ĐỀ TOÁN MỚI NHẤT 2014 Phần 2

ĐỀ TOÁN MỚI NHẤT 2014 P2

TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC  KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012­2013  Mơn: Tốn 12. Khối B - D  Đề chính thức  (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)  Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số  y = - x - x 2  + 4  (1  )  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1    )  2. Với những giá trị nào của  m  thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số (1  tiếp  )  2  xúc với đường tròn ( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1)  = 5  Câu II (2,5 điểm)  1.  Giải phương trình: ( 2cos 2  x + cos x - ) + sin x ( - 2cos x ) = 0  ì x + y 2  = 12  2.  Giải hệ phương trình:  í 2  ỵ x + xy + 12 y = 0  3  Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn:  L = lim  x đ ( x, y ẻ Ă ) x + - 5 - x  x - 1  Câu IV. (1,0 điểm)  Cho tứ diện  ABCD có  AD  vng góc với mặt phẳng ( ABC ) ,  AD = 3a; AB = 2a; AC = a,  0  ·  BAC = 60  Gọi  H , K lần  lượt  là  hình  chiếu  vng  góc  của  B  trên  AC  và  CD   Đường  thẳng  HK  cắt đường thẳng  AD  tại  E Chứng minh rằng  BE vng góc với  CD  và tính thể  tích  khối tứ diện  BCDE  theo a.  Câu V. (1,0 điểm)  x - - x + 4  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  y = x + - x + 2  PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu  VI.a.  (1,0  điểm)  Cho  tam  giác  ABC  có  B(-  ,  đường  thẳng  chứa  cạnh  AC  có  2;1)  phương  trình:  x + y + = 0 ,  đường  thẳng  chứa  trung  tuyến  AM  có  phương  trình:  x + y + = 0 . Tính diện tích của tam giác  ABC   Câu VII.a. (1,0 điểm)  Tính tổng: S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + + 2013  2012  C 2012  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu  VI.b.  (1,0  điểm)  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  trục  toạ  độ  Oxy ,  cho  điểm E ( -  0 )  và  1; đường tròn ( C ) : x + y 2  - x - y - 16 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm  E  cắt  đường trịn ( C )  theo dây cung  MN  có độ dài ngắn nhất.  Câu VIIb. (1,0 điểm)  ( 2 n  Cho khai triển Niutơn - x thoả mãn hệ thức:  )  *  = a0 + a1 x + a2 x + L + a n x n,n ẻ Ơ Tính hệ số  a  biết  n  9  14 1  + 3  =   C n 3  n  n C Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) gửi tới http://www.laisac.page.tl/  0  ĐÁP ÁN ­ THANG ĐIỂM  KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC ­ CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012­2013  Mơn: Tốn; Khối:B+ D  (Đáp án – thang điểm:  gồm 05 trang)  Câu  I  Đáp án  Điểm  (1,0 điểm)  y = - x - x 2  + 4  + Tập xác định:  D = ¡  + Sự biến thiên:  (2,0 điểm)  é x = -2  0,25  ­ Chiều biến thiên:  y ' = -3 x 2  - x, y ' = 0  Û ê ë x = 0  Hàm số đã cho nghịch  biến trên các khoảng ( -¥; -  )  ( 0;+¥ ) ,  đồng biến trên khoảng ( -  ) .  2;0 ­ Cực trị:  Hàm số đạt cực đại tại  x = 0; yCĐ  = y(0)  = 4  Hàm số đạt cực tiểu tại  x = -2; yCT = y( -2)  = 0  ­ Giới hạn:  lim y = +¥; 0,25  lim y = -Ơ x đ-Ơ xđ+Ơ ưBngbinthiờn: x y , ư2 -¥  -  +¥  +  -  +¥  0,25  y 0  -¥  + Đồ thị  0,25  (1,0 điểm)  Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu A ( -  ) ,cực đại B ( 0;4  Phương trình  2;0  )  đường thẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( AB ) : x y  + = 1  -2 4  Û ( AB ) : x - y + = 0  0,50  2  ( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1)  = 5  có tâm I ( m; m + 1  bán kính  R =  5  )  Đường thẳng ( AB ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) Û d ( I ; ( AB ) ) = R Û 2m - ( m + 1) + 4  2  é m = -8  = Û m + = 5 Û ê ë m = 2  0,50  2  + ( -  )  1  Đáp số : m = -  hay  m = 2  8  1  Câu II  (2,5điể  m)  1.( 1,25điểm)  ( 2cos 2  x + cos x - ) + sin x ( - 2cos x ) = 0  Pt: Û (1 - sin 2  x ) + cos x - + 3sin x - 2sin x cos x = 0  sin x ( ) - 2sin x + cos x ( 0,50 )  - 2sin x = 0  é - 2sin x = 0  sin x + cos x  = 0 Û ê ê sin x + cos x = 0  ë  p é p ê x = 3 + k 2  é 3  ê êsin x = p 2  Û ê x = 2  + k 2  ê p ( k Ỵ Z )  ê 3  1  ê ê tan x = - 3  ê ë êx = - p + kp ê 6  ë Phương trình có ba họ nghiệm  p 2  p p x = + k p; x = + k 2p; x = - + k p ( k Ỵ Z )  3 6  2.( 1,25 điểm)  ( - 2sin x )( )  0,25  0,25  0,25  ì x + y 2  = 12 ( *  ) ï Hệ phương trình í 2  )  ï x + xy + 12 y = (**  ỵ  Thế (*) vào (**) ta được: x + xy + ( x + y 2  ) y = 0  0,25 Û x3 + y + xy ( x + y ) = Û ( x + y ) ( x - xy + y 2  + xy ) = 0  Trường hợp 1:  x + y = Û x = -  y thế vào (*) ta được  2  12 y = 12 Û y 2  = Û y = ±1 Þ x = m  2  0,25  0,25  Trường hợp 2:  2  ì y = 0  y 15 y 2  ï ỉ x - xy + y = ỗ x- ÷ + = 0 Û í y  2ø 4  x - = ố ù ợ ị x = y = 0  không thoả mãn (*)  hệ vn  Đáp số: ( x; y ) = ( 2; -1) , ( -  )  2;1  Câu III  2  0,25  0,25  (1,0 điểm)  2  3  x + - - x2 x+7 -2 - 5 - x  = lim + lim  x®1 x ®1 x  1  ® x -1 x -1 x - 1  2  3  - 5 - x  x + - 2  = lim + lim  x ®1 2  æ 3  x + 2  + 3  x + + 4 ư x ®1 ( x - 1) + 5- x ( x - 1) ỗ ( ) ÷ è ø  x + 1 7  = lim + lim  = + = 2  x ®1 ỉ 3  x ®1  + 5 - x 2  12 12  ỗ ( x + ) + x + + 4 ÷ è ø  L = lim ( ( ( )  0,25 ) )  0,25 0,25 2  Câu IV  7  Vậy :  L =  12  (1,0 điểm)  Vì BH ^ AC; BH ^ AD Þ BH ^ ( ACD ) Þ BH ^ CD 0,25  0,25  mà BK ^ CD Þ CD ^ ( BHK )ị CD ^ BE 1 AB ì AC × sin 600 = 8a = 2 3  2  a 2 2  1  AH = AB cos 600  = 2a.  = a 2  Vì CD ^ ( BHK ) Þ CD ^ KE Þ DAEH :  DACD do đó  Từ gt ta có  S DABC  = Câu V  0,25  AE AH AH × AC 4a 4a 13  a  = Þ AE = = Þ DE = + 3  =  a  AC AD AD 3 3  1 13a 26 3 × a 3  VBCDE = VD ABC + VE  ABC = × DE × S DABC  = × × 3  2  =  a 3 9  (1,0 điểm)  y = 0,25  0,25  x - - x + 4  Tập xác định của hàm số là D = [ 0;1  ]  x + - x + 2  ì x = cos t  ỉ ộ p ự ù t ỗ tẻ ờ0 ú ÷ ï - x = sin t è ë 2 û ø ỵ  2cos t - sin t + 4  é pù Khi đó y = = f ( t )  với  t Î ê 0;  ú cos t + sin t + 2  ë 2 û  0,25  0,25  2cos t - sin t + 4  é pù với  t Ỵ ê 0;  ú cos t + sin t + 2  ë 2 û -3 - 6cos t  é pù f ' ( t ) = < 0"t Ỵ ê0;  ú vậy hàm số f ( t )  liên tục và  2  ë 2 û  ( sin t + cos t + 2 )  xét hàm số f ( t ) = é pù nghịch biến trên đoạn  ê 0;  ú ë û  ỉpư ộ pự ộ pự doú f ỗ ữ Ê f ( t ) £ f ( ) "t Ỵ ê 0; ú Û £ f ( t ) £ 2"t Ỵ ê 0;  ú è2ø ë 2û ë 2 û  giá trị lớn nhất của y = max f ( t ) = f ( ) = Û t = Û x = 0  0,25  0,25  p ỉ pư giá trị  nhỏ nhất của y = f ( t )= f ỗ ữ = t = Û x = 1  2  è ø  câu VIA  (1,0 điểm)  ỉ a - 2  , - a ÷ Do  C Ỵ dt :  x + y + = Þ C ( a, -2a - 1) Þ M ç è 2  ø  M Ỵ dt :  x + y + = Þ a = Þ C (0, -    1)  Toạ độ  A  là nghiệm hệ  0,50  uuur  ì3 x + y + = 0  Þ A(1, -3) Þ AC (-1, 2) Þ AC  = 5  í ỵ x + y + = 0  Kẻ  BH ^ AC ( H Ỵ AC )  3  0,50  BH = d ( B, AC ) = -4 + + 1  = 1  Þ S ABC  = AC BH = 1  (dvdt).  2  5  Vậy  S ABC  = 1 (dvdt).  Câu 7A  (1,0điểm )  S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + + 2013  2012  C 2012  Ta có k k k ( k + 1) C2012 = kC2012 + C2012 = k 2012!  k + C2012 = 2012  2011 + C k  C k -1  2012  k !( 2012 - k )  !  0,25 với  "k = 0,1, 2, , 2012  2011 2012  S = 2012 ( C2011 + C 2011 + L + C2011 ) + ( C2012 + C2012 + L + C2012  )  S = 2012 (1 + 1) Câu VI B  2011 2012  + (1 + 1)  2012  = 2012 × 22011 + 2012 = 1007 × 2  2012  Vậy  S = 1007 × 2  (1,0 điểm)  Đường trịn  (C )  có bán kính  R = 6  và tâm  I (4; 2)  Khi đó:  IE = 29 < =  R ,  suy ra  điểm  E  nằm trong hình trịn  (C ) .  0,25 0,25  0,25  0,50  Câu 7B  Giả sử đường thẳng D  đi qua  E  cắt  (C )  tại  M  và  N   Kẻ  IH ^ D   Ta có  IH = d ( I , D) £ IE   Như vậy để  MN  ngắn nhất  Û  IH dài nhất  Û H º E Û D  đi qua  E  và vng góc với  IE  uur  Ta  có  EI = (5; 2)  nên đường  thẳng D  đi  qua  E  và  vng  góc  với  IE  có phương trình là:  5( x + 1) + y = Û x + y + = 0 .  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:  x + y + = 0 .  (1,0 điểm )  ( … - x 2 n  )  0,25  0,25  *  = a0 + a1 x + a2 x + L + a n x n,n ẻ Ơ Tớnhhs a bit n  thoả mãn hệ thức:  9  14 1  + 3  =    C n 3  n  n C Điều kiện  n Ỵ ¥* , n ³ 3  4  GT  Û 14 28 1  + = Û + = n! n  !  n n ( n - 1) n ( n - 1)( n - 2  n  )  3  2!( n - )! 3!( n - 3)!  ìn ³ 3  Û í 2  Û n = 9  n ỵ  - n - 18 = 0  ( Từ đó - x 18  ) 18  0,25  k  k  = å  18  ( -1)  3 2  x k  Ck k = 0  9  18  Do đó hệ số của  a9 = -81C 0,50  0,25  = -  3938220 3  Lưu ý khi chấm bài:  ­Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.  Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó.  ­Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.  ­Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó  khơng được điểm.  ­Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.  ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­ Cảm ơn bạn Hồng Thân ( hoangthan79@gmail.com) gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT THANH HỐ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Câu I ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn: Tốn - Khối A, A1,B Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012 ý Đáp án Điểm Khảo biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 1,0 Tập xác định D = R\1 Sự biến thiên: 0.25 3 -Chiều biến thiên: y '   0, x  D ( x  1) Hàm số nghịch biến khoảng (- ; 1) ( ; + ) - Cực trị: Hàm số khơng có cực trị - Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tiệm cận: 2x  2x  lim  ; lim  0,25 x  x  x  x  Đường thẳng y = tiệm cận ngang 2x 1 2x 1   ; lim   lim   x 1 x  x 1 x  Đường thẳng x = tiệm cận đứng -Bảng biến thiên: x + - y’ - 0,25 + y - Đồ thị: - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2) y 0,25 O I x Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm ngun (1) ( y  2) x  y    2  x  x  y  y   m  (2) 1,0 Nhận thấy x = không thỏa mãn phương trình (1) dù y lấy giá trị 2x 1 Suy (1)  ( x  1) y  x   y  x 1 2 Phương trình (2)  ( x  1)  ( y  2)  m2 phương trình đường trịn (T) có tâm I(1;2) bán kính m với m khác Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nguyên đồ thị (C) câu đường tròn (T) cắt điểm phân biệt có tọa độ nguyên y 0,25 A B I D -15 -10 -5 o -2 -1 x 10 15 C 0,5 -2 -4 -6 -8 -10 -12 Đồ thị (C) qua điểm có tọa độ nguyên A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và D(-2; 1) Từng cặp AvaC, B D đối xứng qua I(1;2) Hệ cho có nghiệm nguyên đường tròn (T) phải qua điểm A, B, C, D (T) qua A R2  m2  10  m  10 II  Giải phương trình: 2cos3x cos x + 3(1  sin 2x) = cos (2 x  ) 0,25 1,0  cos x cos x + 3(1  s in 2x) = cos (2 x  )     cos x cos x   sin x  1  cos(4 x  )    0,5  cos x cos x   sin x   sin x  cos x cos x  3(sin x  sin x)   cos x cos x  sin x cos x   cos x(cos x  sin x)    cos x   x   k cos x    (k  Z )   tan 3x   x     k  cos 3x  sin 3x     18  Vậy nghiệm phương trình x    k ; x    18 k  (k  Z ) 0,5 1,0 Giải phương trình: x-2 + 4-x = 2x2 − 5x − (1) III (1)  x  1   x   x2  5x  x 3 3 x 1   ( x  3)(2 x  1)  ( x  3)(   x  1)  x  1 x  1  x 1  x 1 x    1    x  (2) 0,5  x  1  x 1  * x 3   x  *Xét phương trình (2) ĐK  x  VP  VT đạt giá trị lớn đoạn [2;4]  x = nên phương trình (2) 1 0,25 vơ nghiệm 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = 1.0 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: x(2  x)  m( x2  x   1)  Đặt t  x  x  Lập BBT hàm y  x  x  với x thc 0;1   ta có t 0,25   thuộc đoạn 1;2 t2  Bpt trở thành m(t  1)  t   m  (do t+1>0) (1) t 1 0,25   Bpt cho nghiệm với x thuôc 0;1   Bpt (1) nghiệm với moi t thuộc đoạn 1;2 Xét f (t )  t2  t 1 f '(t )   t f’(t) f(t) , t  1; 2  0, t (t  1)2 0,25 + 1 Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm với moi t thuộc đoạn 1;2 m  0,25 1 thoả mãn yêu cầu tốn Trên mp (P) cho đường trịn (T) đường kính AB 2R S điểm nằm 1.0 đường thẳng vng góc với (P) A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB cắt SB K C điểm nằm đường tròn (T) cho   BAC   , (0    ) SC cắt mp (Q) H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R  Vậy với m  IV 1 S H K C A  O B Chứng minh AH  SC Ta có: BC  AC    BC  ( SAC )  BC  AH (1) BC  SA  Lại có: mp(Q)  SB  SB  AH (2) Từ (1) (2) suy AH  ( SBC )  AH  SC Suy SA2  SH SC  SK SB VSAHK SA.SH SK SH SK SH SC SK SB SA4     VSABC SA.SC.SB SC SB SC SB SC SB R h sin 2 1 VSABC  dt ABC.SH  AB sin  cos SA  2 2 SC  h  R cos  , SB  h  R VSAHK  V 0,25 0,25 0,25 R h5 sin 2 3(h2  R )(h2  R 2cos 2 ) x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    x  y y  z z  x2 x2 y2 z2 xy yz zx )  (y  )  (z  ) P    (x  x  y y  z z  x2 x  y2 y  z2 z  x2  P  x y z ( xy yz zx )   x  y y  z z  x2 0,25 1,0 Ta có xy xy y x   x  y  2y x  x y 2y x 0,25 z y zx yz yz zx x z     ; 2 yz zx 2z y 2x z  P  ( x  y  z)  ( y x z y x z   ) 2 Mặt khác x  xy  y y  yz  z z  xz  x ;z y  z ;x z  x    2 2 2 x  y  z  xy  yz  xz  P x y z  P  ( x  y  z )  ( xy  yz  zx)   ( xy  yz  zx) 4 4 0,25 ( x  y  z )  x  y  z  2( xy  yz  zx)  3( xy  yz  zx)  xy  yz  zx   P    4 Dấu = xảy  x  y ; y  z ; z  x2 x    x  1; y  1; z    y 1  x yx  z   x  y  z   0,25 y xy Vậy GTNN P 3/2 x = y = z =1 VIa 1.0 A I B H M C Toạ độ điểm A nghiệm hệ  x  y  13   x  3   A(3; 8)  13x  y    y  8  Ta có IM qua I(-5; 1) song song với AH Phương trình IM x  y   x  y   x    M (3;5) Toạ độ điểm M nghiệm hệ  13x  y    y  Đường thẳng BC qua M vng góc với AH Phương trình BC x  y  11  Gọi B(b;11-2b) Ta có IB = IA b   (b  5)  (10  2b)  85  b  6b     b  Với b = suy B(2;7), C(4;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 Với b = suy B(4;3), C(2,7) Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) A( -3; -8), B(4;3), C(2;7) 1,0 I A H Đường tròn (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5 Do IM