ĐỀ TOÁN MỚI NHẤT 2014 P2
TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20122013 Mơn: Tốn 12. Khối B - D Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm) Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số y = - x - x 2 + 4 (1 ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ) 2. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số (1 tiếp ) 2 xúc với đường tròn ( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5 Câu II (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( 2cos 2 x + cos x - ) + sin x ( - 2cos x ) = 0 ì x + y 2 = 12 2. Giải hệ phương trình: í 2 ỵ x + xy + 12 y = 0 3 Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn: L = lim x đ ( x, y ẻ Ă ) x + - 5 - x x - 1 Câu IV. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , AD = 3a; AB = 2a; AC = a, 0 · BAC = 60 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của B trên AC và CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E Chứng minh rằng BE vng góc với CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a. Câu V. (1,0 điểm) x - - x + 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + - x + 2 PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có B(- , đường thẳng chứa cạnh AC có 2;1) phương trình: x + y + = 0 , đường thẳng chứa trung tuyến AM có phương trình: x + y + = 0 . Tính diện tích của tam giác ABC Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính tổng: S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + + 2013 2012 C 2012 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm E ( - 0 ) và 1; đường tròn ( C ) : x + y 2 - x - y - 16 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt đường trịn ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Câu VIIb. (1,0 điểm) ( 2 n Cho khai triển Niutơn - x thoả mãn hệ thức: ) * = a0 + a1 x + a2 x + L + a n x n,n ẻ Ơ Tính hệ số a biết n 9 14 1 + 3 = C n 3 n n C Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) gửi tới http://www.laisac.page.tl/ 0 ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM HỌC 20122013 Mơn: Tốn; Khối:B+ D (Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang) Câu I Đáp án Điểm (1,0 điểm) y = - x - x 2 + 4 + Tập xác định: D = ¡ + Sự biến thiên: (2,0 điểm) é x = -2 0,25 Chiều biến thiên: y ' = -3 x 2 - x, y ' = 0 Û ê ë x = 0 Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( -¥; - ) ( 0;+¥ ) , đồng biến trên khoảng ( - ) . 2;0 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2; yCT = y( -2) = 0 Giới hạn: lim y = +¥; 0,25 lim y = -Ơ x đ-Ơ xđ+Ơ ưBngbinthiờn: x y , ư2 -¥ - +¥ + - +¥ 0,25 y 0 -¥ + Đồ thị 0,25 (1,0 điểm) Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu A ( - ) ,cực đại B ( 0;4 Phương trình 2;0 ) đường thẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( AB ) : x y + = 1 -2 4 Û ( AB ) : x - y + = 0 0,50 2 ( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5 có tâm I ( m; m + 1 bán kính R = 5 ) Đường thẳng ( AB ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) Û d ( I ; ( AB ) ) = R Û 2m - ( m + 1) + 4 2 é m = -8 = Û m + = 5 Û ê ë m = 2 0,50 2 + ( - ) 1 Đáp số : m = - hay m = 2 8 1 Câu II (2,5điể m) 1.( 1,25điểm) ( 2cos 2 x + cos x - ) + sin x ( - 2cos x ) = 0 Pt: Û (1 - sin 2 x ) + cos x - + 3sin x - 2sin x cos x = 0 sin x ( ) - 2sin x + cos x ( 0,50 ) - 2sin x = 0 é - 2sin x = 0 sin x + cos x = 0 Û ê ê sin x + cos x = 0 ë p é p ê x = 3 + k 2 é 3 ê êsin x = p 2 Û ê x = 2 + k 2 ê p ( k Ỵ Z ) ê 3 1 ê ê tan x = - 3 ê ë êx = - p + kp ê 6 ë Phương trình có ba họ nghiệm p 2 p p x = + k p; x = + k 2p; x = - + k p ( k Ỵ Z ) 3 6 2.( 1,25 điểm) ( - 2sin x )( ) 0,25 0,25 0,25 ì x + y 2 = 12 ( * ) ï Hệ phương trình í 2 ) ï x + xy + 12 y = (** ỵ Thế (*) vào (**) ta được: x + xy + ( x + y 2 ) y = 0 0,25 Û x3 + y + xy ( x + y ) = Û ( x + y ) ( x - xy + y 2 + xy ) = 0 Trường hợp 1: x + y = Û x = - y thế vào (*) ta được 2 12 y = 12 Û y 2 = Û y = ±1 Þ x = m 2 0,25 0,25 Trường hợp 2: 2 ì y = 0 y 15 y 2 ï ỉ x - xy + y = ỗ x- ÷ + = 0 Û í y 2ø 4 x - = ố ù ợ ị x = y = 0 không thoả mãn (*) hệ vn Đáp số: ( x; y ) = ( 2; -1) , ( - ) 2;1 Câu III 2 0,25 0,25 (1,0 điểm) 2 3 x + - - x2 x+7 -2 - 5 - x = lim + lim x®1 x ®1 x 1 ® x -1 x -1 x - 1 2 3 - 5 - x x + - 2 = lim + lim x ®1 2 æ 3 x + 2 + 3 x + + 4 ư x ®1 ( x - 1) + 5- x ( x - 1) ỗ ( ) ÷ è ø x + 1 7 = lim + lim = + = 2 x ®1 ỉ 3 x ®1 + 5 - x 2 12 12 ỗ ( x + ) + x + + 4 ÷ è ø L = lim ( ( ( ) 0,25 ) ) 0,25 0,25 2 Câu IV 7 Vậy : L = 12 (1,0 điểm) Vì BH ^ AC; BH ^ AD Þ BH ^ ( ACD ) Þ BH ^ CD 0,25 0,25 mà BK ^ CD Þ CD ^ ( BHK )ị CD ^ BE 1 AB ì AC × sin 600 = 8a = 2 3 2 a 2 2 1 AH = AB cos 600 = 2a. = a 2 Vì CD ^ ( BHK ) Þ CD ^ KE Þ DAEH : DACD do đó Từ gt ta có S DABC = Câu V 0,25 AE AH AH × AC 4a 4a 13 a = Þ AE = = Þ DE = + 3 = a AC AD AD 3 3 1 13a 26 3 × a 3 VBCDE = VD ABC + VE ABC = × DE × S DABC = × × 3 2 = a 3 9 (1,0 điểm) y = 0,25 0,25 x - - x + 4 Tập xác định của hàm số là D = [ 0;1 ] x + - x + 2 ì x = cos t ỉ ộ p ự ù t ỗ tẻ ờ0 ú ÷ ï - x = sin t è ë 2 û ø ỵ 2cos t - sin t + 4 é pù Khi đó y = = f ( t ) với t Î ê 0; ú cos t + sin t + 2 ë 2 û 0,25 0,25 2cos t - sin t + 4 é pù với t Ỵ ê 0; ú cos t + sin t + 2 ë 2 û -3 - 6cos t é pù f ' ( t ) = < 0"t Ỵ ê0; ú vậy hàm số f ( t ) liên tục và 2 ë 2 û ( sin t + cos t + 2 ) xét hàm số f ( t ) = é pù nghịch biến trên đoạn ê 0; ú ë û ỉpư ộ pự ộ pự doú f ỗ ữ Ê f ( t ) £ f ( ) "t Ỵ ê 0; ú Û £ f ( t ) £ 2"t Ỵ ê 0; ú è2ø ë 2û ë 2 û giá trị lớn nhất của y = max f ( t ) = f ( ) = Û t = Û x = 0 0,25 0,25 p ỉ pư giá trị nhỏ nhất của y = f ( t )= f ỗ ữ = t = Û x = 1 2 è ø câu VIA (1,0 điểm) ỉ a - 2 , - a ÷ Do C Ỵ dt : x + y + = Þ C ( a, -2a - 1) Þ M ç è 2 ø M Ỵ dt : x + y + = Þ a = Þ C (0, - 1) Toạ độ A là nghiệm hệ 0,50 uuur ì3 x + y + = 0 Þ A(1, -3) Þ AC (-1, 2) Þ AC = 5 í ỵ x + y + = 0 Kẻ BH ^ AC ( H Ỵ AC ) 3 0,50 BH = d ( B, AC ) = -4 + + 1 = 1 Þ S ABC = AC BH = 1 (dvdt). 2 5 Vậy S ABC = 1 (dvdt). Câu 7A (1,0điểm ) S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + + 2013 2012 C 2012 Ta có k k k ( k + 1) C2012 = kC2012 + C2012 = k 2012! k + C2012 = 2012 2011 + C k C k -1 2012 k !( 2012 - k ) ! 0,25 với "k = 0,1, 2, , 2012 2011 2012 S = 2012 ( C2011 + C 2011 + L + C2011 ) + ( C2012 + C2012 + L + C2012 ) S = 2012 (1 + 1) Câu VI B 2011 2012 + (1 + 1) 2012 = 2012 × 22011 + 2012 = 1007 × 2 2012 Vậy S = 1007 × 2 (1,0 điểm) Đường trịn (C ) có bán kính R = 6 và tâm I (4; 2) Khi đó: IE = 29 < = R , suy ra điểm E nằm trong hình trịn (C ) . 0,25 0,25 0,25 0,50 Câu 7B Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C ) tại M và N Kẻ IH ^ D Ta có IH = d ( I , D) £ IE Như vậy để MN ngắn nhất Û IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vng góc với IE uur Ta có EI = (5; 2) nên đường thẳng D đi qua E và vng góc với IE có phương trình là: 5( x + 1) + y = Û x + y + = 0 . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: x + y + = 0 . (1,0 điểm ) ( … - x 2 n ) 0,25 0,25 * = a0 + a1 x + a2 x + L + a n x n,n ẻ Ơ Tớnhhs a bit n thoả mãn hệ thức: 9 14 1 + 3 = C n 3 n n C Điều kiện n Ỵ ¥* , n ³ 3 4 GT Û 14 28 1 + = Û + = n! n ! n n ( n - 1) n ( n - 1)( n - 2 n ) 3 2!( n - )! 3!( n - 3)! ìn ³ 3 Û í 2 Û n = 9 n ỵ - n - 18 = 0 ( Từ đó - x 18 ) 18 0,25 k k = å 18 ( -1) 3 2 x k Ck k = 0 9 18 Do đó hệ số của a9 = -81C 0,50 0,25 = - 3938220 3 Lưu ý khi chấm bài: Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó khơng được điểm. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. Hết Cảm ơn bạn Hồng Thân ( hoangthan79@gmail.com) gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT THANH HỐ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Câu I ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn: Tốn - Khối A, A1,B Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012 ý Đáp án Điểm Khảo biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 1,0 Tập xác định D = R\1 Sự biến thiên: 0.25 3 -Chiều biến thiên: y ' 0, x D ( x 1) Hàm số nghịch biến khoảng (- ; 1) ( ; + ) - Cực trị: Hàm số khơng có cực trị - Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tiệm cận: 2x 2x lim ; lim 0,25 x x x x Đường thẳng y = tiệm cận ngang 2x 1 2x 1 ; lim lim x 1 x x 1 x Đường thẳng x = tiệm cận đứng -Bảng biến thiên: x + - y’ - 0,25 + y - Đồ thị: - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2) y 0,25 O I x Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm ngun (1) ( y 2) x y 2 x x y y m (2) 1,0 Nhận thấy x = không thỏa mãn phương trình (1) dù y lấy giá trị 2x 1 Suy (1) ( x 1) y x y x 1 2 Phương trình (2) ( x 1) ( y 2) m2 phương trình đường trịn (T) có tâm I(1;2) bán kính m với m khác Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nguyên đồ thị (C) câu đường tròn (T) cắt điểm phân biệt có tọa độ nguyên y 0,25 A B I D -15 -10 -5 o -2 -1 x 10 15 C 0,5 -2 -4 -6 -8 -10 -12 Đồ thị (C) qua điểm có tọa độ nguyên A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và D(-2; 1) Từng cặp AvaC, B D đối xứng qua I(1;2) Hệ cho có nghiệm nguyên đường tròn (T) phải qua điểm A, B, C, D (T) qua A R2 m2 10 m 10 II Giải phương trình: 2cos3x cos x + 3(1 sin 2x) = cos (2 x ) 0,25 1,0 cos x cos x + 3(1 s in 2x) = cos (2 x ) cos x cos x sin x 1 cos(4 x ) 0,5 cos x cos x sin x sin x cos x cos x 3(sin x sin x) cos x cos x sin x cos x cos x(cos x sin x) cos x x k cos x (k Z ) tan 3x x k cos 3x sin 3x 18 Vậy nghiệm phương trình x k ; x 18 k (k Z ) 0,5 1,0 Giải phương trình: x-2 + 4-x = 2x2 − 5x − (1) III (1) x 1 x x2 5x x 3 3 x 1 ( x 3)(2 x 1) ( x 3)( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x (2) 0,5 x 1 x 1 * x 3 x *Xét phương trình (2) ĐK x VP VT đạt giá trị lớn đoạn [2;4] x = nên phương trình (2) 1 0,25 vơ nghiệm 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = 1.0 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: x(2 x) m( x2 x 1) Đặt t x x Lập BBT hàm y x x với x thc 0;1 ta có t 0,25 thuộc đoạn 1;2 t2 Bpt trở thành m(t 1) t m (do t+1>0) (1) t 1 0,25 Bpt cho nghiệm với x thuôc 0;1 Bpt (1) nghiệm với moi t thuộc đoạn 1;2 Xét f (t ) t2 t 1 f '(t ) t f’(t) f(t) , t 1; 2 0, t (t 1)2 0,25 + 1 Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm với moi t thuộc đoạn 1;2 m 0,25 1 thoả mãn yêu cầu tốn Trên mp (P) cho đường trịn (T) đường kính AB 2R S điểm nằm 1.0 đường thẳng vng góc với (P) A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với SB cắt SB K C điểm nằm đường tròn (T) cho BAC , (0 ) SC cắt mp (Q) H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R Vậy với m IV 1 S H K C A O B Chứng minh AH SC Ta có: BC AC BC ( SAC ) BC AH (1) BC SA Lại có: mp(Q) SB SB AH (2) Từ (1) (2) suy AH ( SBC ) AH SC Suy SA2 SH SC SK SB VSAHK SA.SH SK SH SK SH SC SK SB SA4 VSABC SA.SC.SB SC SB SC SB SC SB R h sin 2 1 VSABC dt ABC.SH AB sin cos SA 2 2 SC h R cos , SB h R VSAHK V 0,25 0,25 0,25 R h5 sin 2 3(h2 R )(h2 R 2cos 2 ) x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y y z z x2 x2 y2 z2 xy yz zx ) (y ) (z ) P (x x y y z z x2 x y2 y z2 z x2 P x y z ( xy yz zx ) x y y z z x2 0,25 1,0 Ta có xy xy y x x y 2y x x y 2y x 0,25 z y zx yz yz zx x z ; 2 yz zx 2z y 2x z P ( x y z) ( y x z y x z ) 2 Mặt khác x xy y y yz z z xz x ;z y z ;x z x 2 2 2 x y z xy yz xz P x y z P ( x y z ) ( xy yz zx) ( xy yz zx) 4 4 0,25 ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) 3( xy yz zx) xy yz zx P 4 Dấu = xảy x y ; y z ; z x2 x x 1; y 1; z y 1 x yx z x y z 0,25 y xy Vậy GTNN P 3/2 x = y = z =1 VIa 1.0 A I B H M C Toạ độ điểm A nghiệm hệ x y 13 x 3 A(3; 8) 13x y y 8 Ta có IM qua I(-5; 1) song song với AH Phương trình IM x y x y x M (3;5) Toạ độ điểm M nghiệm hệ 13x y y Đường thẳng BC qua M vng góc với AH Phương trình BC x y 11 Gọi B(b;11-2b) Ta có IB = IA b (b 5) (10 2b) 85 b 6b b Với b = suy B(2;7), C(4;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 Với b = suy B(4;3), C(2,7) Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) A( -3; -8), B(4;3), C(2;7) 1,0 I A H Đường tròn (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5 Do IM