Giáo trình IUH Kỹ thuật robot Chương 3 Động học vi phân và tĩnh học

Chương Động học vi phân Tĩnh học Trong chương 2, thiết lập phương trình động học thưận mô tả mối quan hệ biến khớp tư khâu tác động cuối Trong chương giói thiệu phương trình động học vi phân mô tả mối quan hệ vận tốc khớp vận tốc dài, vận tốc góc khâu tác động cuối Mối liên hệ mô tả ma trận gọi Jacobi hĩnh học, ma trận Jacobi hình học phụ thuộc vào cấu hình robot Ma trận Jacobi tính thơng qua đạo hàm phương trình động học thuận theo biến khớp Ma trận Jacobi sinh gọi Jacobi giải tích, khác vởi ma trận Jacobi hình học Ma trận Jacobi hữu ích cho việc tìm kiếm điếm kỳ dị, phân tích dư bậc, xác định thuật tốn động học ngược, mơ tả mối quan hệ lực tác động lên khâu tác động cuối mô-men sinh khớp (tĩnh), sử dụng ỏ chương việc tạo phương trình động lực học thiết kế sơ đồ điều khiển không gian hoạt động 3.1 Jacobi hình học Xét tay máy có n bậc tự (n-D()F) Phương trình động học thuận viết dưói dạng sau: Te (q) = Re(ợ) pe(q) 0T (3.1) q — [qy qn]Ẵ véc-tơ biến khớp Cả vị trí hướng khâu tác động cuối thay đổi q thay đổi Mục tiêu phương trình động học vi phân tìm mối quan hệ vận tốc khớp vói vận tốc dài vận tốc góc khâu tác động cuối Nói cách khác, vận tốc dài Pe vận tốc góc cae khâu tác động cuối hàm vận tốc khớp q Các mối quan hệ biểu diễn sau: À = Jp(q)q (3.2) = Jo(q)q (3.3) 63 Trong phương trình (3.2) Jp ma trận (3 X n) liên quan tới việc góp phần tạo vận tốc đài khâu tác động cuối Pe vận tốc khớp q, Jo là ma trận (3 X n) hên quan tới việc góp phần tạo vận tốc góc khâu tác động cuối úy vận tốc khởp q Cấc phương trình (3.2), (3.3) viết lại sau: (3-4) ve Phương trình (3.1) biểu thị cho phương trĩnh động học vi phân tay máy Ma trận J kích thước (6 X n) ma trận Jacobi hình học: (3.5) Ma trận Jacobi J hàm biến khớp Dể tính tốn ma trận Jacobi hình học, cần lưu ý số đặc tính ma trận quay kết quan trọng động học vật thể cứng 3.1.1 Đạo hàm ma trận quay Phương trình động học thuận tay máy (3.1) mô tả tư khâu tác động cuối hàm biến khớp biểu diễn dạng véc-tơ vị trí ma trận quay Mục đích biểu diễn vận tốc dài vận tốc góc khâu tác động cuối nên ta xem xét lấy đạo hàm ma trận quay theo thời gian Xét ma trận quay biến đói theo thời gian R = R(t) Vói R ma trận quay trực giao, ta có tính chất: R(t)RT (í) = I đó, lấy đạo hàm theo thời gian, ta có: /ỉ (f) R7 (í) + R (í) RT(t) = o Đặt ố'(t) = íỉ(t)RT(t) (3.6) Ma trận s (3 X 3) đối xứng xiên sụ) + ST(t) = o (3.7) Nhân R(i) vào hai vế (3.6) ta có: R{t) = S(t)R(t) (3.8) Phương trình (3.8) mơ tả đạo hàm ma trận quay 7?(/) biểu diễn ma trận quay Rịt) Phương trình (3.8) mơ tả mối liên hệ đạo hàm ma trận quay với ma trận quay thơng qua tốn tứ ma trận S(t) đối xứng xiên Xét vec-tơ số p' véc-tơ p(t) — R[t)p' Đạo hàm theo thời gian p(t) ta có: PƠ) - R(t)p 64 Phương trình (3.8) viết lại sau: p(t) = S(t)R(t)p' Nếu véc-tơ Lơ(t) biểu thị vận tốc góc R(t) hệ tọa độ tham chiếu thòi điểm í, ta có phương trình sau: p(t) = u(i) X R(t)p' Do đó, tốn tử ma trận S(í) mơ tả tích véc-tơ véc-tơ cư véc-tơ R(t)p' Ma trận S(t) có phân tử đối xứng qua đường chéo thành phần véc-tơ u(t) — [ívx Uy UZ]T S(t) viết lại dạng ma trận sau: ~UZ Wy -^x Ur CƯ.;yy (3.9) Biểu diễn S(t) — S(u(t)) Phương trình (3.8) viết lại sau: (3.10) R = S(u)R Hơn nữa, R biểu thị ma trận quay, ta có: RS(u)RT - S(Ru) (3.11) Ví dụ 3.1 Xét ma trận quay quanh trục z cho công thức (2.6) Nếu a hàm theo thời gian, cách lấy đạo hàm /?2(a(í)), phương trình (3.6) trỏ thành: SỤ) = —àsina —àcosa 0' ã co sa —ãsina 0 0 — —à ()■ 0 — S(u W) 0 ’ co sa sina 0“ —sin a cosa 0 Theo phương trình (3.9), ta có: u = [0 ã]T biếu diễn vận tốc góc hệ tọa độ quanh trục z Trong Hình 2.11, xét chuyển đổi tọa độ điểm p từ Hệ tọa độ sang Hệ tọa dộ 0; theo phương trình (2.38), ta có: z>° = o“ + RÍỊp1 (3.12) Lấy đạo hàm phương trình (3.12) theo thời gian í, ta có: ị>° = ó',’ + R' = '^jỉriỉi = '^,jpiQi ơ-27) > tí Biểu thức cho biết pe thu từ tổng số hạng (jijp Mỗi số hạng biếu diễn phần đóng góp vận tốc khớp i đơn lẻ vào việc tạo vận tốc dài khâu tác động cuối tất ctí khớp cịn lại tương tự Do đó, cách phân biệt trường hợp khớp tĩnh tiến (qi = dị) so với khớp quay ((Ịi — ty, ta có: • Nếu khớp i khớp tịnh tiến, từ (3.20) ta có: dijpi = dịZỉ-! Từ ta rút ra: jp, — Zi-Ả • Nếu Khớp i khớp quay, quan sát thấy phần đóng góp vào vận tốc dài tính vói tham chiếu gốc hệ tọa độ khâu tác động cuối (Hình 3.2), ta có: 68 qdpi = ^1-1 ,i X 7’i—I,e = X (pe - Pi~d Từ ta rút ra: jpi = Zj_i X (pe - Pi~i) Dối với phần đóng góp tạo vận tốc góc, dựa (3.18), ta có: n n jodi uje = i—1 (3.28) i=l (3.19) (3.23) sử dụng để mô tả các số hạng qdOịì cụ thế: • Nếu khởp i khớp tịnh tiến, từ (3.19), ta có: qdo, = Từ ta rút ra: M =0 • Nếu khởp i khóp quay, từ (3.23), ta có: qdot = fe-1 Từ ta rút ra: JOị — ~i— Tóm lại, Jacobi (3.5) phân chia thành véc-tơ cột (3x1) jp như: jpi jpn (3.29) joi JOn khớp tịnh tiến JPi (3.30) ioi khớp quay Các biểu thức (3.30) cho phép tính tốn Jacobi cách đơn giản, dựa mối liên hệ động học thuận Trong thực tế, véc-tơ Zị-1, pe P?:-1 tất hàm biến khởp Đặc biệt: • ^-1 có từ cột thứ ma trận quay tức là: = fi?(?i) -Cỉta-i)^ Zo — [0 (3.31) 1]T cho phép lấy cột thứ ma trận quay • pe phần tử cột thứ tư ma trận biến đổi Te°, tức biểu diễn pe dạng (4 X 1): pe = Aị(qi) A"~l(qn)p0 pQ — [0 0 (3.32) 1]T cho phép lấy cột thứ ma trận biến đổi • p.,-1 lấy từ phần tử cột thứ ma trận biến đổi Pi~i lấy từ: 69 tức (3.33) = AỈ(ợ1) A*_?(?.-i)Po Pi-1 Các phương trình sử dụng để tính tốn dễ dàng vận tốc dài vận tốc góc điểm dọc theo cấu trúc tay máy miễn biết mối liên hệ hàm động học thuận vói điểm f' Cuối cùng, cần lưu ý ma trận Jacobi phụ thuộc vào hệ tọa độ, vận tốc khâu tác động cuối biểu diễn Các phương trình cho phép tính tốn Jacobi hình học so vởi hệ tọa độ gốc Nếu muốn biểu diễn Jacobi Hệ toạ độ khác (u), cần biết ma trận quay tương dối Ru Mối quan hệ vận tốc hai hệ tọa độ: Rn Pe o o Pe u ưe Thế vào (3.4) ta có: Và rút được: (3.34) Ju biểu thị Jacobi hình học Hệ r/, giả định bất biến theo thời gian 3.2 Jacobi số cấu trúc cánh tay tiêu biểu Trong phần tiếp theo, Jacobi tính tốn cho số cấu trúc tay máy dien hình giới thiệu ỏ cấc chương trước 3.2.1 Tay máy ba khâu phẳng Vói loại tay máy này, từ (3.30) Jacobi là: J tí) = ‘-0 X (p.l - Po) X (p.3 -Pl) Z1 -0 z2 X (p3 - Pỉ) z2 Tính vcc-tư vị trí khâu khác cho ta: ứiCi 4- Ỡ2C12 ữiÚỊ + &2C12 + ữ3c123 «1«! + a2