Giáo trình IUH Kỹ thuật robot Chương 6 Động lực học robot

Chương Động Lực Học Robot Mơ hình động lực học tay máy đóng vai trị quan trọng việc mơ chuyển động, phân tích cấu trúc tay máy thiết kế giải thuật điều khiển Mô chuyển động tay máy cho phép đánh giá phương pháp điều khiển, kỹ thuật hoạch định quỹ đạo chuyển động mà không cần dùng tới hệ thống thực Việc phân tích mơ hình động lực học giúp ích cho q trình thiết kế khí tay máy Việc tính tốn lực mơ-mcn xoắn cho chuyển động điển hình cung cấp thơng tin hữu ích cho việc thiết kế khớp, phận truyền động cấu chấp hành Mục đích Chương trình bày hai phương pháp cho việc dẫn phương trình chuyển động tay máy khơng gian khớp Phương pháp dựa công thức Larange khái niệm đơn giản, có hệ thống Phương pháp thứ hai dựa cơng thức Newton-Euler có mơ hình dạng đệ quy; phương pháp hiệu khai thác cấu trúc mở điển hình chuồi động học tay máy Kế đến, kỹ thuật nhận dạng tham số dộng lực học trình bày Sau đó, tốn dộng lực học thuận dộng lực học ngược thức hoá kỹ thuật hiệu chỉnh động lực học tay máy theo quỹ đạo giới thiệu Phần cuối Chương tìm mơ hình động lực học tay máy không gian làm việc 6.1 Phương pháp Lagrange Mơ hình dộng lực học tay máy mơ tả mối quan hệ mô-men xoắn cấu chấp hành khớp với chuyển động cấu trúc Với phương pháp Lagrange, phương trình chuyển động dược dẫn cách hệ thống hệ toạ độ tham chiếu Một tập biến qi,i = 1, ,n, gọi tọa độ tổng quát, chọn để mơ tả vị trí khâu tay máy có n-bậc tự (DOF), hàm Lagrange hệ thống khí định nghĩa hàm tọa độ tổng quát: E = T-U T vhlẨ biểu thị tương ứng cho tổng động hệ thống Phương trình chuyển dộng Lagrange biểu diễn bởi: 135 (6.1) d dt dtdịi ŨC , dgi~^ , (6 2) với lực tông qĩiát ứng với khớp tổng quát Ợj Phương trình (6.2) viết (lưới dạng ngắn gọn saư: (-Y- (-Y-E dt\dq) \ dq / (6.3) tay máy có chuỗi động học mở, toạ độ tổng quát nhóm chung vec-tơ biến khớp q Những đóng góp cho lực tổng quát cho lực khơng bao tồn, nghĩa mơ-men cấu chấp hành khớp, mô-men ma sát ổ trục, rnô-men khớp gây lực tương tác khâu tác động cuối với đối tượng Các phương trình (6.2) thiết lập mối quan hộ tồn lực tong quát tác động lên tay máy vị trí khớp, vận tốc khớp gia tốc khớp Do đó, chúng cho phép dẫn mơ hình động lực học tay máy việc xác định dộng hệ thống khí Ví dụ 6.1 Dể hiểu phương pháp Lagrange cho việc dẫn mơ hình động lực học, xem xét lại trường hợp dơn giản lắc Ví dụ 5.1 Dối chiếu đến Hình 5.8, dặt 'ứ biểu thị góc lắc so với tham chiếu vị trí hướng xuống (tf = 0) Bằng cách chọn toạ độ tổng quát, động hệ thống cho bởi: T = hi)2 + Thế hệ thống biếu diễn bởi: u = mgk(i — cosứ) Do dó, cơng thức Lagrange hệ thống là: c — ^ló2 + ^Imk2d2 — mg£(l — cost?) Thay biểu thức phương trình Lagrange vào (6.2) được: ự + I,nk2)d + mgk.smỡ = £ Lực tổng qt £ dược cho bơi dóng góp mơ-men dẫn dộng T khớp mô-men ma sát nhớt —Fử —Fink2d Vì thế, có được: £ = T - Fâ - Fmk2rớ 136 dần đến mô hình động lực học hồn chỉnh hệ thống dạng phương trình vi phân bậc hai: (/ + ImkrỳỊ + (F + Fmkỉ)0 + mgỂsiĩYỞ — T Dễ dàng kiểm chứng phương trình tương đương với phương trình (5.25) xét khía cạnh khớp 6.1.1 Tính tốn động Xét tay máy gồm có n khâu Dộng tổng dược tính bơi tổng dộng thành phần liên quan tới chuyển động khâu thành phần liên quan tới chuyển động cấu chấp hành khớp: n (6.4) 1=1 Khớp i động Khâu i Tm, động động dẫn động Thành phần động Khâu i cho bơi: rtl = í pfp-pdv Jvf (6.5) P* biểu diễn vcc-tơ vận tốc dài p khối lượng riêng dơn vị the tích dV: V(t thể tích Khâu i Xem xét vec-tơ vị trí P* phần tử vec-tơ vị trí Pcị trọng tâm Khâu 2, hai biổu diễn hệ toạ độ sở Ta có: lị — í7 i.r ! iy iz] Pị Plị (6.6) với V' = ẻ- í p‘tpw Jvt , Rị ma trận quay từ Hệ toạ độ Khâu i tới Hệ toạ độ sở Khi tham chiếu đến Hệ toạ độ khâu, tcn-xơ qn tính số Dặt lị biểu thị cho ten-xơ quán tính vậy; sau dễ dàng để kiểm chứng mối quan hệ sau: = RtIịRĨ (6.12) Nếu trục Hệ toạ độ Khâu i trùng với trục quán tính tích qn tính khơng ten-xơ quán tính quanh trọng tâm ma trận chéo Bằng cách lấy tổng cua thành phần tịnh tiến thành phần quay (6.9) (6.10), động Khâu i là: 77, = Imt.Pf.Pt + (6.13) Từ phương trình trẽn ta thấy động hàm toạ độ tóng quát hệ thống, nghĩa biến khớp Như vậy, phương pháp hình học để tính Jacobi áp dụng cho khâu khâu tác động cuối, ta có: 139 Pe, = ĩpỈQỉ + ■■■+ jpi\ịi = Jp^q Ui = + • • • + jofq 'i = (6-14) (6 lõ) đóng góp cột ma trận Jacobi liên quan tới vận tốc khớp xét Khâu i hành Các ma trận Jacobi đổ xcm xét là: Jp — ?-£) JPỈ Á*0 ■ ■ ■ W = Joi 7^0 Jpi 7^0 Joi • • • u 0u • • • u o' (6.16) • 0u (6.17) cột ma trận (6.16) (6.17) tính theo (3.30), cho: khóp tịnh tiến khớp xoay jự‘) = J Zj~x Jpj Pj-1 X (pti khớp tịnh tiến khớp xoay (6.18) (6.19) vec-tơ vị trí gốc toạ độ thuộc Hệ j — Zj_x vec-tơ đơn vị trục z thuộc Hệ j — Dộng Khâu i (6.13) có thổ viết sau: til ~ p Jp ' 2^ ttiÌ£.K.j I'o q (6.20} Thành phần (lộng (lo chuyển động động thuộc Khớp i tính theo cách tương tự (lộng khâu Xem xét trường hợp điển hình động điện quay (có thể dẫn động khớp quay khớp tịnh tiến truyền động thích hợp) Giả sử đóng góp động phần cố định (stator) bao gồm (lộng khâu gắn liền với động tính ỏ trên, đóng góp phần chuyển dộng (rotor) tính Dối chiếu với Hình 6.2, dộng Khớp i giả sử nằm Khâu i — Thực tế, việc thiết kế cấu trúc khí tay máy có chuỗi động học mở người thiết kế cố gắng định vị (lộng gần khối đế tay máy tốt để giảm nhẹ tải động lực học lên khớp dầu tiên chuỗi Các mô-men cấu chấp hành khớp dược cung cấp động hệ truyền động khí (bánh răng) Dóng góp hệ bánh với động dược bao gồm đóng góp động Giả sử khơng có chuyển động ảnh hưởng xảy ra, tức chuyển động Khớp i không dẫn động chuyển động khớp khác 140 Hình 6.2: Mơ tả động học Dộng i Dộng Rotor i viết sau: „ ni, = nm'rhPm,Pĩiii + (6.21) mTO( khối lượng rotor ỳm, biểu thị vận tốc dài trọng tâm rotor, Imi ten-xơ quán tính rotor so với trọng tâm nó, wnij biểu thị vận tốc góc rotor Dặt biểu thị vị trí góc rotor Giả sử truyền động cứng (khơng có khe hơ cạnh), ta có: ^'riQi — (6.22) kri tỷ số truyền giảm Lưu ý rằng, trường hợp dẫn động khớp tịnh tiến, tỷ số truyền giảm đại lượng kích thước Theo quy tắc thành phần vận tốc góc (3.18) mối quan hệ (6.22), tổng vận tốc góc rotor là: ^m.ị — — T kriqi.zmị (6.23) CƯ£_1 vận tốc góc Khâu i — mà dộng gắn, zini biểu thị vec-tơ đơn vị dọc theo trục rotor Tương tự (6.1 1), để bicu diễn động rotor hàm biến khớp, vận tốc dài trọng tâm rotor viết lại sau: _ Ami)Pnn = Jp q Jacobi để t ính là: 141 (6.24) Am,) Jp — •(’»,) J Pl n (m,) ■ ■ • Jp,i-1 u fl • ■ • (6.25) u có cột cho bởi: j(m() _ J 2j-i Zj-I X (pm> -Pj-i) Pj đối vởi khớp tịnh tiến khớp quay (6.26) Pj-1 vec-tơ vị trí gốc toạ độ Hệ j — Chú ý (6.25), trọng tâm rotor thực dọc theo trục quay = Vận tốc góc (6.23) có thổ biểu diễn hàm biến khớp, tức là: (6.27) Jacobi đế tính sau dó là: 4”'')=[jS') ■■■ 47'’ (6.28) o] CÓ cột, theo (6.23), (6.15), dược cho bởi: (6.29) = Dể tính tốn mối quan hệ thứ hai (6.29), cần biết thành phần vec-tơ đơn vị rotor, trục znii so với Hộ sở Vì thế, động rotor i có the viết sau: q- _ 'm, — „ -T r(ini)T Ami) ■ 'Jp p Q ' nQ AmiỴI TJ rm, pT ^■mi^rni^rni^o (Ci QO\ (O.oUJ q Cuối cùng, cách tổng hợp thành phần đóng góp khác liên quan đến khâu đơn (6.20) rotor dơn (6.30) (6.4), tổng động tay máy với cấu chấp hành cho dạng thức bậc hai: T=9" 52 i=l 52 j=l " (6.31) đó: B (ợ) = Ẻ (m, 4^4« + Í=1 + 142 4”“’) (6.32) mói trận qn tính (n X 7i), có tính chất sau: • đối xứng • xác định dương • (nói chung) phụ thuộc cấu hình 6.1.2 Tính toán Tương tự làm với động năng, tay máy tính tổng thành phần liên quan đến khâu đến rotor: n = Y^(ưti+umi) (6.33) j=l Với giả định khâu cứng, khâu lực hấp dần gây bởi: ữỈPÌpdV = -tn^gĩpt, (6.34) go vec-tơ gia tốc trọng trường hệ sở (ví dụ, g0 = [0 - g]r z trục thẳng đứng), (6.7) sử dụng cho tọa độ trọng tâm Khâu i Liên quan đến thành phần đóng góp rotor i, tương tự (6.34), ta có: (6.35) Bằng cách thay (6.34), (6.35) vào (6.33), cho bởi: n (6.36) u =i=l cho thấy năng, thông qua vec-tơ p^ pmị, hàm phụ thuộc vào biến khớp ợ, mà không phụ thuộc vào vận tốc khớp q 6.1.3 Phương trình chuyển động Sau tính tốn tổng động hệ thống (6.31), (6.36), phương trình Lagrangian (6.1) cho tay máy viết sau: £(ợ,ộ) = T(q.q) -U(q) (6.37) Lấy đạo hàm (6.3) lưu ý IẨ khơng phụ thuộc vào ộ, có được: #(ợ)ợ + n(g,ộ) =€ 143 (6.38) đó: n(ợ, ộ) = B(q)q - ỉ (^(qT B(q)q)\ ■ + f \dq ) \ dq J Cụ thể, nhận thấy IẨ (6.36) khơng phụ thuộc vào q tính cho (6.31), có được: d dt A (Ọĩ_\ dt \ dậi) n 71 = 526Ớ^+K j=i n j=i n dbij(q) dt n = £M«)«í+££ 7=1 j=l fc=l dqk OT _1 Hơn nữa, theo (6.14), (6.24), có: (■ dỉẢ TdPtj , T^Pmj\ X/ (6‘39) = - 52 jpiXq) + rnmj9ĩj(p.J\qỶỳ = 9i(q) 7=1 đó, lần nữa, chi’ số tổng thay đổi Kết quả, phương trình chuyển động là: Tì n n Ỵ^bij(q)qj + Ỵ^^hijk(q)qkị X Zị-X 4- á)ị X fj-i.j + a>i X (cưị X rj-ij) (6.98) Ngoài ra, khớp quay, đạo hàm (3.26) theo thời gian cho: Pi = Pi-X + ửị X n-i.í +w, X (Wj X rị-i.ị) (6.99) Tóm lại, phương trình (6.95), (6.96), (6.98), (6.99) viết lại sau: cữi-1 { cữi—1 + djZị-x + ửiWi-x X Zị-X khớp tịnh tiến ' khớp quay (6.100) (Pi-1 + dịZi-x + 2dịU}ị X Zị-X I + â)ị X J'i-I i + tưj X (cVị X rj-i’j) Pi-1 + ữị X r.j-1 k +wix(wixri_i,i) khớp tịnh tiến (6.101) khớp quay Gia tốc trọng tâm Khâu i yêu cầu phương trình Newton (6.87) dẫn từ (3.15), rj c = 0; cách đạo hàm (3.15) theo thời gian, gia tốc trọng tâm Cị dược mơ tả hàm vận tốc gia tốc gốc toạ độ Hệ Z, tức là: Pc, = Pi + ừị X riíCi +a>i* (wt X ri>Ci) (6.102) Cuối cùng, gia tốc góc rotor thu cách đạo hàm theo thời gian (6.23), tức là: — OJị—1 + A?,.jỢ?2r)ỉí T krị(ỊịCCị—ỵ X zmí 6.5.2 (6.103) Giải thuật đệ quy Chú ý phương trình chuyển động Newton-Euler khơng phải dạng khép kín, chuyển động khâu liên kết với chuyển động khâu khác thông qua quan hệ động học vận tốc gia tốc Một vị trí khớp, vận tốc khớp gia tốc khớp biết, ta tính vận tốc gia tốc khâu, phương trình Newton-Euler sử dụng để tìm lực mơ-mcn tác động lên khâu theo phương pháp đệ quy, lực mô-men tác dộng lên khâu tác động cuối Mặt khác, vận tốc gia tốc khâu rotor tính tốn đệ quy vận tốc gia tốc khâu sở Tóm lại, giải thuật đệ quy 166 xây dựng có tính đệ quy thuận liên quan lan truyền vận tốc gia tốc đệ quy ngược cho lan truyền lực mô-men dọc theo cấu trúc Dối với đệ quy thuận, q, q, q, vận tốc gia tốc khâu sỏ Wo, Po — Ợo> ũo định cưj, cữ,:, Pi, pCi, ùmi tính cách sử dụng (6.93), (6.100), (6.101), (6.102), (6.103), tương ứng Để ý gia tốc dài tính Po — go để kết hợp đại lượng — go tính tốn gia tốc trọng tâm Pc, qua (6.101), (6.102) Sau tính vận tốc gia tốc với giải thuật đệ quy thuận từ khâu sỏ đến khâu tác động cuối giải thuật đệ quy ngược thực cho lực Cụ thể, hr = [fn+ỵ l^ĩ+i]7 cho (thậm chí hr = 0), phương trình Newton (6.87) sử dụng cho đệ quy viết lại sau: fi = fi+ì + niiPC, (6.104) đóng góp gia tốc trọng trường bao hàm pCị- Hơn nữa, phương trình Euler cho: Pi — —fi x + /A+l + /i+l x ri,c, + x ỰiS=ã>oo = điều kiện cuối cho lực: rì = fỉ = Tất dại lượng dược tham chiếu dến hệ toạ độ khâu Như hệ quả, vcc-tơ sau thu được: ’"■2 'n-1' rỉ,ơ1 = _ ri,i = -2 = r2,c2 — 0 _ _ rr'ị n= l,2 — 0 (ỈCi tc2 đại lượng âm Các ma trận quay cần thiết, cho việc chuyển đổi vec-tơ từ hệ toạ độ sang hệ toạ độ khác là: Ci -Si 0' Si Ci 0 i = 1,2 =I Hơn nữa, giá sử trục quay hai rotor trùng với trục khớp tương ứng, tức là, zlr~l — Zo = [0 1]T vói i — 1, Theo (6.107) - (6.1 14), giải thuật Newton-Euler yêu cầu thực bước sau dậy: 169 • Đệ quy thuận: Khâu ■()■ à -ựci + ữi)ý? +