   Giải phương trình: x  x   ta x1  1  17 1  17 ; x2  2 Giải phương trình: x  x   ta x3   21  21 ; x4  2 Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm phương trình là:   21 1  17  S ;    Cách Xét x  x    x  x  1  x5 x5  4  1 2  x   x    1  1  1 x   x5     2  2  x    x      2 - Giải phương trình (1): x  x  đk x  Suy x  x   x  x   ta x1  - Giải phương trình (2): x   21  21 ; x2  2 1   x    x    x  với điều kiện 2 5  x   x   x  2x   x  x   Giải ta được: x3  1  17 1  17 (thỏa mãn), x  (loại) 2 Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm phương trình là:   21 1  17  S ;    Cách Đặt x   y  y    x   y2  x  y  (3) Kết hợp với phương trình đề ta có hệ phương trình   y  x  (4) Từ phương trình (3) (4) vế trừ vế ta được: x  y  y  x   x  y  x  y  1  • Trường hợp Xét x = y, thay vào phương trình (3) ta được: x2  x   x2  x   Giải ta x1   21  21 ; x2  2 • Trường hợp Xét x  y    y   x  thay vào phương trình (3) ta được: x2  x    x2  x   Giải ta được: x3  1  17 1  17 (thỏa mãn), x4  (loại) 2 Kết hợp với điều kiện ta được, nghiệm phương trình là:   21 1  17  S ;    Ví dụ Giải phương trình: x  x  12 x   36 Giải Điều kiện x  1 Cách Đặt t  x   t   phương trình có dạng: xt  12t  36  x = 0, khơng phải nghiệm phương trình nên x  Giải phương trình ẩn t, ta được: t1  6  x  6  x  ;t2  x x • Trường hợp t  6  x   tx  6  6t   x   t  6 (loại) x   0,t  x • Trường hợp t  6  x  6 , bình phương hai vế ta  tx  6  6t  t   x 1  x 6x 6x được: x   36 với x   x  11x  24x   x  11x  24  , 36  12x  x x   x1  (thỏa mãn), x2  (loại) Vậy tập nghiệm phương trình S  3 Cách  x  2x   x   12 x   36   x  1   x 16  x   x     x    x  • Trường hợp x   x    x   x   x  14x  49  x   x  13x  48  vơ nghiệm • Trường hợp x    x   x    x  x   25  10 x  x với điều kiện x  x  11x  24  Giải ta x = (thỏa mãn), x = (không thỏa mãn) Vậv tập nghiệm phương trình S  3 Ví dụ Giải phương trình: x  2x  2x  (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải Quan sát đặc điểm phương trình, ta thấy có hai hướng suy nghĩ: • Cách Vì vế phải xuất dạng: f  x  vế trái xuất x , nên tìm cách đưa đẳng thức:  x  a     f  x   b Sau giải tiếp • Cách Đưa hệ phương trình đối xứng loại hai Trình bày lời giải Cách x  2x  2x   x  2x  2x  Điều kiện x   x  2x   2 x    x    x  2x   (1) 2x      x   2x   (2)  • Giải phương trình (1): x  2x    x   2x  Điều kiện x    x  1  2x   x  4x   Giải ta được: x1   (thỏa mãn) x2   (loại) • Giải phương trình (2): x   2x   x   2x    nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x   Cách Điều kiện x  Đặt 2x   y  điều kiện y   2x   y  2y  kết hợp với phương trình ban đầu ta có  x  x   y  1  x  2x  2y  2 hệ phương trình    2x   y  2y   y  2y  2x  2 x  y Vế trừ vế ta x  y     x  y • Trường hợp Xét x = y suy ra: 2x   x   2x   x  2x   x  4x   Giải ta được: x1   (thỏa mãn), x2   (loại) • Trường hợp Xét x = - y suy 2x    x  Với x  2x   0;  x    vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm nhất: x   Nhận xét Kĩ thuật việc chọn ẩn phụ từ việc làm ngược 2x   ax  b  x  2x   ay  b   ax  b   2x  Đặt Để hệ đối xứng ta chọn a  1; b  1 Từ ta có cách giải Ngồi ta bình phương hai vế giải phương trình bậc Thật x  2x       2x  1  x  4x  4x  x    x  4x  x   Ví dụ Giải phương trình x  17  x  x 17  x  (Thi học sinh giỏi Tốn 9, thành phố Hồ Chí Minh, năm 2008 - 2009) Giải từ ta giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn này, ta thường có hai cách: • Cách Chuyển thành hệ phương trình đối xứng loại 1, cách đặt phần chứa y • Cách Nhận thấy: x2  17  x  có tổng số, đồng thời phương trình xuất x 17  x , nên đặt: x  17  x  y Sau biểu diễn phần cịn lại theo y Trình bày lời giải Cách Đặt y  17  x y  0  x  y  17  x  y  17 Từ đó, ta có hệ phương trình   x  y  xy  u  2v  17 (1) Đặt x  y  u; xy  v Hệ phương trình có dạng  u  v  (2) Từ phương trình (2) ta có v  9u thay vào phương trình (1) ta được: u    u   17  u  2u  35  Giải ta được: u1   v1  ; u2  7  v2  16 x  y  • Trường hợp Xét u = 5; v = ta có   xy   x, y nghiệm phương trình X  5X   (3) Giải hệ phương trình (3) ta X1  1; X  x  x  Suy  ; y  y   x  y  7 • Trường hợp Xét u = -7; v = 16 ta có   xy  16  x, y nghiệm phương trình X  X  16  (4) Phương trình vơ nghiệm Suy hệ phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 4 Cách Đặt: y  x  17  x  y  17  2x 17  x  x 17  x  Phương trình cho có dạng: y  y  17 y  17   y  2y  35  Giải ta y1  5; y2  7 • Trường hợp Với y = ta có x  17  x  17  x   x điều kiện x  17 ; x   17  x  25  10 x  x  x  5x   Giải ta x = 1; x = (thỏa mãn) • Trường hợp Với y = -7 ta có x  17  x  7 17  x   x  điều kiện x  7; x  17 Suy vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 4 C Bài tập vận dụng 1.1 Giải phương trình: x  2x   2x  4x  (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – Đáp số x  2x   2x  4x   2x  4x   2x  4x  Đặt y  2x  4x  với y   2x  4x   y Phương trình có dạng y   4y  y  4y   Giải ta y1 = 1; y2 = - Với y = 2x  4x    2x  4x    2x  4x    x  - Với y = 2x  4x    2x  4x    2x  4x   Giải ta x = -1, x = Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 1; 3 1.2 Giải phương trình: x  x   x  x  18  (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  x   y  y   , phương trình có dạng y  y  12  Giải ta y = (thỏa mãn); y = - (không thỏa mãn) Với y   x  x    x  x   Giải ta x1   61  61 ; x2  2 1.3 Giải phương trình 2x  x  x  2 Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện x  2x  x  x  1 1   2x  x   x    4 4  1 1  2x   x      2x  x      2   x  x  3   2x  x     2x  với điều kiện x  4 2  5   x  4x  4x  x   Giải ta x  ; x  4 2 So sánh với điều kiện, ta x  (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x  1.4 Giải phương trình: a) x  3x   x   x   x ; b) x   x   Hướng dẫn giải - Đáp số a/ x  3x   x   x   x  x  3x  x     x   x   Điều kiện x  2 Đặt x   y  y   phương trình có dạng: x  3xy  2y   x  xy  2xy  2y    x  y   x  2y   - Trường hợp Xét x  y   x  y  x   x  x  x   với x  Giải ta x = -1 (loại), x = (thỏa mãn) - Trường hợp Xét x  2y   x  x      x 2 1   x 2 1  x  22  Vậy tập nghiệm phương trình S  2;2   b) Đặt t  x   t    t   t   1  1 1  t  t   t   t    t     t    4 2  2  1 1  t   t    t   0, t    2 2 2  t   t   t  2t   t   t  t   giải ta t1  Với t  1  17 1  17 (loại); t2  (thỏa mãn) 2 17  17  11  17  x 1  x 2 1.5 Giải phương trình: 16  x  3x  x  3x  (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt t  x  3x   t    t  16  x  3x   x  3x  9x  12   x  3t hay t  3t   x t  3t  x  Từ đó, ta có hệ phương trình   x  3x  t  Trừ vế phương trình ta t  x  3t  3x  x  t   t  x  t  x    - Trường hợp Xét t = x ta có x  3x   x  x  2x   Giải ta x1  1  ; x2  1  (loại) - Trường hợp Xét t + x + = ta có x  3x   x    x  4x  Giải ta x = (loại), x = -4  Vậy nghiệm phương trình S  4; 1  1.6 Giải phương trình: x    1  x x x Hướng dẫn giải – Đáp số 1 Đặt u   ; v  x  với u  0; v  0; x  x x u  v  x Từ ta có hệ phương trình  2 u  v   x u  v  x u  v  x    1 x u  v   u  v  u  v    x x  1 x  2v  x   2v  x   hay 2v  v   v  x x Với v   x    x2  x   x Giải ta x1  1 1 (loại); x2  (thỏa mãn) 2    Vậy nghiệm phương trình S      1.7 Giải phương trình:  x   x  2x  x x x (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Nghệ An, năm học 2011 - 2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Đặt x  u; 2x   v  u  0;v   x x Điều kiện x   0;2x   x x 4   x  u  x  v u  v  x  x Ta có hệ phương trình   u  v   x u  v   x   x x  Suy u  v  u  v    u  v  u  v  1  Do u  0; v  nên u  v   Suy u  v   x  Thử lại x   x  x  2  x  5  2x   x   2x   x   x  2 x x x x x 1     thỏa mãn x 2 1  2     (không thỏa mãn) x 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = 1.8 Giải phương trình:   a) 10 x   x  ; b) 2x  5x   x  ;   c) x  2x   x  3x  3x  (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2010 - 2011) Hướng dẫn giải – Đáp số a/  10 Đặt  x  1  x     x   x  điều kiện x  1 x   u; x  x   v  u  0;v    Phương trình có dạng: 10uv  u  v   u  3v   3u  9uv  uv  3v    u  3v  3u  v      3u  v  - Trường hợp Xét u  3v   u  3v Suy x  x   x   9x  9x   x   9x  10 x   vô nghiệm - Trường hợp Xét 3u  v   v  3u Suy x  x   x   x  x   9x   x  10 x   Giải ta x1   33; x2   33  Vậy phương trình có tập nghiệm : S   33;  33 b/  Đặt  x  1  x    x   2x  5x  điều kiện x  x   u; x  x   v  u  0;v   Phương trình có dạng : 7uv  2v  3u  v  3u   2v  6uv  uv  3u    v  3u  2v  u      2v  u  - Trường hợp Xét v  3u   v  3u Suy ra: x  x   x   x  x   9x   x  x  10  Giải ta được: x1   ; x2   - Trường hợp Xét 2v  u   2v  u Suy x  x   x   4x  4x   x   4x  3x   vô nghiệm  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S   ;     c/  x  2x   Đặt  x  2  x   x  điều kiện x  2 x   u; x  x   v  u  0;v   Phương trình có dạng:   u  v  5uv  2u  4uv  uv  2v    2u  v  u  2v   - Trường hợp Xét u  2v   2v  u Suy x  x   x   4x  4x   x   4x  3x   vô nghiệm - Trường hợp Xét 2u  v   x  x   x   x  x   4x   x  3x   Giải ta được: x1   37  37 ; x2  (thỏa mãn) 2   37  37  Vậy tập nghiệm phương trình: S   ;    1.9 Giải phương trình: 3x   x 1  3x  4x (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013 - 2014) Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện xác định: x   , x  Phương trình tương đương với 12x   3x  1  4x 3x  Đặt a  2x,b  3x  Ta có phương trình 3a  b  2ab   b  a  b  3a    b  a b = -3a Khi - Với 3x   2x 3x   6 x 3x   2x , điều kiện x > 0, ta có: 3x   2x  3x   4x  4x  3x    x  x   - Với 3x   6 x , điều kiện  (loại)  x  , ta có: 3x   6 x  3x   36 x  x   153  153 x  (loại) 72 72 Vậy phương trình có hai nghiệm x  1, x   153 72 1.10 Giải phương trình: 2x  x   3x x  (Thi học sinh giỏi tốn lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2014- 2015) Hướng dẫn giải – Đáp số ĐKXĐ: x  3  2x  x   3x x   2x  x   x   x3 0 x    2x  x   x       2x  x     x  x    x   13   x  x     13  Vậy tập nghiệm phương trình là: S  1;    1.11 Giải phương trình: x  5x   2x  5x  x  (Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên Toán, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số  Nhận xét: 2x  5x  x    2x   x  x  ĐKXĐ: x      Phương trình viết dạng x  x    2x    Đặt  2x    x x2  2x   a, x  x   b  a  0,b   a  b Phương trình có dạng b  3ba  2a    b  a  b  2a      2a  b Trường hợp Xét a = b, ta có: x  x   2x   x  x   Phương trình có hai nghiệm: x  1 1 (thỏa mãn), x  (thỏa mãn) 2 Trường hợp Xét 2a = b, ta có: x  x   2x   x  x  10  Phương trình có hai nghiệm: x   89  89 (thỏa mãn), x  (không thỏa mãn) 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x  1 1  89 ; x ; x 2 ... x   Hệ vô nghiệm nên dấu không xảy Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x  x   (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học ) Giải Tìm cách giải Quan sát phương trình ta... x  x     13  Vậy tập nghiệm phương trình là: S  1;    1.11 Giải phương trình: x  5x   2x  5x  x  (Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên Toán, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014) Hướng... 25  10 x  x với điều kiện x  x  11x  24  Giải ta x = (thỏa mãn), x = (không thỏa mãn) Vậv tập nghiệm phương trình S  3 Ví dụ Giải phương trình: x  2x  2x  (Thi học sinh giỏi Toán