Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Luận văn Đề tài: Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên ứng dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Nhân dịp luận văn hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn “Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên ứng dụng” hồn thành, khơng trùng với luận văn khác Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2012 Tác giả Kiều Thanh Hà LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm số tính chất 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức 1.1.3 Các tập hợp mặt phẳng phức 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Hàm liên tục 9 1.2.2 Hàm chỉnh hình 10 1.2.3 Chuỗi lũy thừa 15 1.2.4 Tích phân phức 18 1.3 Khai triển tiệm cận 21 1.3.1 Một số khái niệm bậc 21 1.3.2 Dãy tiệm cận 24 1.3.3 Định nghĩa Poincarés khai triển tiệm cận 25 1.3.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 27 1.3.5 Tính chất khai triển tiệm cận 34 Chương HÀM SINH BỞI CHUỖI VÔ HẠN 39 2.1 Lý thuyết phân hoạch 39 2.1.1 Một số khái niệm ví dụ 39 2.1.2 Các hàm sinh tích vơ hạn biến 42 2.1.3 Biểu diễn đồ thị phân hoạch 46 2.2 Các hàm sinh chuỗi vô hạn 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3 Ứng dụng phân hoạch 57 Chương TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VƠ HẠN 62 3.1 Biến đổi Mellin 62 3.1.1 Định nghĩa 62 3.1.2 Ví dụ 63 3.2 Định lý Meinardus 65 3.3 Các ứng dụng định lý 3.1 75 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết phân hoạch có lịch sử lâu thời kỳ hình thành lý thuyết số Tốn học Tuy nhiên, phát mang tính chất đột phá diễn kỷ XVIII, xuất phát từ cơng trình nghiên cứu nhà tốn học vĩ đại Leonard Euler Ngay sau thời kỳ lý thuyết phân hoạch nhiều nhà tốn khác góp sức nghiên cứu phát triển Chúng ta kể để minh chứng cho vấn đề nêu qua cơng trình nghiên cứu nhà tốn học tiếng Cayle, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanujan, Schur Sylvester Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng vấn đề lớn toán học, đáng kể ta nói đến tốn kinh điển phân tích số ngun dạng tổng bình phương, định lý số nguyên tố, tổng số nguyên khác, Cùng với phát triển lĩnh vực lý thuyết số, hướng nghiên cứu hình thành từ sớm lý thuyết giải tích tiệm cận Trong giải tích tốn học nhiều chuỗi số ta chứng minh hội tụ cách đơn giản, nhiên để tính tổng khơng đơn giản Giải tích tiệm cận phần lĩnh vực lý thuyết chuỗi tiệm cận Ở đây, việc quan tâm đến việc tính tổng chuỗi số hội tụ, lý thuyết số nhà tốn học cịn nghiên cứu đến chuỗi phân kỳ sử dụng cho tính tốn giá trị đại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lượng mà theo nghĩa xem "tổng" chuỗi Trường hợp điển hình chuỗi hàm, xấp xỉ số hạng chuỗi thực mang đến hiệu mong muốn Trong hầu hết trường hợp số hạng chuỗi giảm nhanh (khi biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn nó), số hạng bắt đầu tăng trở lại Một hướng nghiên cứu vấn đề gọi lý thuyêt chuỗi tiệm cận Việc nghiên cứu xấp xỉ tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên hướng thu hút ý nhà Tốn học Để hồn thành luận văn đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận Vấn đề khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách cụ thể số khái niệm, tính chất phân hoạch Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên số ứng dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phân hoạch số nguyên Vấn đề khai triển tiện cận hàm sinh phân hoạch số nguyên Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận Nghiên cứu cách có hệ thống khai triẻn tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên số áp dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm số tính chất Số phức số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, kí hiệu x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với số phức z = x + iy, ta xác định modul số phức z |z| = x2 + y Số phức liên hợp số phức z = x + iy kí hiệu z¯ = x − iy Khơng khó khăn, ta kiểm tra Rez = z + z¯ z − z¯ ; Imz = 2i |z|2 = z.¯ z; z¯ = với z = z |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R gọi argument số phức z (argument số phức z xác định cách với sai khác bội số 2π) eiθ = cos θ + i sin θ Bởi eiθ = 1, nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức Dãy số phức {zn } gọi hội tụ đến số phức w ∈ C viết w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = n→∞ n→∞ Dễ dàng kiểm tra w = lim zn ⇔ n→∞    lim Rezn = Rew, n→∞   lim Imzn = Imw n→∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com mở rộng đến nửa mặt phẳng (a1 = −∞) (a2 = +∞) đến toàn mặt phẳng phức a1 = −∞, a2 = +∞) 3.1.2 Ví dụ Ví dụ 3.1 Xét f (t) = H(t − t0 )tn , (3.2) H hàm bước nhảy (hoặc hàm bậc thang) Heaviside, t0 số dương z số phức Biến đổi Mellin f cho ∞ z+s−1 M[f ; s] = t tz+s dt = − z+s (3.3) t0 với s thoả mãn Re(s) < − Re(z) Trường hợp hàm F (s) hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng Ví dụ 3.2 Phép biến đổi Mellin hàm f (t) = e−pt p > (3.4) Theo định nghĩa ta có ∞ e−pt ts−t dt M[f ; s] = (3.5) Sử dụng định nghĩa hàm Gamma, ta có M[f ; s] = p−s Γ(S) (3.6) Bởi hàm Gamma giải tích miền Re(s) > 0, ta suy dải chỉnh hình mặt phẳng ví dụ thứ Như biết, nhiều hàm phân hoạch có tích vơ hạn 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hàm sinh liên kết Nhiều nhà nghiên cứu xem xét tiệm cận hàm phân hoạch Định lý G Meinardus đưa công thức tiệm bao gồm nhiều hàm phân hoạch Xét tích vơ hạn sau thường ta xét đến ∞ ∞ n −an (1 − q ) f (τ ) = r(n)q n , =1+ n=1 (3.7) n=1 q = e−τ Re(τ ) > (hoặc tương đương |q| < 1) Ta thu hẹp an thành số thực không âm Thêm nữa, ta thường xét đến chuỗi Dirichlet ∞ D(s) = n=1 an ; s = σ + it ns (3.8) giả thiết hội tụ miền σ > α, với α số thực dương Hơn nữa, ta giả sử D(s) có thác triển giải tích miền σ ≥ −C0 (0 < C0 < 1) miền D(s) giải tích trừ cực của bậc s = α với thặng dư A Cuối cùng, ta giả sử D(s) = O |t|C1 (3.9) σ ≥ −C0 |t| → ∞, C1 số thực dương cố định Chúng ta sử dụng hàm ∞ an q n ; q = e−τ g(τ ) = (3.10) n=1 π Bây giờ, τ = y + 2πix (x, y ∈ R), ta giả sử với |argτ | > |x| ≤ ta có Re (g(τ )) − g(y) ≤ −C2 y −ε (3.11) với y đủ nhỏ, ε số dương cố định nhỏ tuỳ ý C2 số thực dương 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com chọn thích hợp phụ thuộc vào ε Với định nghĩa theo nghĩa đây, ta phát biểu định lý Meinardus 3.2 Định lý Meinardus Định lý 3.1 Khi n → ∞, ta có r(n) = Cnk exp nα/(α+1) + [AΓ(α + 1)ζ(α + 1)]1/(α+1) α + O(n−k1 ) , (3.12) ∞ ζ(s) = m−s hàm Zeta - Riemann m−1 C = eD (0) [2π(1 + α)]−1/2 [AΓ(α + 1)ζ(α + 1)] 1−2D(0) 2+2α D(0) − − 12 α , k= 1+α α C0 δ k1 = − , −δ , α+1 α δ số thực tuỳ ý , (3.13) (3.14) (3.15) Việc chứng minh định lý dựa áp dụng phương pháp điểm yên ngựa lý thuyết xấp xỉ tiệm cận Để áp dụng phương pháp này, ta cần phải có thơng tin dáng điệu hàm f (τ ) nửa mặt phẳng Re(τ ) > 0, đặc biệt dáng điệu gần τ = Điều cung cấp bổ đề sau Bổ đề 3.1 Với giả thiết hàm f (τ ), D(s) g(τ ) trình bày phần với τ = y + 2πix, f (τ ) = exp[AΓ(α)ζ(α + 1)τ −α − D(0) log τ + D (0) + O(y C0 )] (3.16) 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com theo x y → 0, với điều kiện |arg τ | ≤ π , |x| < ; tồn số dương ε1 cho f (y + 2πix) = O exp[AΓ(α)ζ(α + 1)y −α − C3 y −ε1 ] y → 0, α δ β =1+ 1− ,0 < δ < 2 (3.17) theo x với y β ≤ |x| ≤ (3.18) C3 số thực cố định Chứng minh Chúng ta có ∞ ∞ av log(1 − e log f (τ ) = − −vτ v=1 )= k=1 ∞ av e−vkτ k v=1 (3.19) Bây nhớ lại e−τ phép biến đổi Mellin Γ(s); nghĩa σ0 +i∞ e−τ = 2πi τ −s Γ(s)ds; Re(τ ) > 0, σ0 > (3.20) σ0 −i∞ Từ hội tụ tuyệt đối chuỗi nên việc hốn vị tổng phép lấy tích phân cho phép Do đó, áp dụng (3.20) với hàm mũ (3.19), thấy 1+α+i∞ log f (τ ) = 2πi τ −s Γ(s)ζ(s + 1)D(s)ds (3.21) 1+α−i∞ Bây giờ, mục đích nâng đường lấy tích phân từ Re(τ ) = + α đến Re(τ ) = −C0 Trước hết ta lưu ý hàm dấu tích phân (3.21) có cực điểm đơn s = α, cực điểm bậc hai s = Ngồi ra, ta có res = τ −α Γ(α)ζ(α + 1)A s=α 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com res = τ −α Γ(s)ζ(s + 1)D(s) s=0 1 − γ + + γ + (D(0) + D (0)s + ) s s 1 = + (D (0) − D(0) log τ ) + s s = (1 − s log τ + ) Do đó, thăng dư hàm tích (3.21) s = D (0) − D(0) log τ Như vậy, ta thấy log f (τ ) = AΓ(α)ζ(α + 1)τ −α − D(0) log τ + D (0) −C0 +i∞ + πi τ −s Γ(s)ζ(s + 1)D(s)ds (3.22) −C0 −i∞ phép nâng đường lấy tích phân chuyển từ (3.21) sang (3.22) π chấp nhận với |arg τ | ≤ Ta có τ −s = |τ |−σ exp(t arg τ ) ≤ |τ |−σ exp (π |t| /4) với σ ≥ C0 , D(s) = O |t|C1 Điều nhânhj từ giả thiết kết kinh điển hàm ζ hàm Γ khẳng định ζ(s + 1) = O |t|C4 π Γ(s) = O exp − |t| |t|C3 t → ∞ 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cuối ta nhận xét −C0 +i∞ 2πi τ −s (s)ζ(s + 1)D(s)ds −C0 −i∞ ∞   π exp − |t| |t|C1 +C4 +C3 dt = O |τ |C0 −∞ = O |τ |C0 = O y C0 , (3.23) √ π suy |2πx| ≤ y |τ | ≤ 2y Bây giờ, phương trình (3.16) suy từ (3.22) |arg τ | ≤ Chúng ta chuyển sang phương trình (3.17), ta xét hai trường hợp y (1) y β ≤ |x| ≤ 2π (2) y/2π ≤ |x| ≤ Một hai trường hợp xảy ra, phụ thuộc vào y Thế ta quan tâm đến y tiến đến 0, nên ta giả thiết y đủ nhỏ gần để làm cho hai không rỗng Trong trường hợp 1, ta thấy tan |arg τ | = 2π |x| π ≤ |arg τ | ≤ , y giả thiết Do đó, ta đánh giá (3.22) theo cách thực trước xác định |logf (y + 2πix)| ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)|τ |−α + C6 |logy| (3.24) Các số hạng ngồi mà ta mong muốn vế phải (3.24) tính với C6 |log y|, số hạng khác tầm quan trọng thấp (nhớ y tiến đến 0), nên |log y| trội tất luỹ thừa âm y Với 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com |τ |2 = y + 4π x2 , từ (3.24) thấy log |f (y + 2πix)| ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)y −α + AΓ(α)ζ(α + 1)y −α + 4π x2 y −2 − α2 −1 + C6 |log y| ≤ ΓA(α)ζ(α + 1)y −α − C7 y −α |x|2 y −2 ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)y −α − C7 y −α+2(β−1) (3.25) Tiếp theo bất đẳng thức cuối suy từ nhận xết Y → 0+ (1 + AY )−α/2 − ∼ −αAY /2 |log y| làm trội giá trị âm y y → Bởi (3.18), ta thấy −α + 2(β − 1) = −αδ/2 ≤ ε1 Do đó, trường hợp 1, ta có log |f (y + 2πix)| ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)y −α − C3 y −ε1 (3.26) Điều tương đương với (3.17) Trong trường hợp (nghĩa là, y/2π ≤ |x| ≤ ), thấy từ (3.10) (3.19) ∞ log |f (y + 2πix)| − Re(g(τ )) = k=2 ∞ ≤ k=2 ∞ av e−vky cos(2πkvx) k v=1 ∞ av e−vky k v=1 = log f (y) − g(y) (3.27) 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bởi tất av khơng âm Như vậy, ta có giả thiết cần thiết để áp dụng (3.11) Do trường hợp ta có log |f (y + 2πix)| ≤ log f (y) + Re (g(τ )) − g(y) ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)y −α − C8 y −ε ≤ AΓ(α)ζ(α + 1)y −α − C3 y −ε1 (3.28) Bổ đề chứng minh Bây ta có đầy đủ chuẩn bị để công nhận tiệm cận cho r(n) Chứng minh định lý 3.1 Ta nhớ lại định lý tích phân Cauchy τ0 +2πi r(n) = 2πi f (τ )enτ dτ τ0 f (y + 2πix)eny+2πinx dx = (3.29) − 12 Ta mong muốn áp dụng phương pháp diểm yên ngựa để đánh giá tích phân Do giá trị tuyệt đối cực đại hàm dấu tích phân xảy x = x = 0, bổ đề (3.1) suy hàm dấu tích phân xấp xỉ exp AΓ(α)ζ(α + 1)y −α + ny Phương pháp điểm yên ngựa gợi ý cần cực tiểu hoá biểu thức nàynghĩa là, ta cần phải chọn y cho d exp[AΓ(α)ζ(α + 1)y −α + ny] = dy 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do ta lấy y = n− α+1 (AΓ(α + 1)ζ(α + 1))1/(α+1) (3.30) Để đơn giản hoá mặt ký hiệu, ta định nghĩa m = ny = nα(α+1) [AΓ(α + 1)ζ(α + 1)]1/(α+1) (3.31) Từ (3.29), ta thấy yβ r(n) = em f (y + 2πix)e2πinx dx + em R1 , (3.32) −y β −y β R1 = f (y + 2πix)e2πinx dx + − 21 (3.33) yβ β xác định (3.18) Đoạn tích phân chia thành hai phần theo nghĩa liên quan đến áp dụng phân chia Hardy Ramanujan Farey hàm sinh phân hoạch (chương 5, [2]) Để thực hiểu công thức (3.18) xuất nào, ta lưu ý phép chứng minh bổ đề 3.1 ta sử dụng α + 2(β − 1) số âm nhỏ Do bổ đề 3.1, ta có R1 = O exp m n −α AΓ(α)ζ(α + 1) − C3 m n −ε1 (3.34) n → ∞ (nghĩa y = m/n → 0) Do exp(m)R1 = O exp 1+ m − C9 mε2 α , (3.35) n → ∞ Phương trình (3.35) cho ta đánh giá cho việc tính tốn số hạng thứ 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hai (3.32) Bây ta xử lý đến tích phân Chọn n ≥ n2 ≥ n1 , m β−1 n2 đủ lớn để 2π ≤ (điều hồn tồn β > n m/n → n → ∞) Do đó, theo bổ đề 3.1 ta có β (m/n) r(n) = exp 1+ m + D (0) α exp (φ1 (x)) dx + exp(m)R1 , −(m/n) β (3.36) 2πixn 1+ m m φ1 (x) = α −α − + 2πinx − D(0) log C0 + O m− α m + 2πix n (3.37) Lưu ý việc chọn n1 bảo đảm qua suốt đoạn lấy tích phân π |x| ≤ việc chọn n2 đảm bảo τ ≤ hồn tồn Bây ta thực phép đổi biến 2πx = (m/n)ω thu r(n) = exp 1+ m m − (D(0) − 1) log + D (0) − log 2π I α n + exp(m)R1 , (3.38) exp (φ2 (ω)) dω, (3.39) C10 m(1−β)/α I= −C10 m(1−β)/α φ2 (ω) = m 1 + iω α − α(1 + iω) α − D(0) log(1 + iω) + O m−C0 /α , (3.40) m → ∞ Vần đề ta quy việc thu khai triển tiệm cận đối 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với I Trước hết C10 m(1−β)/α exp − I= m(α + 1) ω dω + R2 , (3.41) −C10 m(1−β)/α C10 m(1−β)/α exp − R2 = m(α + 1) ω [exp (φ3 (ω)) − 1] dω, (3.42) −C10 m(1−β)/α với 1 α+1 + iω + ω α − α(1 + iω) α φ3 (ω) = m C0 − D(0) log(1 + iω) + O m− α , (3.43) m → ∞ Với n ≥ n3 ≥ n2 chọn n3 đủ lớn để |ω| < tồn đoạn lấy tích phân Từ 1 α+1 m + iω + ω α − α(1 − iω) α =m = m α α j≥3 j≥0 α+j−1 α+1 (−1)j ij ω j − + iω + ω j α α+ 3(1−β) α+j−1 (−1)j ij ω j = O(m|ω|3 ) = O m α , j (3.44) log(1 + iω) = − j≥1 1−β (−1)j ij ω j = O (m |ω|) = O m α j (3.45) Do đó, m → ∞ ta có exp (φ3 (ω)) − = O (|φ3 (ω)|) =O m [α+3(1−β)] α +m 1−β α C0 + m− α = O(m−µ1 ), (3.46) 73 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C0 3δ , − (3.47) 2 Vì độ dài đoạn lấy tích (3.42) O m(1−β)/α , ta thấy µ1 = m → ∞ ta có R2 = O(m−µ2 ), (3.48) C0 δ + − ,1 − δ α Như tích phân (3.41) ta thấy µ2 = (3.49) C10 m(1−β)/α exp − m(α + 1) ω dω −C10 m(1−β)/α = − 21 m(α + 1) C11 mδ/4 exp(−z )dz − C11 mδ/4 2π = m(α + 1) δ + O m− exp −C12 m (3.50) Từ (3.32), (3.49), (3.35), (3.41), m → ∞, có 2π I= m(α + 1) + O(m−µ3 ) , (3.51) C0 δ − , −δ α Cuối từ (3.32), (3.35), (3.49), (3.52), ta thấy µ3 = r(n) = exp 1+ (3.52) 1 m m − (D(0) − 1) log + D (0) (2πm(α + 1))− α n × (1 + O(m−µ3 )) , (3.53) m → ∞ Sử dụng (3.31) để thay m hàm n, ta thu cơng thức (3.12) Định lý 3.1 chưng minh 74 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.3 Các ứng dụng định lý 3.1 Định lý 3.2 (Phương trình 5.1.2, [2]) Ta có √ exp π P (n) ∼ 4n 3 n2 Chứng minh Trong định lý 3.1, đặt an = 1; với n r(n) = p(n), D(s) = ζ(s), ζ (0) = −1 log(2π), ζ(0) = − 2 −1 g(τ ) = (1 − e−τ ) Dễ dàng kiểm tra điều kiện liệt kê (3.9)-(3.11) kết suy từ định lý 3.1 Định lý 3.3 Cho Hk,a ký hiệu tất số nguyên dương đồng dư với a modul k Khi đó, với ≤ a ≤ k ta có P ( Hk,a 2n , n) ∼ Cnk exp π 3k , C=Γ a ( αk )−1 −( 32 )−( 2kα ) − + α π k 2k k k=− a 1+ k Kết suy cách chứng minh định lý 3.1 (n + h)−s hàm Zeta Bây D(s) = k −s ζ(s, a/k), ζ(s, h) = n≥0 −aτ Hurwitz g(s) = e −kτ −1 (1 − e ) 75 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau Trình bày số kiến thức lý thuyết hàm số biến số phức lý thuyết tiệm cận khái niệm so sánh bậc hàm; dãy tiệm cận; chuỗi tiệm cận tính chất chuỗi tiệm cận Nghiên cứu cụ thể khái niệm; tính chất; đồ thị hàm phân hoạch Các khái niệm; tính chất hàm sinh ứng dụng Giới thiệu cách phân hoạch số nguyên; khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót định, nên tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo bạn Xin chân thành cảm ơn! 76 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] L V Ahlfor (1979), Complex analysis, New York, third edition [2] George E Andrews (1796), The theory of partitions, Addison - Wesley Publishing Company [3] I Avramidi (2000), Lecture Notes on Asymptotic Expansion, New Mexico Institute of Mining and Technology [4] H S W Philadelphi, PA (2000), Lectures on Integer Partitions, University of Pennsylvania 77 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tài "Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận Vấn đề khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên. .. thể số khái niệm, tính chất phân hoạch Khai triển tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên số ứng dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phân hoạch. .. góp luận văn Trình bày lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận Nghiên cứu cách có hệ thống khai triẻn tiệm cận hàm sinh phân hoạch số nguyên số áp dụng LUAN VAN CHAT LUONG download