SKKN Rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước, cho học sinh lớp 9 bậc THCS 1 MỤC LỤC Trang 1 Mở đầu 1 1[.]
MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận, kiến nghị 20 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Những năm gần đây, đề thi vào lớp 10 mơn tốn có dạng tốn tìm tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước Đây dạng tốn khó chương trình tốn lớp Bởi vì, việc giải tốn địi hỏi phải vận dụng linh hoạt kiến thức phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét, quan hệ đường thẳng Parabol, đẳng thức đáng nhớ nhiều phép biến đổi linh hoạt Tuy nhiên, sách giáo khoa, sách tập khơng có tập dạng Chính vậy, học sinh thường hoang mang gặp dạng tốn Các em khơng biết phải đâu, trình bày nào, vận dụng kiến thức gì, đặc biệt học sinh trung bình, yếu Cịn học sinh giỏi, chun đề tốn em yêu thích, say mê học tập Trong trình giảng dạy mơn tốn ơn thi vào lớp 10 tơi nhận thấy rằng, việc tìm giao điểm đường thẳng parabol khơng lấy làm khó, cần thay vào cơng thức tính tốn xong Nhưng dạng tập có chứa tham số m, việc tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước thực khó khăn Vì vậy, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kĩ giải dạng tốn tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước, cho học sinh lớp bậc THCS, nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn nói chung đặc biệt nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 1.2 Mục đích nghiên cứu Giáo viên tìm cách hướng dẫn dễ hiểu, dễ nhớ để giúp học sinh giải thành thạo tốn “Tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước” với hi vọng nâng cao chất lượng mơn tốn, đặc biệt nâng cao chất lượng thi vào 10 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc hướng dẫn để học sinh lớp ôn thi vào lớp 10 giải dạng toán nêu đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, xây dựng sở lí thuyết; - Phương pháp điểu tra khảo sát thực tế - Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh; - Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá học sinh; - Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề: + Phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng ax bx c Trong x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a SangKienKinhNghiem.net Công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai ax bx c ( a ) Phương trình bậc hai b ac ( b 2b ) b 4ac * Nếu phương trình có hai * Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt b b ; x2 a a phương trình có * Nếu phương trình có b b nghiệm kép x1 x nghiệm kép x1 x 2a a * Nếu phương trình vơ nghiệm * Nếu phương trình vơ nghiệm b ; 2a * Nếu x1 x2 b 2a x1 + Hệ thức Vi –ét Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) b S x1 x a P x x c a + Một số điều kiện liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai: - Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt S P - Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt S P - Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu P < (Khi hiển nhiên ) + Đồ thị hàm số y = a x b ( a 0) Đồ thị hàm số y = a x b ( a 0) đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, song song với đường thẳng y = ax b , trùng với đường thẳng y = ax b = + Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O - Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị - Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị + Mối quan hệ đồ thị hàm số y = a x b (d) đồ thị hàm số y = ax2 (P) Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình ax ax b ax ax b (1) - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt; - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép đường thẳng (d) tiếp xúc với (P); - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm đường thẳng (d) khơng cắt (P) SangKienKinhNghiem.net 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đối với giáo viên: + Thn lợi: Là giáo viên trẻ, có trình độ chun mơn vững, có 10 năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn ơn thi vào lớp 10 nên trình dạy, thân nắm bắt việc học sinh tiếp thu mảng kiến thức nào, học sinh giải thành thạo dạng toán dạng em hay mắc sai lầm + Khó khăn: Dạng tốn tìm điều kiện tham số, để đường thẳng cắt Parabol hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước dạng tốn khó cấu trúc ơn thi mơn tốn vào lớp 10 Với nhiều tập phong phú đa dạng sách giáo khoa toán SBT tốn khơng có tập dạng này, có vài tài liệu ơn thi vào lớp 10, học sinh tiếp cận dạng tốn vừa nêu Chính vậy, địi hỏi người giáo viên phải tự tìm tịi, nghiên cứu nhiều tài liệu, xếp theo chủ đề, dạng để cung cấp cho học sinh Đối với học sinh: + Thuận lợi: Đa số học sinh lớp trường ngoan, có ý thức vươn lên học tập Phụ huynh học sinh quan tâm tạo điều kiện mua đầy đủ sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo cho em học + Khó khăn: Một phận học sinh trung bình, yếu lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, làm việc rập khuôn, giao tập nhà em thường chép sách giải, chép bạn Vì thế, kĩ giải tốn em hạn chế, nhiều em chưa nắm vững kiến thức vận dụng để giải tập được, mà lại dạng tập khó, địi hỏi vận dụng linh hoạt kiến thức, kĩ năng, phân tích tổng hợp, tư duy…… Trước áp dụng đề tài, khảo sát học sinh với tốn sau: Bài Tìm giá trị m để đường thẳng y = 2x + m - cắt Parabol y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1 + x2 – 2x1x2 = 10 Bài Tìm giá trị m để đường thẳng y = 6x – m cắt Parabol y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1 – x2 = Bài Tìm giá trị m để đường thẳng y = 2(m - 2)x + cắt Parabol y = x2 hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x12 x 22 =18 Kết thu được: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 9A 35 2,9 11,4 10 28,6 20 57,1 9B 35 2,9 8,6 13 37,1 18 51,4 2.3 Giải pháp tổ chức thực Từ nguyên nhân, thực trạng tình hình thực tiễn nêu trên, thân tơi cố gắng tìm tịi tập xếp tập theo dạng từ dễ đến khó, dạng đưa phương pháp giải ví dụ minh họa từ đơn giản đến phức tạp, ý sai lầm học sinh hay mắc phải Sau dạng đưa tập củng cố để học sinh tự rèn luyện SangKienKinhNghiem.net Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ trái dấu, dấu Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện tham số để phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm trái dấu, dấu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có: a) hồnh độ trái dấu b) hồnh độ dương Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 4x + m x2 - 4x - m = (1) Ta có: = + m a) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm có hồnh độ trái dấu phương trình (1) có nghiệm trái dấu Khi đó: P m m (Hiển nhiên 0) Vậy với m > đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm có hồnh độ trái dấu b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương 4 m m 4 Khi S 4 4 m m P m Vậy với m đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm có hồnh độ dương Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= -2x + m - Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ âm Giải: Hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x 2 x m x x m (1) Ta có: m m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ âm phương trình (1) có hai nghiệm âm Khi đó: x1 x x x m m 5m6 m m Vậy với < m < đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm có hồnh độ âm Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ thỏa mãn hệ thức chứa hai nghiệm phương trình hồnh độ SangKienKinhNghiem.net Dạng này, chia thành dạng nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức, dạng toán xếp từ dễ đến khó theo hệ thức chứa hồnh độ giao điểm Sau dạng tốn có lưu ý cách giải sai lầm học sinh mắc phải… Dạng 2.1 Hệ thức chứa sẵn tổng tích hai nghiệm phương trình hồnh độ Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Thay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm vào hệ thức cho giải phương trình với ẩn m - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm kết luận Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x – 2m Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: a) x1 x x1 x 5 b) 3x1 x x1 x 10 c) x1 x 2 3x1 x d) ( x1 x ) x1 x Giải Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x x 2m x x 2m (1) Ta có: 8m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 Khi đó: 8m m (*) x1 x x1 x 2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a) Theo đề bài: x1 x x1 x 5 2m 5 2m 6 m 3 (TMĐK *) Vậy với m = -3 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x x1 x 5 b)Ta có: 3x1 x x1 x 10 3.1 5.2m 10 10m m 7 (TMĐK *) 10 7 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hoành độ 10 x1, x2 thỏa mãn 3x1 x x1 x 10 Vậy m c) Ta có: x1 x 2 3x1 x 12 3.2m 6m m 1 (TMĐK*) Vậy m = -1 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x 2 3x1 x d) Ta có: ( x1 x ) x1 x ( x1 x ) ( x1 x ) SangKienKinhNghiem.net 2m 4m m Ta thấy m Vậy m 3 không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại 3 giá trị cần tìm Sai lầm học sinh hay mắc phải Ở câu (d) học sinh quên điều kiện để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt, nên tìm m 3 kết luận Vậy m giá trị cần 2 tìm Giáo viên cần lưu ý học sinh, sau tìm giá trị m ta phải đối chiếu với điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm kết luận Dạng 2.2 Hệ thức khơng chứa sẵn tổng tích hai nghiệm có hệ số x1 ; x x12 ; x22 x13 ; x23 1 ; ……bằng x1 x2 Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Biến đổi hệ thức cho dạng chứa tổng tích hai nghiệm (Đây bước khác với dạng 2.1) - Thay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm vào hệ thức cho giải phương trình với ẩn m - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2mx + Parabol (P): y = -2x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x12 x 22 4( x1 x ) Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x 2mx x 2mx (1) Ta có: m Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x m (*) > hay m m m x1 x m Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 x Theo đề : x12 x 22 4( x1 x ) x1 x 2 x1 x 4x1 x m 4( m) m 4m (2) SangKienKinhNghiem.net Giải phương trình (2) ta được: m1 (TMĐK *); m2 (TMĐK *) Vậy m = 1; m = giá trị cần tìm Sai lầm học sinh hay mắc phải: Từ m m m nên tìm m = (KTMĐ) VÝ dô 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m + Parabol (P): y = - x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn 1 b) x1 x a) x1 x 2 = 10 x1 x d) x13 x 23 5( x12 x 22 ) 16 c) x x 28 3 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x x m x x m (1) Ta có: m m Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x > hay m m (*) Với m < đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ x1, x2 x1 x 4 x1 x m Theo định lý Vi-ét, ta có: a) Theo đề bài: x1 x 2 = 10 x1 x 2 x1 x 10 2m 1 10 2m 4 m (TMĐK *) Vậy m đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x 2 = 10 1 b)Theo đề x1 x Ta có: x1 x 1 x1 x x1 x x x1 x x x ( Điều kiện m +1 m 1 (**)) x x x2 x1 x x1 x x x x 4 (m 1) 4(m 1) m 2m (m 1) m m (TMĐK * **) Vậy m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hoành độ 1 x1, x2 thỏa mãn x1 x x1 x c) Theo đề x13 x 23 28 Ta có: x13 x 23 28 x1 x 3 3x1 x x1 x 28 (4) 3(m 1).(4) 28 12m 24 m (TMĐK *) SangKienKinhNghiem.net Vậy m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x13 x 23 28 d) Theo đề bài: x13 x23 5( x12 x22 ) 16 Ta có: x13 x 23 5( x12 x 22 ) 16 x1 x 3 3x1 x x1 x 5x1 x 2 x1 x 16 (4) 3.(4)(m 1) (4) 2.(m 1) 16 64 12m 12 80 10m 10 16 2m 2 m 1 (TMĐK *) Vậy m 1 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x13 x 23 5( x12 x 22 ) 16 Lưu ý: Trong trình biến đổi, ta cần sử dụng đẳng thức sau: x12 x 22 x1 x x1 x 2 x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Dạng Hệ thức khơng chứa sẵn tổng tích hai nghiệm, có hệ số x1 ; x x12 ; x22 x13 ; x23 1 ; …… không x1 x2 Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Từ tổng hai nghiệm, ta biểu diễn nghiệm theo nghiệm thay vào hệ thức cho tìm nghiệm Sau thay hai nghiệm tìm theo m vào tích hai nghiệm tìm m - Đối chiếu điều kiện kết luận Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 6x - m Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn: x1 x Giải: Cách 1: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x x m x x m (1) Ta có: m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x Khi đó: m m (*) x1 x Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x x x m (2) (3) (4) Giải hệ gồm hai phương trình (2) (3) ta được: x1 ; x Thay x1 ; x vào (4) ta được: m 5.1 (TMĐK *) Vậy m = giá trị cần tìm Cách 2: Ta biến đổi hệ thức x1 x dạng chứa tổng tích hai nghiệm sau: SangKienKinhNghiem.net x1 x x1 x1 x x1 x1 x x1 x x1 x x x x1 x (5) (6) Nhân vế với vế (5) (6) ta được: x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x 16 4m 36 16 m 5(TM ) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 5m - Parabol (P): y = - x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 3x2 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x (m 1) x 5m x (m 1) x 5m (1) Ta có: m 12 4(5m 6) m 22m 25 Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó: > hay m 22m 25 (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 (2) x x m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: (3) x1 x 5m x1 x2 m - Giải hệ phương trình x1 3m x2 4m ta (4) 4 x1 x2 Thay (4) vào (3) ta được: 3m 23 4m 5m 9m 12m 8m 5m m (TMĐK *) 12m(m 1) m Vậy m 0;1 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 3x2 Cách 2: Ta biến đổi hệ thức x1 3x2 dạng chứa tổng tích hai nghiệm sau: x1 x2 x1 x1 x x1 3x1 x (5) x1 x2 x1 x x x 4x1 x (6) Nhân vế với vế (5) (6) ta được: x1 x 1 3x1 x .4x1 x 1 x1 x 7x1 x 12x1 x 12m 12m 5m 7(1 m) 12(1 m) m 12m(m 1) (TMĐK *) m Vậy m 0;1thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 3x2 Lưu ý: Trong trường hợp tìm điều kiện tham số để phương trình cho có nghiệm mà phức tạp, ta không cần giải cụ thể, ta cần tìm giá trị m thỏa 10 SangKienKinhNghiem.net mãn hệ thức chứa nghiệm Sau thay giá trị m tìm vào điều kiện phương trình có nghiệm kết luận Ở toán trên, việc giải bất phương trình m2 - 22m + 25 > (*) thật khó khăn với học trung bình Vì vậy, q trình giải tốn, giáo viên khơng u cầu học sinh tìm m thỏa mãn điều kiện (*), cần học sinh tìm m thỏa mãn x1 x2 , thay giá trị tìm vào (*), thỏa mãn giá trị giá trị cần tìm, khơng thỏa mãn loại Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 5x + m - Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: x12 x Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = 5x + m - x2 – 5x – m + = (1) Ta có: 25 4(7 m) = 4m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x Khi đó: 4m m (*) x1 x x1 x m (2) )) (3) Theo hệ thức Vi – ét, ta có : Từ (2) suy : x2 = - x1 Thay x2 = - x1 vào x12 x (gt) ta được: x12 45 x1 x12 x1 21 (4) Giải phương trình (4) ta tìm được: x1 7;3 + Với x1 = -7 x2 = 12 -7.12 = - m +7 m = 91 (TMĐK *) + Với x1 = x2 = 3.2 = - m +7 m = (TMĐK*) Vậy với m 91;1 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: x12 x Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: x12 x x1 x 12 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x x m x x m (1) Ta có: m m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 ; x Khi đó: m m (*) (2) x x Theo hệ thức Vi- ét, ta có: (3) x1 x m 11 SangKienKinhNghiem.net Từ (2): x1 x x x1 Thay x x1 vào hệ thức x12 x x1 x 12 ta được: x12 2(2 x1 ) x1 (2 x1 ) 12 x12 x1 x1 x1 12 x1 8 x1 2 Suy ra: x Thay x1 2 x vào (3) ta được: -2.4 = m – m = - (TMĐK*) Vậy với m = -5 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: x12 x x1 x 12 Dạng 2.4 Hệ thức có chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Biến đổi hệ thức cho dạng chứa tổng tích hai nghiệm - Thay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm vào hệ thức cho giải phương trình với ẩn m - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx - Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x mx x mx (1) Ta có: m 12 Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt m Khi đó: m 12 m 2 x x m Theo hệ thức Vi- ét, ta có: x1 x2 (*) Theo đề bài: x1 x x1 x2 2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 m 4.3 m 16 m = (TMĐK*) m = - (TMĐK*) Vậy m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x Lưu ý: Ta biến đổi hệ thức x1 x sau: Ta có: x1 x x1 x x1 x 2 Đến tốn giải Ví dụ 1, dạng 2.3 Nhận xét: Cách biến đổi sau dài dòng 12 SangKienKinhNghiem.net Sai lầm học sinh hay mắc phải: - Khi giải điều kiện: m 12 m (thiếu trường hợp m 2 ) nên tìm m = - loại - Khi giải phương trình m2 = 16 nhiều em tìm m = (thiếu trường hợp m = - 4) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) y = 2(m + 2)x – m2 + Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x 2m x m x 2m x m (1) Ta có: (m 2) m 4m 13 Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt 13 (*) x x 2m Theo hệ thức Vi - ét, ta có : 2 x1 x m Theo đề : x1 x2 x1 x2 (Điều kiện: x1 x2 2m m 2 (**)) Khi đó: 4m 13 m Ta có : x1 x2 x1 x2 x1 x x1 x 2 2 2 x1 x1 x x x1 x1 x x 2 x1 x x1 x – = m = m = - Với m = - không thỏa mãn điều kiện (**) nên loại Vậy với m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Lưu ý: Vì x1 x mà x1 x2 x1 x2 nên cần phải có điều kiện x1 +x2 Sai lầm học sinh mắc phải ví dụ thiếu điều kiện x1 +x2 nên giá trị m = -3 giá trị cần tìm: Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x 2m 1x x 2m 1x (1) Ta có: (m 1) với m Vì m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1, x2 m2 x1 x 2(m 1) x1 x 3 Theo hệ thức Vi - ét, ta có : 13 SangKienKinhNghiem.net Theo ta có: x1 x x1 x x12 x1 x x 22 16 x1 x x1 x x1 x 16 2m 1 2.(3) 16 2 m (m 1) m 1 2m 1 m m Vậy với m = 0; m = đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x Sai lầm học sinh hay mắc phải Từ (m 1) m m , nên thiếu trường hợp m – = -1 m Dạng 2.5 Hệ thức có chứa thức bậc hai Phương pháp giải Tương tự dạng 2.4 Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ( m – 2)x +3 Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: x12 2018 x1 x 22 2018 x Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x (m 2) x x m x (1) Ta có: m 22 12 m Vì m nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 x1 x2 m x1 x2 3 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Theo ta có: x12 2018 x1 x 22 2018 x x12 2018 x 22 2018 x1 x x 2018 x22 2018 ( x1 x2 ) x12 2018 x12 2018 x 22 2018 x 22 2018 x12 x1 x x 22 2018 x12 2018 x 22 2018 2018 2.(3) x (Vì x1 x 3 ) 2018 x 22 2018 2021 ( x 2018)( x 2018) 20212 x x 2018( x12 x 22 ) 2018 20212 (3) 2018 x12 x 22 2018 20212 2 2 2 x12 x22 x1 x x1 x m 2.(3) m m m (TM) 2 Vậy m = giá trị cần tìm Nhận xét: - Khó khăn giải tốn biểu thức cồng kềnh, số lớn, nhiều em khơng có kĩ biến đổi nên thường không giải 14 SangKienKinhNghiem.net - Khi biến đổi hệ thức chứa thức, thông thường ta chuyển thức sang vế bình phương hai vế giải tiếp Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có tung độ thỏa mãn hệ thức cho trước Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Tính y1; y2 theo x1; x2 (Tùy theo ta tính y1; y2 theo cơng thức y = ax2 y = ax b ) - Thay y1; y2 vào hệ thức cho biến đổi hệ thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm - Thay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm vào hệ thức giải phương trình với ẩn m - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3mx - Parabol (P): y = - x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt cho tổng hai tung độ hai giao điểm – 10 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x 3mx x 3mx (1) Ta có: 9m 12 0m Vì với m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Khi đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 x1 x2 3m x1.x2 3 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Vì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt cho tổng tung độ hai giao điểm – 10 nên ta có: y1 y2 10 Cách 1: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng y1 y2 10 Ta có: (3mx1 3) (3mx 3) 10 (Vì y1 3mx1 ; y 3mx ) 3m( x1 x ) 4 3m(3m) 4 9m m Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình Parabol y1 y2 10 Ta có: x12 ( x22 ) 10 ( Vì y1 x12 ; y x 22 ) x1 x x1 x 10 3m 2.(3) 10 9m m Vậy m đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt cho tổng hai tung độ hai giao điểm – 10 15 SangKienKinhNghiem.net Nhận xét: Trong toán trên, ta tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng việc giải đơn giản Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y m 1x Parabol (P): y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có tung độ y1 ; y thỏa mãn: y1 y y1 y Giải Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x (m 1) x x (m 1) x (1) Ta có: (m 1) 16 với m Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khi đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x x1 x m x1 x 4 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Cách1: Tính y1, y2 theo phương trình Parabol Theo ta có: y1 y y1 y x12 x 22 x12 x 22 (Thay y1 x12 ; y x 22 ) x1 x x1 x x1 x m 1 2.(4) (4) 2 2 m 2 m 2 m 1 m 2 m 2 Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng Theo ta có: y1 y y1 y (m 1) x1 (m 1) x (m 1) x1 4(m 1) x 4 (thay y1 (m 1) x1 ; y (m 1) x ) (m 1)( x1 x ) (m 1) x1 x 4(m 1)( x1 x ) 16 3(m 1)( x1 x ) (m 1) x1 x m 2 m 2 3(m 1) 4(m 1) m 1 m 2 m 2 Vậy với m 2 ; m 2 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có tung độ y1 ; y thỏa mãn: y1 y y1 y Nhận xét: Khác với ví dụ 1, ví dụ ta tính y1 ; y theo phương trình Parabol việc giải đơn giản Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có hồnh độ tung độ thỏa mãn hệ thức cho trước Phương pháp giải tương tự dạng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y x m Parabol (P): y x Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) điểm phân biệt có tọa độ x1 ; y1 và x ; y thỏa mãn: x1 x ( y1 y ) 48 Giải: 16 SangKienKinhNghiem.net Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x x m x x 2m Ta có: 2m 2m (1) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 Khi đó: 2m m (*) x1 x2 x1.x2 2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Theo ta có : x1 x ( y1 y ) 48 x1 x (2 x1 m x m 1) 48 (Thay y1 x1 m 1; y x m ) x1 x 2x1 x 2m 2 48 2m 2.4 2m 2 48 m 6m (2) Giải phương trình (2) ta được: m1 = -1(TMĐK*); m2 = (KTMĐK *) Vậy m = -1 giá trị cần tìm Ví dụ Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d): y x m cắt Parabol (P): y x điểm phân biệt có tọa độ x1 ; y1 và x ; y thỏa mãn: x1 x y1 y 2m Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 = x + m – x x m (1) Ta có: 4(m 1) 4m Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 (*) x x Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x2 m Khi đó: 4m m Cách : Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng Theo đề bài: x1 x y1 y 2m x1 x ( x1 m 1) ( x m 1) 2m (Vì y1 x1 m , y x m ) x1 x ( x1 x ) 2m 2m m 2m 2m m (TMĐK *) Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình Parabol Theo đề bài: x1 x y1 y 2m x1.x2 x12 x22 2m ( Vì y1 x12 ; y x 22 ) x1 x2 x1 x2 2m ( m 1) 2m m (TMĐK *) Vậy m = giá trị cần tìm 17 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ : Cho Parabol (P): y = - x đường thẳng (d): y = mx – Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 Phân tích tốn Ở tốn hệ thức AB = 10 không chứa x1 ; x ; y1 ; y Vậy làm để biến đổi hệ thức dạng chứa x1 ; x ; y1 ; y ? Ta sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai điểm biết tọa độ chúng Cho hai điểm A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Khi AB = x2 x1 2 y2 y1 2 Giải : Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x mx x 2mx Ta có: m với m (1) Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x nên đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt A(x1 ; y1); B(x2 ; y2) x1 x2 2m x1.x2 4 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Theo ra, ta có : AB = 10 x2 x1 2 y2 y1 2 10 x2 x1 2 y2 y1 2 160 2 x x1 mx mx1 160 (Vì y1 mx1 ; y mx ) 2 x x1 mx x1 160 x x1 1 m 160 2 x x1 x1 x 1 m 160 2m 4. 1 m 160 (4m 16)(1 m ) 160 4m 20m 144 (2) Giải phương trình (2) ta được: m2 = 4; m2 = - (loại) Với m2 = suy m = Vậy với m = (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm cho hệ thức chứa hoành độ giao điểm đạt cực trị Phương pháp giải: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 = ax b (1) - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 - Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét - Biến đổi biểu thức cho dạng chứa tổng tích hai nghiệm - Thay tổng hai nghiệm tích hai nghiệm vào hệ thức cho tìm cực trị - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d) y = 2(m + 4)x – m2 + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho x A x B x A x B đạt giá trị lớn Giải: m 5m 36 18 SangKienKinhNghiem.net Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 =2( m + 4) x – m2 + x 2(m 4) x m (1) Ta có: (m 4) (m 8) 8m 24 Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt A B có hồnh độ là: xA; xB phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Khi : 8m 24 m 3 x A x B 2(m 4) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x A x B m Do đó: x A x B x A x B = 2(m 4) (m 8) m 2m 16 17 (m 2m 1) = 17 (m 1) 17 với m Dấu “=” xảy m m 1(TM ) Vậy với m = đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho x A xB x A xB đạt giá trị lớn giá trị lớn là: 17 Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = - x đường thẳng (d) y = mx – m – Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho x A2 xB x A xB2 đạt giá trị nhỏ Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x mx m x 4mx 4m (1) Ta có: 4m 4m 2m 12 với m Do đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt A B có hồnh độ xA; xB x A xB 4m x A xB 4m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: x A2 x B x A x B2 x A x B x A x B 4m 84m 16m 32m = 16m 12 16 16 với m Dấu “ =” xảy m + = m 1 Vậy với m = -1 để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho x A2 xB x A xB2 đạt giá trị nhỏ giá trị nhỏ là: -16 Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = 2x đường thẳng (d) y (m 3) x m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức M = x A x B đạt giá trị nhỏ Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x (m 3) x m x (m 3) x m (1) Ta có: (m 3) 8m m 2m (m 1) 8m Vì 0m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Do đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt A B có hồnh độ là: xA; xB 19 SangKienKinhNghiem.net m3 x A x B Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x m A B Xét M x A x B x A2 x A x B x B2 x A x B 2 x A x B 2 m m 2m m m 3 = 2m m 1 m 1 Dấu “=” xảy Khi M M (Vì M = x A x B ) Vậy với m = để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức M = x A x B đạt giá trị nhỏ giá trị nhỏ biểu thức M Sai lầm học sinh hay mắc phải là: Từ M M Suy ra: giá trị nhỏ biểu thức M - đạt m = Nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh không ý đến M = x A x B Bài tập áp dụng: Bài Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) y 2(m 1) x m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 đối Bài Cho Parabol (P): y = - x đường thẳng (d) y (2m 1) x 2m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x 5 x x1 5 33 Bài Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) y 2m 1x m m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn a) 1 4 x1 x b) x1 x1 x x x 3x1 Bài Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) y 2(m 1) x m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12 x 22 16 m3 x đường thẳng (d) y = x – Tìm m để (d) 2 cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x13 x 23 Bài Cho Parabol (P): y = Bài Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d) y 10mx 9m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x1 x Bài Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) y x m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x12 x1 x 3x Bài Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d) y mx m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho a) biểu thức M = 2x A2 x B2 x A x B đạt giá trị nhỏ b) biểu thức M = x A x B x A x B 2 đạt giá trị lớn 20 SangKienKinhNghiem.net ... mãn điều kiện cho trước thực khó khăn Vì vậy, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kĩ giải dạng toán tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện. .. thức nào, học sinh giải thành thạo dạng toán dạng em hay mắc sai lầm + Khó khăn: Dạng tốn tìm điều kiện tham số, để đường thẳng cắt Parabol hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước dạng tốn khó cấu... rằng, việc tìm giao điểm đường thẳng parabol không lấy làm khó, cần thay vào cơng thức tính tốn xong Nhưng dạng tập có chứa tham số m, việc tìm điều kiện tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm