Ôn thi vào lớp 10 môn toán chuyên 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH lập hệ PHƯƠNG TRÌNH

Chương 3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ Các bước giải toán bằng cách lập hệ phương trình Bước 1 Lập hệ phương trình Chọn c[.]

Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 12 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình: - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn số đại lượng biết - Từ lập hệ phương trình biểu thị tương quan đại lượng Bước Giải hệ phương trình Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không thỏa mãn, trả lời B Một số ví dụ Ví dụ 1: Một ca nơ chạy sơng giờ, xi dịng 108 km ngược dịng 63 km Một lần khác, ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 km ngược dịng 84 km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước (biết vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước khơng đổi) Giải Tìm cách giải Bài toán toán chuyển động dịng chảy Bạn cần nhớ rằng: ● Vận tốc xi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước ● Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dịng nước Sau viết thời gian xi dịng, thời gian ngược dịng theo qng đường xi ngược từ thiết lập hệ phương trình Trình bày lời giải Gọi vận tốc riêng ca nô x  km / h, x   Vận tốc dòng nước y  km / h,  y  x  Suy vận tốc xi dịng ca nơ x  y  km / h  Vận tốc ngược dòng ca nô x  y  km / h  Theo đề bài, ca nô chạy sông giờ, xi dịng 108 km ngược dịng 63 km, ta có phương trình: 108 63  7 xy xy (1) Theo đề bài, ca nô chạy sông giờ, xi dịng 81 km ngược dịng 64km, ta có hệ phương trình: 81 84  7 xy xy (2)  108  x  y  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :   81   x  y Đặt 63 7 x y 84 7 x y 108a  63b  1  a;  b Hệ phương trình có dạng:  xy xy  81a  84b   a  27  x  y  27  x  24  suy  (thỏa mãn) Giải ta  x  y  21 y    b   21 Vậy vận tốc riêng ca nô 24 km / h Và vận tốc dịng nước km / h Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m , tăng chiều dài thêm 3m , tăng chiều rộng thêm 2m diện thích tăng thêm 45m Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Giải Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật x(m,x>0) chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật y ( m, y  0) Theo đề bài, chu vi mảnh vườn hình chữ nhật 34m , ta có phương trình:  x  y   34 1 Theo đề bài, tăng chiều dài thêm 3m , tăng chiều rộng thêm 2m diện tích tăng thêm 45m , ta có phương trình:  x  3 y    xy  45 2 Từ 1   ta có hệ phương trình:   x  y   34  x  y  17    x  3 y    xy  45 2 x  3y  39  x  12 Giải ta được:  (thỏa mãn) y  Vậy chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật 12m, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật 5m Ví dụ 3: Hai người làm chung cơng việc 12 ngày xong Nhưng làm chung ngày người thứ làm việc khác, người thứ hai làm tiếp cơng việc 10 ngày xong Hỏi người làm xong cơng việc hết thời gian? Giải Tìm cách giải Bài tốn tốn cơng việc đồng thời Để giải loại tốn này, coi tồn cơng việc n v Suy ra: suất = thời gian Tổng suất riêng = suất chung Trình bày lời giải: Lập phương trình theo mẫu: Gọi người thứ làm xong cơng việc thời gian x  ngµy, x  12  Gọi người thứ hai làm xong cơng việc thời gian y  ngµy, y  12  ngày người thứ làm ngày người thứ hai làm công việc x công việc y Theo đề bài, hai người làm chung 12 ngày xong, ta có phương trình: 1   x y 12 1 Theo đề bài, họ làm chung ngày, người thứ nghỉ, người thứ hai làm công việc  1  10 18 1   (2) 10 ngày xong, ta có phương trình:     x y x y y 1 1  x  y  12  Từ 1   ta có hệ phương trình:    18   x y  x  20 Giải ta được:  (thỏa mãn)  y  30 Vậy thời gian người thứ làm xong cơng việc hết 20 ngày; thời gian người thứ hai làm xong cơng việc hết 30 ngày Ví dụ 4: Trong lớp học có hai loại học sinh giỏi Nếu có học sinh giỏi chuyển 1 số học sinh cịn lại học sinh giỏi Nếu có học sinh chuyển số học sinh cịn lại học sinh giỏi Tính số học sinh lớp Giải Gọi số học sinh giỏi x số học sinh y  x ; y  N ; x y häc sinh  Chuyển học sinh giỏi số học sinh giỏi x  học sinh Theo đầu bài, có học sinh giỏi chuyển có phương trình: số học sinh cịn lại học sinh giỏi, ta x 1  (1) x  y 1 Chuyển học sinh số học sinh y  học sinh Theo đầu bài, có học sinh chuyển có phương trình: số học sinh lại học sinh giỏi, ta x  2 x  y 1  x 1    x  y 1 Từ 1   ta có hệ phương trình:  x    x  y  1 5 x  y   4 x  y  1 x  (thỏa mãn điều kiện) Giải ta được:   y  25 Vậy số học sinh lớp  25  31 học sinh Ví dụ 5: Hai thị xã A B cách 90km Một ô tô khởi hành từ A mô tô khởi hành từ B lúc ngược chiều Sau gặp xe ô tô chạy thêm 30 phút đến B, cịn xe mơ tơ chạy thêm đến A Tìm vận tốc xe ( Giả sử hai xe chuyển động đều) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long năm 2012 - 2013) Giải Gọi địa điểm gặp C Gọi vận tốc ô tô x  km / h, x   vận tốc mô tô y  km / h, y   Quãng đường ô tô từ C đến B là: x  km  Quãng đường mô tô từ C đến A là: y  km  Theo đề bài, ta có phương trình: x  y  90 1 Theo đề bài, thời gian ô tô từ A đến C thời gian mô tô từ B đến C nên ta có x 2y   y2  x phương trình: x y 2 1  x  y  180  x  y  90 Từ 1   ta có hệ phương trình:    v× x >0, y>0  x  2y  x  y2   x  60 Giải ta được:  (thỏa mãn)  y  30 Vậy vận tốc ô tô 60 km / h , vận tốc mô tô 30 km / h Ví dụ 6: Có mười sáu người dự trại nghỉ mát khu rừng ngoại ô thành phố Họ chia mang theo 19kg vật dụng lương thực… Mỗi người đàn ông mang theo 3kg, nhóm hai người đàn bà mang theo 1kg, nhóm ba đứa trẻ mang theo 1kg Tính số đàn ông, đàn bà trẻ em dự trại Giải Tìm cách giải Bài tốn u cầu tìm số đàn ông, đàn bà trẻ em nên ta chọn ba ẩn Từ đề ta thiết lập hai phương trình: Phương trình thứ phương trình cân số người, phương trình thứ hai cân khối lượng Vì điều kiện ẩn số số tự nhiên, nên ta giới hạn miền giá trị ẩn để tìm nghiệm (thực chất giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên) Trình bày lời giải Gọi số đàn ông, đàn bà trẻ em x, y, z  ng − êi, x , y, z N; x , y, z 0  , thể tích bình thứ ba z  lÝt , z >0  Theo đề bài, ba bình tích tổng cộng 120 lít, ta có phương trình: x  y  z  120 1 Theo đề bài, đổ đầy nước vào bình thứ rót vào hai bình bình thứ ba đầy nước, cịn bình thứ hai bình thứ ba thể tích nó, bình thứ hai đầy nước cịn thể tích nó, ta có phương trình: x 1 y  z 2 ; x  y  z  3 Từ 1 ,    3 ta có hệ phương trình: 1    y  z  y  z  120  x  y  z  120 3 y  z  240  x  50   1   1    yz  y z  3 y  z    y  40 x  y  z 2     z  30  1   x  y  z x  y  z x  y  z     (thỏa mãn) Vậy thể tích bình thứ 50 lít, thể tích bình thứ hai 40 lít, thể tích bình thứ ba 30 lít 12.9 Hai địa điểm A B cách 360 km Cùng lúc xe tải khởi hành từ A chạy B xe chạy từ B A sau gặp xe tải chạy tiếp tới B xe chạy tiếp 12 phút tới A Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải – đáp số Gọi địa điểm gặp C Gọi vận tốc xe tải x  km / h, x   vận tốc xe y  km / h, y   Quãng đường xe tải từ C đến B là: 5x  km  Quãng đường xe từ C đến A là: Theo đề bài, ta có phương trình: x  16 y  km  16 y  360 1 Theo đề bài, thời gian xe tải từ A đến C thời gian xe từ B đến C nên ta có 16 y 5x 16 phương trình:   y  5x x y 2 16  5 x  y  360 Từ 1   ta có hệ phương trình:   25 x  16 y Kết hợp với x  , y   x  40 Giải ta   y  50 Vậy vận tốc xe tải 40 km / h , vận tốc xe 50 km / h 12.10 Có ba đội xây dựng làm chung công việc Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, hai đội lại làm thêm 12 ngày hồn thành cơng việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội III trung bình cộng suất đội I suất đội II Nếu đội làm phần ba cơng việc phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm xong cơng việc trên? (Tuyển sinh lớp 10, THPT Năng Khiếu ĐHQG TP.Hồ Chí Minh, năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x  ngµy, x   thời gian đội II làm xong cơng việc y  ngµy, y   thời gian đội III làm xong cơng việc z  ngµy, z   Theo đề bài, làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, hai đội lại làm thêm 12 ngày hồn thành cơng việc, ta có phương trình:  1 1 1 1      12     x y z x y 1 Theo đề bài, suất đội III trung bình cộng suất đội I suất đội II, ta có phương trình: 11 1     z 2 x y 2 Theo đề bài, đội làm phần ba cơng việc phải tất 37 ngày xong, ta có phương trình: x y z    37 3  3 Theo đề bài, suất đội I cao suất đội II tức là: 1  xy x y   1 1 1 1 4      12     x y   x y z  1  1  Từ 1 ,    3 ta có hệ phương trình:       z 2 x y  x y z    37   3 Từ   ta có: 1 2 2 1   vào 1 ta được:     12   z  36 x y z z z z 1 2  3 4 1 1  xy  18  x  y     Thay vào phương trình    3 , ta được:  x y 18    x  y  75  x  y  75   xy  1350   x  y  75  5 6  Từ   , ta có: y  75  x thay vào  5 ta được: x  75  x   1350  x  75x  1350    x  45   x  30    x  45, x  30 Với x  45 y  75  45  30 khơng thỏa mãn   Với x  30 y  75  30  45 , thỏa mãn   Vậy thời gian đội I làm xong cơng việc đội I hết 30 ngày, đội II hết 45 ngày, đội III hết 36 ngày 12.11 Trong bình có đựng nước Nếu ta rót thứ hai; rót lượng nước từ bình thứ sang bình lượng nước có bình thứ hai sang bình thứ ba cuối rót lượng nước bình thứ ba sang bình thứ bình có lít nước Hỏi lúc 10 đầu bình có lít nước? Hướng dẫn giải – đáp số Đặt lượng nước lúc đầu bình thứ nhất, bình thứ hai, bình thứ ba x, y, z Theo đề ta có hệ phương trình:    1   1  27   x  x   10  z   y  x    x y z9        40 40 10   x  12    1   3   y    y x 9  y  x 4y  x       z  4  1        x y z    z   y  x   z   y  x   120 40 10  4   10  4    Vậy lượng nước lúc đầu bình thứ nhất, bình thứ hai, bình thứ ba 12 lít, lít, lít 12.12 A nói với B : Tuổi tơi gấp ba lần tuổi anh vào lúc tuổi tuổi anh Lúc tuổi anh tuổi tơi tổng số tuổi hai 98 Tìm tuổi A B Hướng dẫn giải – đáp số Gọi tuổi A B x, y  tuæi, x , y  N, x  y  Lúc A có số tuổi y B có số tuổi là: y   x  y  hay 2y  x Lúc B có số tuổi x A có số tuổi là: x   x  y  hay 2x  y  x   y  x   x  42 Theo đề ta có hệ phương trình:  ( thỏa mãn)   y  28 2 x  y  x  98 Vậy tuổi A 42, tuổi B 28 12.13 Đoạn đường AB dài 160km, ô tô từ A đến B xe máy từ B đến A khởi hành vào thời điểm, sau thời gian hai xe gặp điểm C, đoạn đường AC dài 120km Khi tới B ô tô liền quay lại đuổi kịp xe máy điểm D Tính vận tốc xe, biết kể từ khởi hành tới lúc hai xe gặp điểm D vận tốc hai xe khơng đổi (TS lớp 10, chun tốn tỉnh Ninh Bình, năm học 2010 - 2011) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi vận tốc ô tô xe máy x, y  km / h, x , y   Vì thời gian từ A đến C thời gian từ B đến C nên ta có phương trình: 120 40   x  3y x y 1 Vì tới B ô tô liền quay lại đuổi kịp xe máy điểm D kể từ khởi hành tới lúc hai xe gặp điểm D giờ, ta có phương trình: x  y  160 2 x  3y   x  60  thỏa mãn điều kiện Từ 1   ta có hệ phương trình:  4 x  y  160  y  20 Vậy vận tốc ô tô xe máy 60 km / h , 20 km / h ... tìm số đàn ơng, đàn bà trẻ em nên ta chọn ba ẩn Từ đề ta thi? ??t lập hai phương trình: Phương trình thứ phương trình cân số người, phương trình thứ hai cân khối lượng Vì điều kiện ẩn số số tự nhiên,... gian? Giải Tìm cách giải Bài tốn tốn cơng việc đồng thời Để giải loại tốn này, coi tồn cơng việc l n v Suy ra: suất = thời gian Tổng suất riêng = suất chung Trình bày lời giải: Lập phương trình. .. chất giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên) Trình bày lời giải Gọi số đàn ông, đàn bà trẻ em x, y, z  ng − êi, x , y, z N; x , y, z