CHƯƠNG 7

CHƯƠNG 7 UBND TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN KINH TẾ LƯỢNG Đề tài “PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI ” Giảng viên hướng dẫn TRẦN PHAN ĐOAN KHÁNH NHÓM 17+10 Lớp HP 6609303 CHƯƠNG 7 PH[.]

UBND TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN KINH TẾ LƯỢNG Đề tài: “PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI ” Giảng viên hướng dẫn: NHÓM: 17+10 Lớp HP:6609303 TRẦN PHAN ĐOAN KHÁNH CHƯƠNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI Một giả thuyết quan trọng mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển sai số ngẫu nhiên Ui hàm hồi quy tổng thể có phương sai khơng thay đổi  Nhưng thực tế,liệu giả thuyết có bị vi phạm không?Nếu giả thuyết bị vi phạm,tức phương sai Ui  i2 (phụ thuôc vào quan sát),thì điều xảy ra?Làm để biết giả thiết bị vi phạm?Cách khắc phục nào? Để giải câu hỏi trên, nhóm em tìm hiểu “PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI” I.Bản chất phương sai thay đổi Giả định mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển phương sai sai số hồi quy không đổi qua quan sát.Trong thực tế sai số hồi quy tăng lên giảm xuống giá trị biến độc lập X tăng lên.Tổng quát, thay cho giả định: E( ei ) =  i2 Chúng ta giả định: phương sai E( e ) = i i Thường gặp phương sai không đồng liệu chéo liệu bảng.Nguyên nhân phương sai không đồng đa dạng, sau số trường hợp điển hình:  Do chất mối quan hệ kinh tế;có nhiều mối quan hệ kinh tế chứa đựng tượng này.Chẳng hạn mối quan hệ thu nhập tiết kiệm.Khi thu nhập tăng,người ta có nhiều lựa chọn việc tiêu dùng.Khi hồi quy tiết kiệm theo thu nhập, dường  i2 tăng theo thu nhập  Do công cụ kỹ thuật thu nhập, xử lí số liệu cải cải tiến sai số đo lường sai số tính tốn có giảm dần, dẫn đến  i2 có khả giảm  Do việc tích luỹ kinh nghiệm sai số theo thời gian ngày giảm.Chẳng hạn lỗi người đánh máy thời gian thực hành tăng.Trong trường hợp  i2 có khuynh hướng giảm dần  Phương sai thay đổi xảy mẫu có outlier (một giá trị nhỏ lớn so với giá trị quan sát khác mẫu)  Phương sai thay đổi xảy mơ hình hồi quy xác định sai (dạng hàm sai, thiếu biến quan trọng)  Trường hợp phương sai không đồng thường gặp thu thập số liệu theo không gian (số liệu chéo).Chẳng hạn khảo sát doanh thu chi phí quản cáo doanh nghiệp lĩnh vực kinh doanh.Do quy mô, thương hiệu,…của công ty không giống nên doanh thu cơng ty có quy mô tương ứng khác ứng với mức đầu tư quảng cáo biến động không giống II Ước lượng OLS có phương sai thay đổi Ta quay lại với mơ hình hai biến: Yi 1   X i  U i (7.4) Áp dụng công thức thường, ước lượng OLS  là:  xi y i   X iYi  n X Y ˆ   xi2  X i2  n X  (7.5) Có thể chứng minh rằng, phương sai Ui thay đổi thì: xi2 i2  ˆ var(  )  (7.6) x  i Rõ ràng công thức khác với cơng thức trường hợp có giả thiết phương sai không đổi cụ thể là: 2 ˆ var(  )  (7.7) x i i Tất nhiên,nếu   I (7.6) (7.7) đồng III Phương pháp bình phương nhỏ tồng quát Đề giải đáp câu hỏi trên, ta cần xem xét phương pháp bình phương nhỏ tổng quát Trước vào nội dung cụ thể phương pháp này, tìm hiểu phương pháp bình phương nhỏ có trọng số Phương pháp bình phương nhỏ có trọng số Xét mơ hình hồi quy hai biến: Yi 1   X i  U i (7.8) Đối với phương pháp bình phương nhỏ khơng khơng có trọng số, 1 ,  thoả mãn điều kiện: tổng bình phương phần dư cực tiểu, tức: n n  e   i 1 i i 1 Yi  ˆ1  ˆ2 X i   (7.9) Đối với phương pháp bình phương nhỏ có trọng số, 1* ,  2* thoả mãn điều kiện: tổng bình phương phần dư có trọng số đạt cực tiểu; n n i i *  W e  W  Y   i i 1 i *    Xi i 1  (7.10) Trong 1* ,  2* ước lương bình quân nhỏ trọng số Các trọng số Wi Wi   i   i2  i   Nghĩa trọng số tỷ lệ nghịch với phương sai Ui var  U i / X i  var  Yi / X i   i2 Ta có:  n     Wi ei2  n  i 1  2 W Y   *   * X    i i i 1* i 1  n     Wi ei2  n  i 1  2 W Y   *   * X  X  i  i i i  2* i 1 Cho đạo hàm riêng 0, ta hệ phương trình chuẩn: n n  n * * W Y   W    i  Wi X i  i i  i 1 i 1 i 1  n n n  W X Y  * W X   * W X    i i i i i i i  i 1 i 1  i 1 Giải hệ phương trình trên, ta được: 1* Y *   2* X * n n (7.11) n n W W X Y  W X W Y i *   i 1 i i i i i 1 i i 1 n n i i i 1  n  W W X   i i   Wi X i  i 1 i 1  i 1  (7.12) i Trong đó: n n W Y Y *  i 1n W X i i W i i 1 X *  i 1n ; i i W i i 1 Rõ ràng Wi   i  trung bình có trọng số trung bình thơng thường i Phương pháp bình phương nhỏ tồng quát Bây trở lại ước lượng bình phương nhỏ  ˆ2 ˆ2 ước lượng tuyến tính khơng chênh lệch tốt Nguyên nhân giả thiết phương sai số không đổi bị vi phạm Xét mơ hình hồi quy hai biến: Yi 1   X i  U i , tất giả thiết mơ hình hồi qui tuyến tính cổ điền thoả mãn trừ giả thiết mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển thoả mãn trừ giả thiết phương sai sai số khơng đổi Phương trình viết dạng: Yi 1 X 0i   X i  U i (7.13) Trong đó: X 0i 1(i ) Với i, chia hai vế (7.3) cho  i ( i  0) Yi X X U 1 0i   i  i i i i i Yi X 0i Xi * * * Đặt: Yi  ; X 0i  ; Xi  ; i i i ta được: (7.14) U U i*  i i Ta viết (7.14) dạng: Yi * 1* X 0*i   2* X 2*  U i* Mục tiêu việc biến đổi mơ hình gốc gì? Để thấy điều , xét số hạng sai số ngẫu nhiên U i* Ta có: * i * i   E  U  var U  i2  E  U i   1 i i (do E  U i   i2 ) Vậy U i* có phương sai khơng đổi Thủ tục biến đổi gốc theo cách trình bày biến biến đổi thoả mãn giả thiết mơ hình tuyến tính cổ điển sau áp dụng phương pháp bình phương nhỏ với mơ hình hồi quy biến đổi, gọi phương pháp bình phương nhỏ tổng quát Thủ tục ước lượng 1*  2* sau: Ta viết hàm hồi quy mẫu (7.15) dạng: X  X Yi ˆ1*  0i   ˆ2*  i i  i   i   ei       i  Hay: Yi * ˆ1*  ˆ2* X i*  ei* (7.16) Để thu ước lượng OSL tổng quát, ta cực tiểu hàm: n * i  e  i 1 Hay: n  i 1  Yi  ˆ1*  ˆ2* X i* *  n n  Yi ei2 * X 0i * Xi  ˆ ˆ       Yi  ˆ1*  ˆ2* X i      2 i i  i 1  i i 1   i i 1  i n   Đặt Wi  ,ta quay dạng (7.10), ta có: i ˆ1* Yi *  ˆ2* X * n * (7.17) n n n W W X Y  W X W Y i   i 1 i i i i i 1 n i i 1 n i i i 1  n  Wi  Wi X    Wi X i   i 1 i 1  i 1  (7.18) 2 i n var ˆ2*    W i i 1  n  n  n  2 W W X    i    i i    Wi X i   i 1   i 1   i 1  (7.19) IV Hậu phương sai thay đổi Khi xảy tượng phương sai thay đổi làm ảnh hưởng đến ước lượng thu sau:  Các ước lượng bình phương bé ước lượng không chệch ước lượng hiệu (ước lượng có phương sai nhỏ nhất)  Ước lượng phương sai bị chệch, kiểm định mức ý nghĩa khoảng tin cậy dựa theo phân phối t F khơng cịn đáng tin cậy V.Phát phương sai thay đổi Bản chất vấn đề nghiên cứu: Thông thường chất vấn đề nghiên cứu gợi ý cho biết có xảy tượng phương sai thay đổi hay khơng Trong thực tế thường số liệu chéo liên quan đến đơn vị không hay xảy hiên tượng phương sai thay đổi Chẳng hạn nghiên cứu số liệu chéo chi phí sản xuất sản lượng sản phẩm sản xuất ra, mẫu gồm doanh nghiệp có quy mô khác nhau, người ta thấy dường phương sai thay đổi Xem xét đồ thị phần dư Đồ thị phần dư (sai số cùa mơ hình hồi quy) giá trị biến độc lập X giá trị dự đoán Yˆ cho biết liệu phương sai sai số có thay đổi hay khơng Phương sai phần dư biểu thị độ rộng biểu đồ rải phần dư X tăng Nếu độ rộng biểu đồ rải phần dư tăng giảm X tăng giả thiết phương sai khơng đổi khơng thoả mãn Kiểm định Park Park hình thức hố phương pháp đồ thị, cho hàm X Dạng hàm mà ông đề nghị là:  i2  X i e v i (7.27) Lấy logarit hai vế, ta được: ln  i2 ln    ln X i  vi Trong vi sai số ngẫu nhiên Vì  i2 chư biết, nên Park đề nghị sử dụng thay cho ước lượng hồi quy sau: ln ei2 ln    ln X i  vi 1   ln X i  vi (7.28) Trong đó: 1 ln  ei2 tính đươc từ hồi quy gốc Các bước kiểm định Park: a Ước lượng hồi quy gốc có tượng phương sai thay đổi b.Từ hồi quy gốc ta tính ei sau bình phương chúng ei2 lấy logarit số e ei2 c.Ước lượng mô hình : ln ei2 1   ln X i  vi Trong X i biến giải thích hồi quy gốc Nếu có nhiều biến giải thích ước lượng mơ hình với biến giải thích hồi quy với Yˆi làm biến giải thích d Kiểm định giả thiết H0 :  0 , tức khơng có tượng phương sai thay đổi Nếu giả thiết H0 chấp nhận khơng có tượng phương sai thay đổi Nếu giả thiết H bị bác bỏ, tức tồn mối liên hệ có ý nghĩa mặt thống kê ln ei2 ln X i tồn tượng phương sai thay đổi Kiểm định Glejer Kiểm định Glejer tương tự kiểm định Park Sau thu phần dư ei từ hồi quy gốc, Glejer đề nghị hồi quy giá trị tuyệt đối ei với biến X mà kết hợp chặc chẽ với  i2 Trong thực nghiệm Glejer sử dụng dạng hàm sau: ei 1   X i  vi ei 1   X i  vi ei 1   ei 1   Trong v i  vi Xi  vi Xi sai số ngẫu hiên Nếu giả thiết H0:  0 bị bác bỏ có tượng phương sai thay đổi Kiểm định White Kiểm định White khơng địi hỏi U phải có phân phối chuẩn Đây kiểm định tổng quát phương sai Xét mơ hình hồi quy ba biến sau đây: Yi 1   X 2i  3 X 3i  U i (7.33) Các bước kiểm định Park : Bước 1: Ước lượng mơ hình (7.33) từ thu phần dư ei Bước Ước lượng mơ hình sau: ei2 1   X 2i   X 3i   X 22i   X 32i   X 2i X 3i  Vi (7.34) Các biến giải thích mơ hình (7.34) có số mũ cao thiết phải có hệ số chặn mơ hình hồi quy gốc hay khơng có hệ số chặn hệ số xác định thu sau ước lượng mơ hình (7.34) Bước 3: Kiểm định giả thiết H0 : Phương sai sai số ngẫu nhiên mơ hình (7.33) khơng đổi Nếu thống kê có phân phối xấp xỉ với phân phối Chi – bình phương với k bậc tự K hệ số mơ hình (7.34) khơng kể hệ số chặn Bước 4: Nếu nR2 vượt giá trị giới hạn (với mức ý nghĩa cho trước) ta bác bỏ giả thiết H0 , tức mơ hình (7.33) có phương sai thay đổi Kiểm dịnh White mở rộng mơ hình hồi quy có số biến k VI Biện pháp khắc phục Như biết, phương sai thay đổi làm tính chất khơng chệch tính bền vững ước lượng OLS, mà làm cho ước lượng khơng cị ước lượng hiệu Vì vậy, cần phải có biện pháp khắc phuc Có hai cách thức xử lý: biết  i2 chưa biết  i2 Trường hợp biết  i2 Khi biết, dễ dàng khắc phục tượng phương sai thay đổi cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ có trọng số trình bày Trường hợp  i2 chưa biết Trong nghiên cứu kinh tế, việc biết trước  i2 Vì muốn sử dụng phương pháp bình phương nhỏ có trọng số cần có giả thiết định  i2 biến đổi mơ hình hồi quy gốc cho mơ hình biến đổi thoả mãn giả thiết phương sai không đổi Chúng ta minh hoạ cho phép biến đổi mơ hình hồi quy hai biến mà ta gọi mơ hình gốc Yi 1   X i  U i Giả sử mơ hình thoả mãn giả thiết mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển trừ giả thiết phương sai không đổi.Chúng ta xét số giả thiết sau phương sai sai số.Những dạng chưa bao quát phổ biến Giả thiết 1: Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương biến giải thích: E  U i2   X i2 (7.36) Nếu phương pháp đố thị hay cách tiếp cận Park Glejer….chỉ cho thấy phương sai tỉ lệ với biến bình phương biến giải thích x, biến đồi mơ hình gốc theo cách sau: Chia hai vế mơ hình gốc cho X i ( X i 0) Yi U      i 1    Vi (7.32) Xi Xi Trong Vi  Xi Xi Ui số hạng nhiễu biến đổi Xi 2 Ta chứng minh: E  Vi   Thật vậy, ta có: E  Vi  U  E  i   E U i2  Xi  Xi    Giả thiết 2: Phương sai sai số tỉ lệ với biến giải thích X E U i2  X i   (7.38) Nếu sau ước lượng hồi quy gốc phương pháp bình phương nhỏ thơng thường, ta vẽ đồ thị phần dư biến giải thích x Quan sát đồ thị thấy sai số có liên hệ tuyến tính với biến giải thích, cách tin tưởng mơ hình gốc biến đổi sau: Yi U     X i  i 1   X i  Vi (7.39) Xi Xi Ui Với Vi  Xi Xi Xi ( aXi > ) Với giả thiết 2, ta dễ dàng chứng minh var  Vi   Giả thiết 3: Phương sai sai số tỉ lệ thuận với bình phương giá trị trung bình Y E  U i2    E  Yi   (7.40) Khi biến đổi sau: Yi Xi Ui    2  E  Yi  E  Yi  E  Yi  E  Yi  1 Xi  2  Vi (7.41) E  Yi  E  Yi  U i Trong đó: Vi  E Y ,ta thấy var  Vi   , tức yếu tố nhiễu có  i phương sai khơng đổi Vậy,hồi quy(7.14) thoả mãn giả thiết mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển Tuy nhiên hàm (7.14) chưa thể ước lượng E  Yi  phụ thuộc vào   chưa biết Nhưng Yˆi ˆ1  ˆ2 X i ước lượng điểm E  Yi  Do ta tiến hành theo hai bước: Bước 1: Ước lượng mơ hình hồi quy gốc tính Yˆi , sau dung biến đổi biến đổi mơ sau: Bước 2: Ước lượng hồi quy (7.42) Mặc dù Yˆi không E  Yi  , chúng ước lượng vững, tức là, kích thước mẫu tăng lên vơ hạn chúng hội tụ E  Yi  Vì phép biến đổi (7.42) sử dụng thực hành kích thước mẫu tương đối lớn Giả thiết 4: Phép biến đồi logarit Đôi thay cho việc ước lượng hồi quy gốc, ta ước lượng hồi quy: ln Yi 1   ln X i  U i Việc ước lượng hồi quy (7.43) co thể làm giảm phương sai thay đổi tác động cùa phép biến đổi logarit Một ưu phép biến đổi hệ số gốc đo độ co giãn Y X ... thức trường hợp có giả thiết phương sai khơng đổi cụ thể là: 2 ˆ var(  )  (7. 7) x i i Tất nhiên,nếu   I (7. 6) (7. 7) đồng III Phương pháp bình phương nhỏ tồng quát Đề giải đáp câu hỏi trên,... quay dạng (7. 10), ta có: i ˆ1* Yi *  ˆ2* X * n * (7. 17) n n n W W X Y  W X W Y i   i 1 i i i i i 1 n i i 1 n i i i 1  n  Wi  Wi X    Wi X i   i 1 i 1  i 1  (7. 18) 2... i  U i (7. 13) Trong đó: X 0i 1(i ) Với i, chia hai vế (7. 3) cho  i ( i  0) Yi X X U 1 0i   i  i i i i i Yi X 0i Xi * * * Đặt: Yi  ; X 0i  ; Xi  ; i i i ta được: (7. 14) U