Đang tải... (xem toàn văn)
1 MỤC LỤC Giải Nhất Chuyên đề Số nguyên tố và một số bài toán liên quan, tác giả Nguyễn Văn Thảo, trường THPT Chuyên Bắc Giang, Bắc Giang (Từ trang 2 đến trang 101) Giải Nhì Chuyên đề Từ góc nhìn của.
MỤC LỤC Giải Nhất: Chuyên đề Số nguyên tố số toán liên quan, tác giả Nguyễn Văn Thảo, trường THPT Chuyên Bắc Giang, Bắc Giang (Từ trang đến trang 101) Giải Nhì: Chun đề Từ góc nhìn ước số, tác giả Nguyễn Văn Thời, trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông, Quảng Nam (Từ trang 102 đến trang 213) Giải Ba: Chuyên đề Vận dụng bổ đề mũ toán số học, tác giả Nguyen Thi Hien – Vu Quoc Anh, trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam (Từ trang 214 đến trang 260) Giải Ba: Chuyên đề Thặng dư bình phương, tác giả Nguyễn Văn Nhiệm, trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa (Từ trang 261 đến trang 327) Giải Ba: Chuyên đề Sử dụng Phi - Hàm Euler để giải toán số học qua kỳ thi Olympic, tác giả Nguyễn Duy Liên, trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc (Từ trang 328 đến hết) CHUYÊN ĐỀ GIẢI NHẤT: SỐ NGUYÊN TỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN CÁC KÍ HIỆU VÀ CỤM CHỮ CÁI VIẾT TẮT Kí hiệu Tên tiếng Anh Tên tiếng Việt IMO International Mathematical Olypiad Kì thi Olimpic Tốn quốc tế VMO Viet Nam Mathematical Olympiad Kì thi học sinh giỏi quốc gia mơn toán Việt Nam IMO SL International Mathematical Olypiad Shortlist Tuyển tập toán danh sách rút gọn đề nghị cho kì thi Olimpic Tốn quốc tế X TST X Team Selection Tests Kì thi chọn đội tuyển X NMO National Mathematical Olympiad Kì thi học sinh giỏi tốn quốc gia TT & TT Tạp chí Tốn học tuổi trẻ HSG Học sinh giỏi HSG QG Học sinh giỏi quốc gia Phần ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Số học phân nhánh tốn học lâu đời Nó hầu hết người thường xuyên sử dụng công việc thường nhật tính tốn khoa học Trong chương trình tốn phổ thơng, số học vốn phân mơn khó Các tốn số học thường xun xuất kì thi học sinh giỏi cấp ln thách thức học sinh Trong toán số học ấy, nhận thấy rằng: tính chất ước nguyên tố thường xuyên sử dụng cách tinh tế đẹp mắt Tuy nhiên, nay, tài liệu viết riêng chun sâu khơng nhiều Điều gây khơng khó khăn việc tiếp cận hướng giải tốn số học Chính vậy, để giải phần khó khăn đó, chúng tơi chọn đề tài “Số ngun tố toán liên quan” để trao đổi thầy em học sinh chun tốn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường THPT chuyên Phần nội dung chuyên đề bao gồm ba chương: - Chương Các toán ước nguyên tố Nội dung chương xoay quanh vấn đề phân tích tắc định lý cổ điển liên quan đến ước nguyên tố số nguyên - Chương Thặng dư bậc hai - Chương Các toán hệ số nhị thức số định lý khác Nội dung xoay quanh tính chất ước nguyên tố hệ số nhị thức khai triển Newton định lý Polignac Trong chương, hệ số ví dụ minh họa đưa từ dễ đến khó theo quan điểm chúng tơi Trong ví dụ thường có định hướng, dẫn dắt có lời giải Điều giúp cho việc học trở nên thuận lợi Mục đích nghiên cứu Đề tài “Số nguyên tố toán liên quan” lựa chọn trao đổi đồng nghiệp tính chất, định lý số nguyên tố, ước nguyên tố số tự nhiên, phân tích tắc, Vận dụng định lý, tính chất giải tốn số học kì thi học sinh giỏi Thơng qua đề tài này, muốn nhấn mạnh, làm rõ tầm quan trọng số nguyên tố toán số học kì thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải toán số học kì thi học sinh giỏi tốn quốc tế, quốc gia Việt Nam nước giới Cung cấp tài liệu nhỏ phương pháp dạy học phân môn số học cho đồng nghiệp dạy chuyên toán, phương pháp tự nghiên cứu cho học sinh chuyên Đối tượng khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh chuyên Tốn, đội tuyển học sinh giỏi quốc gia mơn tốn Phạm vi nghiên cứu - Kiến thức phạm vi chương trình thi học sinh giỏi quốc gia Bộ Giáo dục Đào tạo - Nghiên cứu đề thi học sinh giỏi toán quốc tế học sinh giỏi toán quốc gia nước - Nghiên cứu tài liệu số học có liên quan Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, chương trình Bộ Giáo dục Đào tạo, tài liệu số học hành, tạp chí tốn học ngồi nước, tài liệu từ internet,… - Trao đổi, tọa đàm với giáo viên chuyên học sinh chuyên nước - Tổng hợp, tổng kết kinh nghiệm Phần PHẦN NỘI DUNG Chương Các toán ước số nguyên tố 1.1 Định nghĩa Một số nguyên dương p gọi số nguyên tố, có hai ước số dương Nếu p khơng phải số ngun tố p gọi hợp số Nhận xét: số nguyên tố chẵn 1.2 Một số định lý, bổ đề cần dùng 1.2.1 Định lý ( Định lý số học) Mọi số tự nhiên lớn phân tích cách thành tích thừa số nguyên tố 1.2.2 Định lý (Tính vơ hạn tập số ngun tố) Tập hợp số nguyên tố vô hạn 1.2.3 Định lý Cho p số nguyên tố Nếu p | ab p | a p | b 1.2.4 Định lý (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên tố a số nguyên cho (a, p) = Khi a p−1 1(mod p) Chứng minh Ta xét hệ thặng dư thu gọn mod p A = {1, 2, …, p - 1} Do (a, p) = nên B = {a, 2a, …, (p - 1)a} hệ thặng dư thu gọn mod p Do ta có 1.2 ( p − 1) a.2a ( p − 1)a (mod p) Mà p nguyên tố nên (1.2…(p - 1), p) = Từ ta có điều phải chứng minh 1.2.5 Định lý (Định lý Euler) Cho a số nguyên, n số nguyên dương, (a, n) = Khi a ( a ) 1(mod n) Chứng minh Ta xét hệ thặng dư thu gọn mod n A = { a1 , a2 , , a ( n ) } Do (a, n) = nên B = { a.a1 , a.a2 , , a.a ( n ) } hệ thặng dư thu gọn mod n Do ta có a1.a2 a ( n ) (a.a1 ).(a.a2 ) (aa ( n ) ) a ( a ) a1.a2 a ( n ) (mod n) Kết hợp với ( a1.a2 a ( n ) ,n) = ta dễ dàng suy đpcm 1.2.6 Định lý (Định lý Wilson) Cho p số nguyên tố lẻ Khi ( p − 1)! −1(mod p) Chứng minh (Xin nhường cho bạn đọc) 1.2.7 Bổ đề LTE a) Cho p số nguyên tố lẻ, x y không chia hết cho p, x – y dương Khi p, n số nguyên v p ( x n − y n ) = v p ( x − y ) + v p (n) b) Cho p số nguyên tố lẻ, x y không chia hết cho p, x + y lẻ Khi v p ( x n + y n ) = v p ( x + y ) + v p (n) c) Cho x, y lẻ, n số nguyên dương chẵn Khi p, n số nguyên dương v2 ( x n − y n ) = v2 ( x − y ) + v2 (n) − Chứng minh (Tham khảo “Phạm Văn Quốc – bổ đề LTE”) 1.2.8 Cấp phần tử 1.2.8.1 Các định nghĩa Định nghĩa Cho n > a số nguyên dương, (a, n) = Số nguyên dương k nhỏ thỏa mãn ak ≡ (mod n) gọi cấp a modulo n Kí hiệu k = ordn(a) Định nghĩa Cho n > a số nguyên dương, (a, n) = Nếu (n) = ordn(a) a gọi nguyên thủy modulo n Nhận xét: Từ định nghĩa ta dễ dàng suy +) Nếu a nguyên thủy ( mod n) số lớp với a theo (mod n) nguyên thủy (modn) 1.2.8.2 Các định lý Định lý Cho a, n thỏa mãn n > 1, (a, n) = Khi ax ≡ (mod n) x ordn (a) Chứng minh Giả sử ax ≡ (mod n) Đặt k = ordn (a) Theo thuật toán Euclid ta có x = kq + r, ≤ r < k Khi ≡ ax ≡ (ak)qar ≡ ar (mod n) Suy ar ≡ (mod n) r = (theo định nghĩa) Vậy x k Chiều ngược lại hiển nhiên Hệ Cho a, n thỏa mãn n > 1, (a, n) = Khi (n) ordn (a) Định lí Nếu a nguyên thủy (mod n) tập A = {1, a, a2,…,ah-1} hệ thặng dư thu gọn (mod n) (lúc h = (n)) Định lí Nếu p số ngun tố có (p - 1) nguyên thủy (mod p) Định lít Nếu p số nguyên tố lẻ a nguyên thủy (mod p2) a nguyên thủy (mod pn) với n Định lý (Định lý tồn nguyên thủy) Cho m số nguyên, m > m có nguyên thủy m có dạng sau: 2, 4, p, 2p (trong p số nguyên tố lẻ) (Phần chứng minh định lí trên, xin nhường cho bạn đọc) 1.3 Các ví dụ điển hình Trong mục này, để thuận lợi cho công tác giảng dạy, dựa vào độ phức tạp tốn, tơi chia thành hai phần Phần ví dụ bản, giúp học sinh làm quen dần với dạng toán Phần hai tốn nâng cao, địi hỏi kĩ xử lí tinh tế cập nhật kì thi học sinh giỏi gần 1.3.1 Các ví dụ Trong phần này, đưa ví dụ điển hình tính chất ước ngun tố Vận dụng tính chất vào giải tốn liên quan Tuy nhiên, ví dụ chọn khơng q khó, thường xun xuất Cố gắng giúp học sinh hình thành, phát triển tư phân mơn số học Ví dụ (Đề tham khảo 30/4/2021) Giả sử a, b, c số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình 21a = 43 (b) 21b = 43 (c) 21c = 43 (a) Chứng minh a = b = c Nhận xét: dạng hệ hoán vị vịng quanh nên việc giải hệ thơng thường ta xét a b c sau chứng minh a = b = c Mặt khác, toán liên quan đến phi hàm Euler nên thông thường ta sử dụng phân tích tắc để đánh giá hướng chung Mời bạn theo dõi lời giải sau Lời giải Ta có (21, 43) = a, b, c chia hết cho 43 Do đó, a, b, c 43 Xét phân tích tắc a, b, c sau n m k a = paiai , b = pbi bi , c = pci ci i =1 i =1 i =1 Khi n ( a ) = pa i =1 −1 i ( pai − 1) (43 − 1) Chứng minh tương tự ta (a), (b), (c) chẵn Do (21, 2) = a 2, b c Từ ta có m 21a = 43 (b) = 43.b (1 − i =1 1 ) 43.b(1 − )(1 − ) = 21b pbi 43 a b Chứng minh tương tự ta b c; c a Từ suy a = b = c Ví dụ (Chọn ĐT 10 KHTN 2020) Tìm tất số nguyên tố p cho 3p + 5p – số nguyên tố Nhận xét: Bài toán đơn giản Trước tiên ta thử nghiệm, dự đốn p = 3, sau xét p khác chứng minh 3p + 5p – không số nguyên tố Lời giải cụ thể sau: Lời giải TH1: p = 3k + 1, (k chẵn) ta có 3p + 5p – = 3.27k + 5.125k – 3(-1)k + 5.(-1)k – 0 (mod 7) 2(-1)k + 4(-1)k – 0 (mod 7) Nên 3p + 5p – không số nguyên tố TH2: p = 3k + 2, (k lẻ) ta có 3p + 5p – = 9.27k + 25.125k – Vậy p = 3k p = Thử lại thấy p = thỏa mãn Ví dụ (Chọn ĐT 10 KHTN 2020) Tìm x, y nguyên dương cho 2x + 5y + số phương Nhận xét: Bài giống trên, Tính chất chủ đạo sử dụng ước pn có dạng pk, ≤ k ≤ n Cụ thể ta có lời giải sau: Lời giải Xét x ta có 2x + 5y + (mod 4) 2x + 5y + khơng số phương Do x = Khi ta đặt 5y + = n2 (n -2)(n + 2) = 5y n − = 5a 5b − 5a = a = 0, b = Đến ta suy b n + = Từ tìm (x, y) = (1, 1) Ví dụ (Olimpic KHTN 2014) Tìm tất ba số (x, n, p) với x, n nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn x3 + x = 2( p n − 1) Lời giải Ta có x3 + x = 3( p n − 1) x3 + x + = p n ( x + 1)( x − x + 3) = p n Do d = (x + 1, x2 – x + 3) = (x + 1, (x+1)(x-2) + 5) = (x +1, 5) x + = n x − x + = p Nếu d = 1, x + > x –x + > nên n x + = p x − x + = Từ tìm (x, n, p) =(2, 2, 2) (x, n, p) = (1, 1, 2) Nếu d = x + = 5m Thay vào phương trình ban đầu ta 5m(25m − 15m + 5) = p n p = m(5m − 3m + 1) = 3.5n−2 Nếu m = tính n = 2, x = (x, n, p) = (4, 2, 5) Nếu m 5m2 – 3m + > Do d = (m,5m2 – 3m + 1) = m = 5m2 – 3m + = 5n – vơ nghiệm Vậy ta tìm ba (x, n, p) Ví dụ (Olimpic KHTN 2015) Tìm tất số nguyên tố p cho 3p + 4p số phương Lời giải Ta có 3p + 4p = x2 (x – 2p) (x + 2p) = 3p x + p = p −n p +1 = 3n (3 p −2 n − 1) n = p n x − = Do 2p + = 3p – p = (thỏa mãn) Ví dụ (TH & TT_ T10/507) Tìm số nguyên tố p hai số nguyên dương a, b cho pa + pb số phương Lời giải TH1: a = b suy 2.pa = x2 p = 2, a lẻ (p, a, b) = (2, 2n + 1, 2n + 1), n TH2: a ≠ b Khơng tính tổng qt ta giả sử a > b pb(pa – b + 1) = x2 10 ... thường nhật tính tốn khoa học Trong chương trình tốn phổ thơng, số học vốn phân mơn khó Các tốn số học thường xun xuất kì thi học sinh giỏi cấp ln thách thức học sinh Trong toán số học ấy, nhận thấy... cứu phương pháp giải toán số học kì thi học sinh giỏi tốn quốc tế, quốc gia Việt Nam nước giới Cung cấp tài liệu nhỏ phương pháp dạy học phân môn số học cho đồng nghiệp dạy chuyên toán, phương pháp... ngun tố toán liên quan” để trao đổi thầy em học sinh chun tốn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường THPT chuyên Phần nội dung chuyên đề bao gồm ba chương: - Chương Các toán ước