CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook tailieutoan9999@gmail com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 21 a a k Phương pháp “ Biến đổi PT có 1 vế là tích của ha[.]
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a a 1 k Phương pháp: “ Biến đổi PT có vế tích hai số nguyên liên tiếp, vế lại số phương ” Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x x y 0 HD: x 0 x x 1 y => x 0 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy x y HD: x y x y xy xy xy 1 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 1 HD: x x y y y 1 x x 1 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y x y HD: x y xy 0 x y xy xy xy 1 xy 0 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên cho: x 10 y z (*) HD: 10 7 thay vào (*) ta : y y 2 z 3 z 7 3 Từ(*) ta thấy : x Bài 2: Tìm x, y, z, t N * thỏa mãn: 31 xyzt xy xt zt 1 40 yzt y t (*) HD: Từ (*) xyzt xy xt zt 40 zt 40 x yzt y t 31 yzt y t 31 (1) 40 yzt y t 31 t 31 1 , Thay x 1 vào (1) ta suy : y zt zt 31 Từ (1) x 31 zt 9 3 thay y 3 vào (2) ta : z t t 9 Từ (3) z 2, t 4 Từ (2) y Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! (2) (3) Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp giải: Cơ sở phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn, vế cịn lại tổng bình phương số nguyên ( Số số hạng hai vế ) Ta giải phương trình tương ứng sau A2 m A2 n A2 p 2 2 2 B n ; B m ; B m C p C p C n Bài 1: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x xy y 169(1) HD: 2 2 (2 x y ) x 12 (1) (1) x xy y x 144 25 169 2 2 (2 x y ) x 13 (2) 2 (2 x y ) 122 x 5 x 5 ; x 5 y 2 y 22 Giải (1) 2 x 12 x 12 (2 x y ) 5 ; x 122 y 19 y 29 (2 x y ) 132 x 0 x 0 y 13 Giải (2) 2 x 13 (2 x y ) 0 x 132 y 26 ( x, y) (5; 2), (5; 22), ( 5, 2);( 5, 22), (12; 19), (12; 29), ( 12;19), ( 12; 29), (0;13), (0; 13),(13; 26), ( 13; 26) Bài 2: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x y x y 8(1) HD: (2 x 1) 32 x 2; x 2 (2 y 1) 5 y 3; y 2 2 2 (1) x x y y 32 (2 x 1) (2 y 1) 5 2 x 3; x (2 x 1) 5 (2 y 1) 32 y 2; y Vậy ( x, y ) (2,3), (2; 2), ( 1;3), ( 1; 2), (3, 2), (3; 1), ( 2, 2), ( 2; 1) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1) HD: (1) x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) Vậy y 5 25 y số phương Với y = y = 25 – y2 khơng số phương (loại) x 8 x 17 x x 1 Với y = ta có: (x 9) 4.16 x 12 6 x 18 x 12 x 6 Với y = ta có: (x 12) 36 Với y = ta có: (x – 15)2 = x = 15 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5) Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y y xy 0 HD: x y y xy 0 ( x y ) ( y 1) 4 2 02 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 64 HD: x y x y 64 t (t y ) 64(t x3 ) Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x 1)( x y ) 4 x y HD: ( x 1)( x y ) 4 x y x x y x y 4 x y ( x y ) x ( y 1) 0 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy y x 0 HD: x y xy y x 0 ( x xy y ) x y x 0 ( x y )2 2( x y ) x x 0 ( x y 1) ( x 2) 0 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y z xy xz yz y 10 z 34 0 HD: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com (2 x) x( y z ) ( y yz z ) ( y y ) ( z 10 z ) 34 0 (2 x z y )2 ( y y 9) ( z 10 z 25) 0 (2 x y z )2 ( y 3) ( z 5) 0 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy y 0 HD: 2x y 2 y 1 9 0 32 Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y 169 HD: x 2y y 169 Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y y xy 0 HD: x 2y 2 y 1 4 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x 13 y xy 100 HD: x 3y y 100 x Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 4 y HD: 2 x y 4 x y 2 => x y 1 x 0 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 0 HD: x x 1 y y 1 0 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: m n2 9m 13n 20 HD: 2 Nhân 4m 36m 81 4n 52n 169 170 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 13 y 100 HD: ( x y ) 4(25 y ) , mà y 25, y số phương nên =>y Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y 16 0 HD : Ta có phương trình trở thành : x xy y 16 0 => x xy y y 16 x y y 16 , Vì x,y số nguyên nên x y Z Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com => x y y 16 0 16 16 Bài 16: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: x y2 z xy 3y z HD: Vì x, y,z số nguyên nên: y y x y z xy 3y 2z x 2 2 2 2 1 z 1 0 Bài 17: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10 x 20 y 24 xy x 24 y 51 HD: 2 Biến đổi: 3x y x y 3x y 0, x 0, y 0 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x y x y 18 HD : Bài 19: CMR: phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x5 29 x 30 y 10 HD : 2 Bài 20: Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn: y x 1 1567 x HD: Bài 21: Tìm số nguyên x, y biết: x xy 3x y 0 HD: Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : x y xy x 32 y 46 0 HD: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy y 0 HD : Ta có : x yx y y 0 2 Có ' y y y y y , Để phương trình có nghiệm : 1 3 ' 0 y y y 1 2 2 2 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y x y y 0 HD : 2 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x y xy x y 0 Có ' 1 y , để phương trình có nghiệm ' 0 y y 0 x 1, x HD : Xét : y x y 0 x x 0 x Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x y x y 0 HD : 3x x y y 4 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 5 x y 0 HD : Theo vi- ét ta có : x1 x2 y x1 x2 2 1.2 1 x1.x2 5 y Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3xy x y 0 HD : Chuyển phương trình thành bậc hai với x x y 1 x y y 3 0 , có : y y 11 , Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm ngun số phương 2 => y y 11 k k Z y 5, y Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy x y HD : Đưa phương trình dạng : x y 1 x y y 0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm : 2 0 y y y 1 4 y 1 1 Từ ta có : y 0,1, Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3xy x y 0 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD : 2 Đưa phương trình dạng : x y 1 x y y 3 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 Làm giống Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y x y x y HD : 2 Đưa phương trình dạng : y y x 3x y x 3x 0 TH1 : y=0 => 2 TH2 : y 0 y x 3x y x 3x 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 x 1 x x 8 phải số phương => x x 8 a a N x a x a 16 => Tìm x Đáp án : (x ; y)= ( ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m số nguyên 2 Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3 x xy y HD : 2 Đưa phương trình dạng : 3x y x y y 0 Để phương trình có nghiệm phải số phương 2 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 12 x xy y 28 x y HD : Cách : Đánh giá miền cực trị x : x x y 2 142 14 196 28 x y 3 x y 3 2 => x 7 x 0;1; 4 Cách : Tính Bài 12: Giải phương trình nghiệm ngun : x xy y 2 x y HD : 2 Đưa phương trình dạng : x y x y y 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy y x y HD : 2 Đưa phương trình dạng : x y 1 x y y 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy y 3 y HD : Đưa phương trình dạng : x yx y y 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy y y HD : Đưa phương trình dạng : x yx y y 0 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Điều kiện để phương trình có nghiệm 0 2 Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3 x xy y HD : 2 Coi PT cho PT bậc hai x: 3x 3y 7 x 3y 7y 0 (1) Để (1) có nghiệm ngun biệt thức phải số phương Bài 17: Tìm nghiệm ngun phương trình: x y xy x y HD: x y xy x y x y 1 x y y 0 , Coi PT ẩn x với tham số y Ta có : y 1 y y 3y y 1 , để PT có nghiệm 0 3y y 0 y 1 4 Vì y Z y 0;1;2 Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : y x2 x 1 x2 x 1 HD : Đưa phương trình trở thành : y 1 x y 1 x y 0 TH1 : y=1=> x=0 TH2 : y 1 x 0 y 3 y 0;1; 2;3 Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp giải: Cơ sở: “ Biến đổi PT thành tích hai biểu thức, vế cịn lại số k Ta sử dụng PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu hai số phương, Sử dụng biệt thức denta số phương ” Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn, vế lại tích số nguyên ( Số nhân tử hai vế ) A.B.C m.n p (m, n, p Z ) giải phương trình tương ứng A m A n A p B n ; B p ; B m C p C m C n Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x y xy 0(1) HD: (1) xy x y 0 x(3 y 2) y 0 x (3 y 2) 5(3 y 2) 11 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com (3 y 2)(6 x 5) 11.1 1.11 ( 1)( 11) ( 11)( 1) : TH ( x, y) (1,1);( 1; 3) Bài 2: Tìm x, y Z , thỏa mãn x3 y 91(1) HD: (1) ( x y )( x xy y ) 91.1 13.7 Ta có: x xy y : TH ( x, y ) ( 5; 6);(3; 4);(4; 3) Bài 3: Tìm x, y Z , thỏa mãn x x y 0(1) HD: (1) x x y 0 (2 x 1) (2 y) 1 (2 x y 1)(2 x y 1) 1 1.1 ( 1)( 1) 2 x y 1 2 x y 1 +) x 0 y 0 2 x y 2 x y +) x ( x, y ) (0;0); ( 1;0) y 0 Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình a xy x y 1 b x xy y 7 c xy x y x y xy d 3x y xy x y 0 e x y xy x y 0 HD: a xy x y 1 3(3 y 1) y 1 (3 y 1)3 x y 3 (3 y 1)(3 x 1) 2 3y - -1 -2 3x + 1 -2 -1 x -1 2 y 1 Vậy: ( x, y ) (0,1);( 1, 0) b Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 ... ĐỀ B? ?I DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com ? ?i? ??u kiện để phương trình có nghiệm 0 2 B? ?i 16: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên : x y 3 x xy y HD : 2 Coi PT... pháp gi? ?i: Cơ sở: “ Biến đ? ?i PT thành tích hai biểu thức, vế l? ?i số k Ta sử dụng PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu hai số phương, Sử dụng biệt thức denta số phương ” Phương pháp: Biến... y B? ?i 45: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên : x y 1 HD : Biến đ? ?i phương trình thành : x y x y 1 B? ?i 46: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên : x y 91 HD : Biến đ? ?i phương trình