Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 22 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A Kiến thức cần nhớ Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình vô tỉ, ta thường làm như sau + Đặt điều kiện cho ẩn + Bình phương hai[.]
Chun đề 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ A Kiến thức cần nhớ Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình vơ tỉ, ta thường làm sau: + Đặt điều kiện cho ẩn + Bình phương hai vế hai vế dương + Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn + Đánh giá hai vế phương trình + Sau tìm nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện nghiệm, chọn thích hợp B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x 10 x 2x 5x (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013) Giải Tìm cách giải Quan sát đề bài, nhận thấy tốn có dạng: a.f x b f x c Do nên đặt: f x y Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giải Đặt 2x 5x y y , suy 2x 5x y Phương trình có dạng: 2y 5y 2y 5y Giải ta được: y1 1; y2 Với y = Với y 2x 5x 2x 5x 2x 5x x1 2; x2 2x 5x 5 19 5 19 2x 5x 2x 5x x ; x4 4 4 5 19 5 19 Vậy tập nghiệm phương trình : S 2; ; ; 4 Ví dụ Giải phương trình sau: a) x 3x x 3x b) 8 x3 5 x3 c) x x2 x x2 x x x2 x x2 x (Thi học sinh giỏi Tốn 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 - 2008) Giải a) Đặt y x 3x , phương trình cho trở thành y y Giải ta được: y1 1; y2 - Với y = -1 ta có x 3x 1 giải ta x1 - Với y = ta có x 3x giải ta x3 3 3 ; x2 2 37 37 ; x4 2 37 37 Vậy tập nghiệm phương trình : S ; ; ; 2 b) Điều kiện x 28 Đặt y x y phương trình cho trở thành: 8y 5y 8y2 y y y 25 (8 y)(5 y) y 3y Giải ta y1 (thỏa mãn); y2 = (không thỏa mãn) Với y ta có: x3 1 x Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta chuyển dấu sang vế (cơ lập thức) Sau bình phương hai vế c) Điều kiện x x 0; x x 0; x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có: x x x x x x2 x x2 x 2 2 x x2 x x2 x x x x x Dấu xảy 2 x x x x Hệ vô nghiệm nên dấu khơng xảy Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x x (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học ) Giải Tìm cách giải Quan sát phương trình ta tiếp cận cách giải theo hướng sau: - Hướng Quan sát nâng lên lũy thừa để khử phương trình bậc bốn, nên có nghiệm hồn tồn giải cách phân tích đa thức thành nhân tử 2 1 1 - Hướng Bài tốn có dạng x m x m nên đưa x x m Từ giải 2 2 tiếp phương trình đơn giản - Hướng Bài tốn có dạng x m x m nên chuyển giải hệ phương trình đối xứng, cách đặt x m y ta hệ phương trình: x m y y m x Trình bày lời giải 5 x x Cách Ta có: x x có điều kiện x x Bình phương hai vế ta được: x 10 x 25 x x 10 x x 20 x x 4x x x 4x 5x 5x 20 x2 x x2 x Giải phương trình: x x ta x1 1 17 1 17 ; x2 2 Giải phương trình: x x ta x3 21 21 ; x4 2 Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm phương trình là: 21 1 17 S ; Cách Xét x x x x 1 x5 x5 4 1 2 x x 1 1 1 x x5 2 2 x x 2 - Giải phương trình (1): x x đk x Suy x x x x ta x1 - Giải phương trình (2): x 21 21 ; x2 2 1 x x x với điều kiện 2 5 x x x 2x x x Giải ta được: x3 1 17 1 17 (thỏa mãn), x (loại) 2 Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm phương trình là: 21 1 17 S ; Cách Đặt x y y x y2 x y (3) Kết hợp với phương trình đề ta có hệ phương trình y x (4) Từ phương trình (3) (4) vế trừ vế ta được: x y y x x y x y 1 • Trường hợp Xét x = y, thay vào phương trình (3) ta được: x2 x x2 x Giải ta x1 21 21 ; x2 2 • Trường hợp Xét x y y x thay vào phương trình (3) ta được: x2 x x2 x Giải ta được: x3 1 17 1 17 (thỏa mãn), x4 (loại) 2 Kết hợp với điều kiện ta được, nghiệm phương trình là: 21 1 17 S ; Ví dụ Giải phương trình: x x 12 x 36 Giải Điều kiện x 1 Cách Đặt t x t phương trình có dạng: xt 12t 36 x = 0, khơng phải nghiệm phương trình nên x Giải phương trình ẩn t, ta được: t1 6 x 6 x ;t2 x x • Trường hợp t 6 x tx 6 6t x t 6 (loại) x 0,t x • Trường hợp t 6 x 6 , bình phương hai vế ta tx 6 6t t x 1 x 6x 6x được: x 36 với x x 11x 24x x 11x 24 , 36 12x x x x1 (thỏa mãn), x2 (loại) Vậy tập nghiệm phương trình S 3 Cách x 2x x 12 x 36 x 1 x 16 x x x x • Trường hợp x x x x x 14x 49 x x 13x 48 vơ nghiệm • Trường hợp x x x x x 25 10 x x với điều kiện x x 11x 24 Giải ta x = (thỏa mãn), x = (không thỏa mãn) Vậv tập nghiệm phương trình S 3 Ví dụ Giải phương trình: x 2x 2x (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải Quan sát đặc điểm phương trình, ta thấy có hai hướng suy nghĩ: • Cách Vì vế phải xuất dạng: f x vế trái xuất x , nên tìm cách đưa đẳng thức: x a f x b Sau giải tiếp • Cách Đưa hệ phương trình đối xứng loại hai Trình bày lời giải Cách x 2x 2x x 2x 2x Điều kiện x x 2x 2 x x x 2x (1) 2x x 2x (2) • Giải phương trình (1): x 2x x 2x Điều kiện x x 1 2x x 4x Giải ta được: x1 (thỏa mãn) x2 (loại) • Giải phương trình (2): x 2x x 2x nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x Cách Điều kiện x Đặt 2x y điều kiện y 2x y 2y kết hợp với phương trình ban đầu ta có x x y 1 x 2x 2y 2 hệ phương trình 2x y 2y y 2y 2x 2 x y Vế trừ vế ta x y x y • Trường hợp Xét x = y suy ra: 2x x 2x x 2x x 4x Giải ta được: x1 (thỏa mãn), x2 (loại) • Trường hợp Xét x = - y suy 2x x Với x 2x 0; x vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm nhất: x Nhận xét Kĩ thuật việc chọn ẩn phụ từ việc làm ngược 2x ax b x 2x ay b ax b 2x Đặt Để hệ đối xứng ta chọn a 1; b 1 Từ ta có cách giải Ngồi ta bình phương hai vế giải phương trình bậc Thật x 2x 2x 1 x 4x 4x x x 4x x Ví dụ Giải phương trình x 17 x x 17 x (Thi học sinh giỏi Tốn 9, thành phố Hồ Chí Minh, năm 2008 - 2009) Giải từ ta giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn này, ta thường có hai cách: • Cách Chuyển thành hệ phương trình đối xứng loại 1, cách đặt phần chứa y • Cách Nhận thấy: x2 17 x có tổng số, đồng thời phương trình xuất x 17 x , nên đặt: x 17 x y Sau biểu diễn phần cịn lại theo y Trình bày lời giải Cách Đặt y 17 x y 0 x y 17 x y 17 Từ đó, ta có hệ phương trình x y xy u 2v 17 (1) Đặt x y u; xy v Hệ phương trình có dạng u v (2) Từ phương trình (2) ta có v 9u thay vào phương trình (1) ta được: u u 17 u 2u 35 Giải ta được: u1 v1 ; u2 7 v2 16 x y • Trường hợp Xét u = 5; v = ta có xy x, y nghiệm phương trình X 5X (3) Giải hệ phương trình (3) ta X1 1; X x x Suy ; y y x y 7 • Trường hợp Xét u = -7; v = 16 ta có xy 16 x, y nghiệm phương trình X X 16 (4) Phương trình vơ nghiệm Suy hệ phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 4 Cách Đặt: y x 17 x y 17 2x 17 x x 17 x Phương trình cho có dạng: y y 17 y 17 y 2y 35 Giải ta y1 5; y2 7 • Trường hợp Với y = ta có x 17 x 17 x x điều kiện x 17 ; x 17 x 25 10 x x x 5x Giải ta x = 1; x = (thỏa mãn) • Trường hợp Với y = -7 ta có x 17 x 7 17 x x điều kiện x 7; x 17 Suy vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 4 C Bài tập vận dụng 1.1 Giải phương trình: x 2x 2x 4x (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – Đáp số x 2x 2x 4x 2x 4x 2x 4x Đặt y 2x 4x với y 2x 4x y Phương trình có dạng y 4y y 4y Giải ta y1 = 1; y2 = - Với y = 2x 4x 2x 4x 2x 4x x - Với y = 2x 4x 2x 4x 2x 4x Giải ta x = -1, x = Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 1; 3 1.2 Giải phương trình: x x x x 18 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x x y y , phương trình có dạng y y 12 Giải ta y = (thỏa mãn); y = - (không thỏa mãn) Với y x x x x Giải ta x1 61 61 ; x2 2 1.3 Giải phương trình 2x x x 2 Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện x 2x x x 1 1 2x x x 4 4 1 1 2x x 2x x 2 x x 3 2x x 2x với điều kiện x 4 2 5 x 4x 4x x Giải ta x ; x 4 2 So sánh với điều kiện, ta x (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x 1.4 Giải phương trình: a) x 3x x x x ; b) x x Hướng dẫn giải - Đáp số a/ x 3x x x x x 3x x x x Điều kiện x 2 Đặt x y y phương trình có dạng: x 3xy 2y x xy 2xy 2y x y x 2y - Trường hợp Xét x y x y x x x x với x Giải ta x = -1 (loại), x = (thỏa mãn) - Trường hợp Xét x 2y x x x 2 1 x 2 1 x 22 Vậy tập nghiệm phương trình S 2;2 b) Đặt t x t t t 1 1 1 t t t t t t 4 2 2 1 1 t t t 0, t 2 2 2 t t t 2t t t t giải ta t1 Với t 1 17 1 17 (loại); t2 (thỏa mãn) 2 17 17 11 17 x 1 x 2 1.5 Giải phương trình: 16 x 3x x 3x (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt t x 3x t t 16 x 3x x 3x 9x 12 x 3t hay t 3t x t 3t x Từ đó, ta có hệ phương trình x 3x t Trừ vế phương trình ta t x 3t 3x x t t x t x - Trường hợp Xét t = x ta có x 3x x x 2x Giải ta x1 1 ; x2 1 (loại) - Trường hợp Xét t + x + = ta có x 3x x x 4x Giải ta x = (loại), x = -4 Vậy nghiệm phương trình S 4; 1 1.6 Giải phương trình: x 1 x x x Hướng dẫn giải – Đáp số 1 Đặt u ; v x với u 0; v 0; x x x u v x Từ ta có hệ phương trình 2 u v x u v x u v x 1 x u v u v u v x x 1 x 2v x 2v x hay 2v v v x x Với v x x2 x x Giải ta x1 1 1 (loại); x2 (thỏa mãn) 2 Vậy nghiệm phương trình S 1.7 Giải phương trình: x x 2x x x x (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Nghệ An, năm học 2011 - 2012) Hướng dẫn giải – Đáp số Đặt x u; 2x v u 0;v x x Điều kiện x 0;2x x x 4 x u x v u v x x Ta có hệ phương trình u v x u v x x x Suy u v u v u v u v 1 Do u 0; v nên u v Suy u v x Thử lại x x x 2 x 5 2x x 2x x x 2 x x x x x 1 thỏa mãn x 2 1 2 (không thỏa mãn) x 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = 1.8 Giải phương trình: a) 10 x x ; b) 2x 5x x ; c) x 2x x 3x 3x (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2010 - 2011) Hướng dẫn giải – Đáp số a/ 10 Đặt x 1 x x x điều kiện x 1 x u; x x v u 0;v Phương trình có dạng: 10uv u v u 3v 3u 9uv uv 3v u 3v 3u v 3u v - Trường hợp Xét u 3v u 3v Suy x x x 9x 9x x 9x 10 x vô nghiệm - Trường hợp Xét 3u v v 3u Suy x x x x x 9x x 10 x Giải ta x1 33; x2 33 Vậy phương trình có tập nghiệm : S 33; 33 b/ Đặt x 1 x x 2x 5x điều kiện x x u; x x v u 0;v Phương trình có dạng : 7uv 2v 3u v 3u 2v 6uv uv 3u v 3u 2v u 2v u - Trường hợp Xét v 3u v 3u Suy ra: x x x x x 9x x x 10 Giải ta được: x1 ; x2 - Trường hợp Xét 2v u 2v u Suy x x x 4x 4x x 4x 3x vô nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm là: S ; c/ x 2x Đặt x 2 x x điều kiện x 2 x u; x x v u 0;v Phương trình có dạng: u v 5uv 2u 4uv uv 2v 2u v u 2v - Trường hợp Xét u 2v 2v u Suy x x x 4x 4x x 4x 3x vô nghiệm - Trường hợp Xét 2u v x x x x x 4x x 3x Giải ta được: x1 37 37 ; x2 (thỏa mãn) 2 37 37 Vậy tập nghiệm phương trình: S ; 1.9 Giải phương trình: 3x x 1 3x 4x (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013 - 2014) Hướng dẫn giải – Đáp số Điều kiện xác định: x , x Phương trình tương đương với 12x 3x 1 4x 3x Đặt a 2x,b 3x Ta có phương trình 3a b 2ab b a b 3a b a b = -3a Khi - Với 3x 2x 3x 6 x 3x 2x , điều kiện x > 0, ta có: 3x 2x 3x 4x 4x 3x x x - Với 3x 6 x , điều kiện (loại) x , ta có: 3x 6 x 3x 36 x x 153 153 x (loại) 72 72 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x 153 72 1.10 Giải phương trình: 2x x 3x x (Thi học sinh giỏi tốn lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2014- 2015) Hướng dẫn giải – Đáp số ĐKXĐ: x 3 2x x 3x x 2x x x x3 0 x 2x x x 2x x x x x 13 x x 13 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 1; 1.11 Giải phương trình: x 5x 2x 5x x (Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên Toán, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét: 2x 5x x 2x x x ĐKXĐ: x Phương trình viết dạng x x 2x Đặt 2x x x2 2x a, x x b a 0,b a b Phương trình có dạng b 3ba 2a b a b 2a 2a b Trường hợp Xét a = b, ta có: x x 2x x x Phương trình có hai nghiệm: x 1 1 (thỏa mãn), x (thỏa mãn) 2 Trường hợp Xét 2a = b, ta có: x x 2x x x 10 Phương trình có hai nghiệm: x 89 89 (thỏa mãn), x (không thỏa mãn) 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x 1 1 89 ; x ; x 2 ... x Hệ vô nghiệm nên dấu không xảy Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x x (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học ) Giải Tìm cách giải Quan sát phương trình ta... x x 13 Vậy tập nghiệm phương trình là: S 1; 1.11 Giải phương trình: x 5x 2x 5x x (Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên Toán, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014) Hướng... 25 10 x x với điều kiện x x 11x 24 Giải ta x = (thỏa mãn), x = (không thỏa mãn) Vậv tập nghiệm phương trình S 3 Ví dụ Giải phương trình: x 2x 2x (Thi học sinh giỏi Toán