Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

Ngày soạn: 19/1/2019 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A Mục tiêu: Về kiến thức: Qua học này, học sinh cần biết được: - Định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số - Các định lí giới hạn hữu hạn dãy số Về kỹ năng: Học sinh cần rèn luyện kỉ sau: - Rèn luyện tính cẩn thận xác tính tốn, lập luận - Biết vận dụng định lí vào tập - Xây dựng tư logic, linh hoạt, biết quy lạ thành quen, phát triển tư logic tốn học - Biết sử dụng máy tính Về thái độ: - Chủ động tích cực tiếp thu kiến thức - Tích cực tương tác tốt hoạt động nhóm - Thái độ hứng thú học tập 4.Định hướng phát triển lực: - Rèn luyện lực tự học, lực hợp tác, lực giao tiếp, lực quan sát, lực phát giải vấn đề, lực tính tốn, lực vận dụng kiến thức vào sống,… B Chuẩn bị giáo viên học sinh: Giáo viên: - Giáo án, đồ dùng dạy học - Các bảng phụ (hoặc trình chiếu) phiếu học tập Học sinh: - Đồ dùng học tập :sgk,máy tính - Đọc trước nhà C Phương pháp: - Gợi mở, vấn đáp - Phát giải vấn đề - Tổ chức hoạt động nhóm D.Chuổi hoạt động học: I HOẠT ĐỘNG 1:KHỞI ĐỘNG- GIỚI THIỆU(5 phút): 1.Mục tiêu: Giúp HS hình dung khái niệm giới hạn dãy số Phương thức: Vấn đáp, giải tình Năng lực cần đạt: - Giải vấn đề - Năng lực quan sát - Năng lực vận dụng kiến thức vào sống Cách tiến hành: a.Chuyển giao nhiệm vụ-Hình thành khái niệm Câu hỏi:Em quan sát hình nêu hiểu biết em hình x2 x3 x4 x1 Hình Hình b.Thực nhiệm vụ: - HS quan sát hình vẽ, hình dung , tưởng tượng - HS làm việc cá nhân, trao đổi với bạn bên cạnh kết thực - GV gợi ý cần thiết c.Báo cáo thảo luận: - Kết HS - HS nhận xét chỗ d.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: Trả lời câu hỏi: Hình nói nghịch lí Zê- Nơng Nghịch lí nói câu chuyện: A-sin chạy đua rùa Một ngày nọ, thần A-sin chạy thi với rùa Do mệnh danh thần tốc độ nên A-sin nhường rùa đoạn, A-sin x1 , rùa x2 Cả hai xuất phát lúc, theo hướng nhiệm vụ thần A-sin phải đuổi kịp rùa Chỉ nháy mắt, khơng khó khăn, A-sin đến x2 Thế dù rùa chạy chậm vận tốc lớn đến x3 Tiếp tục, A-sin đuổi đến x3 rùa đến x4 , A-sin đuổi đến x4 rùa đến x5 ,… Cứ tiếp tục thế, điểm luôn tồn A-sin, vị thần tốc độ lại không đuổi kịp rùa Điều vô lý theo lẽ thường tình, hồn tồn khơng có mâu thuẫn lập luận trên, điều diễn ra? x2 x3 x4 x1 Hình Hình nói nghịch lí có tên nghịch lí đường trịn Nghịch lí này: Xét đường trịn đa giác nội tiếp đường tròn (Hình bên) Số cạnh đa giác tăng từ Bạn có nhận xét đa giác n cạnh số cạnh không ngừng tăng lên, tăng mãi đến vô tận? Rõ ràng, số cạnh khơng ngừng tăng lên đa giác ngày trở thành hình trịn mà nội tiếp Điều khơng q khó để tưởng tượng Khi ta nói giới hạn đa giác n tiến tới vơ tận đường trịn Hình Học sinh tự nghiên cứu nhà: Bằng hiểu biết mình, em tìm xem lập luận hay sai? Vì sao? * GV giới thiệu học: Các nội dung liên quan toán giới hạn mở đầu Giải tích.Nội dung chương xoay quanh hai khái niệm giới hạn liên tục, sở cho việc nghiên cứu nội dung khác giải tích(Đạo hàm, Tích phân,…).Đặc biệt cho phép giải toán khoa học thực tiễn, mà ta giải dùng kiến thức Đại số.Đó tốn liên quan tới vô hạn.Giới hạn dãy số nội dung mà nghiên cứu tiết học hôm II HOẠT ĐỘNG 2: NỘI DUNG BÀI HỌC (HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) Mục tiêu: Học sinh biết khái niệm giới hạn dãy số - Nắm vững khái niệm dãy số có giới hạn 0; giới hạn hữu hạn dãy số Phương thức: Hỏi đáp, gợi mở, giao tập Năng lực cần đạt: - Năng lực tự học - hợp tác - giao tiếp – vận dụng kiến thức vào sống 4.Cách tiến hành: 4.1.Nội dung 1:Dãy số có giới hạn 0:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: Em thử tưởng tượng tình sau: Có bánh Nếu chia cho hai người ăn người phần? Nếu chia cho lớp 40 người ăn người phần? Nếu chia cho trường 1500 học sinh HS phần? Nếu chia cho huyện triệu người ăn người phần? Nếu chia cho giới 7,5 tỉ người ăn người phần? Khi số người chia tăng lên lớn số bánh người nhận nào? n ? Ta hình thành dãy số  un  với un  - Em biểu diễn vài giá trị dãy số trục số? - Nhận xét xem khoảng cách từ un đến thay đổi n lớn ? - Bắt đầu từ số hạng un thứ khoảng cách từ un tới nhỏ 0,01 ? 0,001? a.2.Thực nhiệm vụ: - HS suy nghĩ trả lời câu hỏi GV a.3.Báo cáo thảo luận: - GV biểu diễn dãy (Un) trục số cho HS quan sát - HS trả lời chỗ - Kết HS n - GV: dãy số  un  với un  dãy số giảm, bị chặn số 0, n tăng dãy số dần a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính trả lời HS đưa kết xác - HS tiếp thu khái niệm b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: 1.Định nghĩa: a.Định nghĩa 1:Ta nói dãy số  un  có giới hạn n dần tới dương vơ cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở un 0 un  n   Khi ta viết: nlim   Quy ước thay cho lim un ta viết tắt lim un hiểu ngầm n   n   c.Cũng cố:(Nội dung ghi bảng - trình chiếu - bảng phụ) ta xét thỏa định nghĩa nên có giới hạn n n  1  với un  Kể từ số hạng thứ n0 trở ta có un  Hãy chọn số n0 100 n Ví dụ 1: Dãy số  un  với un  Ví dụ 2: Cho dãy số  un  nhỏ A n0 10 B n0 101 4.2.Nội dung 2:Dãy số có giới hạn hữu hạn:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với = C n0 100 D n0 11 3n  Chứng minh rằng, dãy số un vn  có giới hạn n a 2.Thực nhiệm vụ: - HS suy nghĩ trao đôi với bạn bên cạnh kết thực a 3.Báo cáo thảo luận: - Gọi HS lên bảng trình bày LG - Kết HS a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính trả lời HS đưa kết xác nhât Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với = 3n  Chứng minh rằng, dãy số un vn  có giới n hạn Giải: lim (v n  3)  lim ( 3n   3)  lim 0 Ta có : n  n   n   n n un 0 (đpcm) Vậy nlim   - GV: Trong ví dụ ta nói dãy số (vn) có giới hạn - GV: HD HS bấm máy tính: X 1 X + CALC 106 + CALC 109 +Nhập = = + Kết - HS: Khái quát hóa định nghĩa - HS tiếp thu khái niệm b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:(Nội dung ghi bảng) b.Định nghĩa 2:Ta nói dãy số   có giới hạn số L n   L lim L  L n   lim   L  0 Kí hiệu: nlim   c Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) Câu hỏi 1: Tìm giới hạn dãy số sau: a/ un  2n  n b/   5n  n c/ w n   3n  n Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai n  1 A lim   0  3      10 n  B lim  C lim   n 0 D lim n 1 1 n Bài tập tương tự: ( HS làm nhà )Tìm giới hạn sau: a/ un  n n b/   5n  n 1 c/ w n   3n  2n  c 2.Thực nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm - GV: Hỗ trợ HS + Các em bấm máy tính để dự đốn kết quả, sau sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết thực - Kết HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính trả lời HS đưa kết xác Lời giải- Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng) Đáp số-Câu hỏi 1: Tìm giới hạn dãy số sau: 1  2n     lim 0  lim un 2 n  n    5n     lim 0  lim  b/ lim   5 lim  n  n    3n     lim 0  lim wn  c/ lim  w n  3 lim  n  n  a/ lim  un   lim  Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai n  1 A lim   0  3      10 n  B lim  C lim  2 n 0 D lim n 1 1 n 4.3 Nội dung 3: Một vài giới hạn đặc biệt :(3 phút) a.Tiếp cận: - Từ kết câu hỏi 2, GV cho HS tiếp thu kiến thức b.Hình thành giới hạn đặc biệt :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) Một vài giới hạn đặc biệt : 0 với k nguyên dương; nk n c) lim q 0 q  ; a) lim b) lim n 0 lim 0 ; n d) Nếu un c (c số) lim un c 4.4 Nội dung 4:Định lí giới hạn hữu hạn :(7 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: - GV: Từ kết câu hỏi phiếu HT1, em tìm lim  un   so sánh với lim un  lim a 2.Thực nhiệm vụ: - HS thảo luận với bạn bên cạnh để tìm câu trả lời a 3.Báo cáo thảo luận: Ta có lim un 2 ; lim  ; lim(u n  v n ) lim wn  - Ghi nhận kết quả: lim  un   = lim un  lim GV: Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên người ta thường áp dụng công thức giới hạn đặc biệt nêu định lí sau a.4.Kết luận: - GV: Nhấn mạnh, dãy un ; phải có giới hạn hữu hạn.Phát biểu tương tự nội dung cịn lại định lí - HS tiếp thu khái niệm b.Hình thành định lí giới hạn hữu hạn :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu) II Định lí giới hạn hữu hạn : Định lí 1: a Nếu lim un a lim b + lim  un   a  b + lim  un   a  b + lim  un  a.b + lim un a   b 0  b b Nếu un 0 với n lim un a a 0 lim un  a c.Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng) Câu hỏi 3: Tìm giới hạn sau: 5n  n A lim  n2 B = lim  9n  2n Bài tập tương tự: ( HS làm nhà )Tìm giới hạn sau: C lim 4n  n  n2 D lim 2n  n  n3 E = lim  3n  2n F lim 2n   2n c 2.Thực nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm - GV: Hỗ trợ HS cần + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết thực - Kết HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính trả lời HS đưa kết xác Lời giải- Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) Đáp số-Câu hỏi 3: Giải : 1 1   1 n2    lim    lim5  lim 5 n n  n    n   A lim  lim 1    lim   1 lim  lim1  n   1 n n n  n   n2  n B lim 3 n  n  1  9 n 9 9  n n = - 3/2 lim lim  3  2 2 n  2 n  n  III LUYỆN TẬP:(7 phút) 1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng – bảng phụ - trình chiếu) Câu hỏi 4:Tìm lim 3n  ? 2n  A -2 Câu hỏi 5:Tìm lim A  B C D C D  3n  n  ? 2n  Câu hỏi 6:Tìm: lim B -3 2n  3n ?  5n A B C  n  5n Câu hỏi 7: Tìm lim ? 3.2n  4.5n 1 A B Câu hỏi 8: Tìm lim A  2 D C D n   2n ? 2n  B - C D Câu hỏi :Tính giới hạn sau:(Bài tập nhà) lim 2n  n 1 6n  2n  lim 2n  4n  lim 2n  n  4n  n3  n lim 2n  n  n 1 (2n n 1)( n  3) lim 10 lim  2n  (n 1)(n  2) 13 lim 6n  3n  3n  n  14 lim 2n  lim lim n 1 n 1 n 1 n 1 3n  n 1 11 lim 2n  3n  5.4n 15 lim n  2n lim lim 2n n  n2  n 1 (2n  1)2 (5n 1)3 (n 1) (3n  5) 12 lim n n 1 n2  n n  n 1 16 lim 4n  2.Thực nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm - GV: Hỗ trợ HS cần + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết 3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết thực - Kết HS 4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính trả lời HS đưa kết xác Lời giải- Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng) 4B; 5C;6C;7A;8A IV.VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG:(3 phút) 1.Vận dụng vào thực tế:(Bài tập HS nghiên cứu nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng) Bài toán: Để trang hồng cho hộ chuột Mickey tơ màu cho tường hình vng có cạnh 1m, tơ sau: tơ hình vng cạnh nhỏ m , tơ tiếp hình vng có cạnh cạnh hình vng vừa tơ tơ tiếp Hỏi diện tích mà chuột tô bao nhiêu? Lời giải: Gọi un hình vng tơ màu thứ n 1 ; ; un  n Tổng diện tích tơ đến hình vng thứ n là: 16 n 1 1 u1   q  u u Sn u1  u2   un     n    q n với u1  ; q  4 4 1 q 1 q 1 q Khi u1  ; u2  Vì quy trình tơ màu Mickey tiến vơ hạn nên phần diện tích tô là:   n  1  S lim S n lim       1 1 1    4   Mở rộng, tìm tịi:(Học sinh nghiên cứu tuần) a.Sử dụng kiến thức học, em giải thích nghịch lí nêu phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm ta đề cập đến giới hạn hữu hạn dãy số, dãy số gọi có giới hạn khơng hữu hạn(vơ hạn; vơ cực)? c.Trong định lí giới hạn hữu hạn, có hai dãy số un hay dần vơ cực (  ) ta làm nào?Chẳng hạn, tìm giới hạn sau: lim( n   n) lim( n  n 1  n) 2 lim(1  n  n  3n  1) lim n( n 1  2 lim(n n   n n  2) n2  ) lim( n  2n  n  n ) NỘI DUNG PHÁT CHO HỌC SINH: Phiếu HT1: Câu hỏi 1: Tìm giới hạn dãy số sau: a/ un  2n  n b/   5n  n c/ w n   3n  n  2n Câu hỏi 2: Gọi l lim Tìm l n2 A l 2 B l  C l 0 D l 1 Bài tập tương tự: ( HS làm nhà )Tìm giới hạn sau: a/ un  n n b/   5n  n 1 c/ w n  Phiếu HT2: Câu hỏi 3: Tìm giới hạn sau:  3n  2n  A lim 5n  n  n2  9n  2n B = lim Bài tập tương tự: ( HS làm nhà )Tìm giới hạn sau: 4n  n C lim  n2 2n  n D lim  n3 E = lim  3n  2n F lim 2n   2n Phiếu HT3: Câu hỏi 4:Tìm lim 3n  ? 2n  A -2 B Câu hỏi 5:Tìm lim A  C B -3 C B Câu hỏi 8: Tìm lim D 2n  3n ?  5n 2 C  n  5n Câu hỏi 7: Tìm lim ? 3.2n  4.5n 1 A B A  D  3n  n  ? 2n  Câu hỏi 6:Tìm: lim A D C D n   2n ? 2n  B - C D Câu hỏi :Tính giới hạn sau:(Bài tập nhà) lim 2n  n 1 6n  2n  lim 2n  4n  lim 2n  n  4n  n3  n lim 2n  n  n 1 (2n n 1)( n  3) lim 10 lim  2n  (n 1)(n  2) 13 lim 6n  3n  lim 3n  n  2n  lim n 1 n 15 lim  5.4 4n  2n 2n n  n2  n 1 (2n  1)2 (5n 1)3 lim (n 1) (3n  5) n 1 3n  n 1 11 lim 2n  14 lim n 1 n 1 lim 12 lim n n  n n n 16 lim 9n  n  4n  Bài tập HS nghiên cứu nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng: Bài toán: Để trang hồng cho hộ chuột Mickey tơ màu cho tường hình vng có cạnh 1m, tơ sau: tơ hình vng cạnh nhỏ m , tơ tiếp hình vng có cạnh cạnh hình vng vừa tơ tơ tiếp Hỏi diện tích mà chuột tô bao nhiêu? Học sinh nghiên cứu tuần: a.Sử dụng kiến thức học, em giải thích nghịch lí nêu phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm ta đề cập đến giới hạn hữu hạn dãy số, dãy số gọi có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)? c.Trong định lí giới hạn hữu hạn, có hai dãy số un hay dần vơ cực (  ) ta làm nào?Chẳng hạn, tìm giới hạn sau: lim( n   n) lim( n  n 1  n) 2 lim(1  n  n  3n  1) lim n( n 1  n2  ) 2 lim(n n   n n  2) lim( n  2n  n  n ) Ngày soạn: 10/2/2019 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Mục tiêu (chủ đề) Kiến thức: - Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số điểm, giới hạn bên, giới hạn hữu hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực hàm số - Học sinh hiểu định lí giới hạn hữu hạn, định lí giới hạn bên, vài giới hạn đặc biệt quy tắc giới hạn vô cực Kỹ năng: - Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số điểm, tính giới hạn hàm số vô cực - Học sinh phân biệt dạng vô định giới hạn hàm số Thái độ: - Tích cực, chủ động hợp tác hoạt động nhóm - Say mê hứng thú học tập tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn Đinh hướng phát triển lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hoạt động - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình - Năng lực giải vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trước tập thể, khả thuyết trình II Chuẩn bị giáo viên học sinh Giáo viên: - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với nhiệm vụ học - Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề Học sinh: - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận nhóm sau thảo luận thống - Mỗi cá nhân hiểu trình bày kết luận nhóm cách tự học nhờ bạn nhóm hướng dẫn - Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn bạn có nhu cầu học tập III Chuỗi hoạt động học GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (thời gian) Quan sát hình ảnh (máy chiếu) ... lí nêu phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm ta đề cập đến giới hạn hữu hạn dãy số, dãy số gọi có giới hạn khơng hữu hạn( vơ hạn; vơ cực)? c.Trong định lí giới hạn hữu hạn, có hai dãy số un hay dần... lí nêu phần giới thiệu b.Trong tiết học hôm ta đề cập đến giới hạn hữu hạn dãy số, dãy số gọi có giới hạn không hữu hạn( vô hạn; vô cực)? c.Trong định lí giới hạn hữu hạn, có hai dãy số un hay dần... HÀM SỐ I Mục tiêu (chủ đề) Kiến thức: - Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số điểm, giới hạn bên, giới hạn hữu hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực hàm số - Học sinh hiểu định lí giới hạn