Sáng kiến kinh nghiệm Tham số trong phương trình và bất phương trình vô tỉ50042

SKKN : THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GV : VŨ HỮU VIÊN Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu C.NỘI DUNG : Lời giải cho toán sau cần vận dụng kiến thức chương trình đại số lớp 10, tư tưởng hàm số đồ thị tiếp cận khai thác cách thích hợp Vấn đề Giải biện luận phương trình, bất phương trình vơ tỉ: Đây nhiệm vụ tối thiểu phải hoàn thành học sinh, vấn đề nên đưa tập mức độ thích hợp với đối tượng Bài toán 1: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: a)  x  m x2   m b) c) mx   m  Phân tích: Nhóm tập nói không yêu cầu điều kiện ẩn biến đổi tương đương Mục đích kiểm tra kiến thức bản, lồng ghép nhiều dạng f ( x; m)  g (m) (1) TH1: g (m)  : phương trình (1) vơ nghiệm; TH2: g (m)  0, pt (1)  f ( x; m)  g (m)  Câu 1.a: Yêu cầu kiến thức đơn giản Câu 1.b: Kết hợp với kiến thức phương trình bậc thu gọn, khơng điều kiện Câu 1.c: Kết hợp với kiến thức phương trình ax = b, khơng điều kiện Bài tốn 2: Giải biện luận theo tham số m phương trình sau: a) x2  x  m   x c) x  2(m  1) x  m  x  m b) x  mx   x d)* x   mx  Phân tích: Các tập có yêu cầu điều kiện ẩn mức độ khác Tuy nhiên, sau bước biến đổi tương đương  g ( x; m)  f ( x; m)  g ( x; m)   ; đưa đến phương trình bậc nhất,  f ( x; m)  g ( x; m)  bậc hai có nghiệm đặc biệt, khơng “làm khó” học sinh Vấn đề cịn lại chọn cách trình bày thích hợp Giải: x  1  m  m  * Xét câu 2.a: x  x  m   x     x  1 m x  1 m x  1 m Biện luận: 1) m  : pt 2.a có tập nghiệm S  1  m ThuVienDeThi.com 2) m  : pt 2.a có tập nghiệm S   * Câu 2.b 2.c trình bày tương tự, với yêu cầu cao  m  ฀  mx   x  x    mx     mx  (m  1) x  4mx   (1)  (m  1) x  4m * Xét câu 2.d: Biện luận (1) : a) m  1 : (1) vô nghiệm  4m  m 1  m     b) m  1: (1)   4m  x  4m x  m 1  m2   Kết luận : - Với m = 0: Với m  (1) vô nghiệm nên tập nghiệm 2.d S  0; - 4m  nên tập nghiệm 2.d S  0 m2  Với  m  : (1) có nghiệm x  4m  4m   nên tập nghiệm 2.d S  0;  m 1  m  1 Bài toán 3: Giải biện luận theo tham số m bất phương trình sau: a) x m b) xm  m c)  x  m d)  x  x  m Giải: Với lập luận sau   g ( m)     f ( x; m)  f ( x; m)  g (m)    g ( m)      f ( x; m)  g (m) 2    g ( m)      f ( x; m)   f ( x; m)  g (m)   f ( x; m)  g (m) 2     g ( m)     x  Các câu 3.a 3.b yêu cầu mức độ vận dụng hai phép biến đổi Câu 3.c toán “ hai một”, kiểm tra kiến thức kép  m    m   0  x    0  m   x  1 x  m     2  x  (1  m )  m         x   m  m      x   Xét câu 3.d)*  x2  x  m ThuVienDeThi.com Bài toán đơn giản  x  x  m Tuy nhiên ta đưa tốn dạng “dễ chịu”  m    t     t m    m  với việc đặt ẩn phụ: t  ( x  1) ; t  Bài toán trở thành:   t   1  m  t    t  Tiếp theo cần so sánh – m2 để có tập nghiệm theo t Từ suy tập nghiệm theo x Vấn đề ẩn phụ bàn tiếp phần sau Bài toán 4: Giải biện luận theo tham số m bất phương trình sau: a) x 1  x  m b) Giải: Câu 4.a làm sau: xm  xm x 1  x  m  x  m   x  m (I)   x   x    x   x  m     x  m  x  m   2   x  (2m  1) x  m     x   ( x  m) ( II ) Thì việc biện luận (I) đơn giản, (II) phức tạp Có thể vận dụng kết hợp ẩn phụ tính chất hàm số bậc hai : x  1 t2 t  t   m Đặt t  x    ;Bất phương trình trở thành :  t  t  Xét hàm số f (t )  t  t  khoảng [0; ) , với bảng biến thiên : t   f (t ) Ta biện luận đơn giản sau : a) m  : bpt vô nghiệm b) m   4m  ;(t1  t2 ) : Hoành độ giao điểm (d) : y = m (P): y = f(t) t1;2  + Với  m  1:  t1  t2 nên tập nghiệm theo t (t1 ; t2 ) , suy tập nghiệm theo x S  (1  t12 ;1  t 22 ) + Với  m : t1   t2 nên tập nghiệm theo t [0; t2 ) , suy tập nghiệm theo x S  [1;1  t 22 ) Việc sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số kết hợp với phép toán đại số cho ta phương pháp “ tích hợp” thú vị ThuVienDeThi.com Câu b) x  m  x  m hoàn toàn thực tương tự: x  m  t2 t  t  2m Giải: Đặt t  x  m   ;Bất phương trình trở thành :  t  t  Cũng với ý tưởng tích hợp cho tốn tiếp sau đây: Bài toán 5: Giải biện luận theo tham số m phương trình, bất phương trình sau: x2 1  x2  x  m a) b)  x  x  x  m Phân tích: Việc chọn biểu thức câu 5.a để đặt điều kiện, việc chọn biểu thức hai vế cho thích hợp câu 5.b cần thiết để tốn khơng phức tạp q mức; cho học sinh cịn có hứng thú giải toán cách trọn vẹn Vấn đề Một số tốn chứa tham số khác: 2.1 Tìm tất giá trị tham số để hai phương trình, bất phương trình tương đương, hệ Phương pháp: giải trực tiếp biến đổi đại số gián tiếp vận dụng chiều biến thiên hàm số Bài tốn 6: Tìm tất giá trị tham số m cho  x  mx   x  (1) tương đương với x   x  x  m (2) Giải: (1) có tập xác định tập rỗng nên (1) vô nghiệm Vậy tốn trở thành tìm m để (2) vơ nghiệm x  1    (2):  hàm số y  x  x  khoảng (; 1]  [1; ) ĐS: y Bài toán 7:  x  1  x  x2 1  x2  x  m   Lập bảng biến thiên    m x x   m 1 34 m  2x  x2  x   x (1) hệ x  x  x  x   ( x  1)(5  x) (2) Giải: Tập xác định (2) D = [1;2] Sử dụng phương pháp so sánh: ( x  1)(5  x)  ( x    x)   ( x  1)   x(2  x) ta suy (2) có tập nghiệm S = [1;2] Vậy tốn tương đương: Tìm m để (1) có tập nghiệm chứa S, hay (1) thoả với giá trị x thuộc [1;2] Biến đổi (1): 0  x  m  2x  x2  x   x   2 m  x  x  x  x  Với t  x   x , x  [1; 2]  t  [1; 2] ( dùng phương pháp miền giá trị hàm số) Bài toán tương đương: Tìm m cho bất phương trình m  t  t  thoả với t  [1; 2] Lập bảng biến thiên hàm số , kết m  ThuVienDeThi.com Một số toán phát triển từ toán 7: Bài toán 8: m  x  x    x (1) tương đương với x  x  x  x  13  ( x  1)(5  x) (2) Giải: (2) có nghiệm x = ( dùng đánh 7) Điều kiện cần: (1) có nghiệm x = , suy m = 12 x  1  x   Điều kiện đủ: Giải phương trình 12  x  x    x    x  11     ( x 1)(4 x ) x   Vậy khơng có m thoả yêu cầu toán Bài toán 9: m  x  x  m  mx (1) hệ x  x  x  x  13  ( x  1)(5  x) (2) Giải: (2) có nghiệm x = ( dùng đánh 7) Vậy toán tương đương: x = nghiệm (1)  m    m  3m (3)… 2.2 Tìm tất giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có số nghiệm, khoảng nghiệm thoả tính chất theo u cầu: Bài tốn 10: Tìm m cho phương trình * Phân tích:  x  x  m  x  (*) có nghiệm x   x2  x  m  x 1   Đây dạng toán ứng dụng đồ thị hàm số    m x x  quen thuộc, cần ý chọn cho hoành độ điểm cực trị hàm số y  x  x  thuộc miền xét [1; ) để đa dạng hoá tình Lập bảng biến thiên ( vẽ đồ thị) cho kết Có thể mở rộng toán với yêu cầu: Biện luận theo m số nghiệm phương trình (*) Bài tốn 11: Tìm m cho phương trình Phân tích:  x  x  m  2( x  1) (*) có hai nghiệm x  x ( x  2)  m   x   2  m  ( x  x )  ( x  x )  Đặt t  x  x , từ chiều biến thiên hàm số t  x  x khoảng (;1] ta có tập giá trị t tương ứng (t - x) tương ứng (1 – 1) ( song ánh) Như vậy, tốn tương đương: Tìm m để phương trình m  t  t  có hai nghiệm khoảng [1; ) Tiếp tục dùng phương pháp hàm Lưu ý: toán phức tạp tương ứng (t - x) không đơn (1-1), yêu cầu nên dành cho đối tượng học sinh giỏi ThuVienDeThi.com Trong chương trình đại số 10, học sinh biết chiều biến thiên hàm đa thức bậc 1, Khi thực yêu cầu toán theo hướng sử dụng hàm, số hàm phân thức hữu tỉ, xét chiều biến thiên chúng điều sức học sinh lớp 10 Có thể dùng kỹ thuật “ đa thức hố”như sau: Bài tốn 12: Cho bất phương trình ( ẩn x ): mx  x    x  x Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm Giải: Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật “ đa thức hoá” 0  x  * mx  x    x  x   (1) (m  1) x  3 x  0  x   * x  không nghiệm (1) với m, (1)   m  x  x  1 1  t * Đặt t  , t  [ ; ) ; (1) trở thành:  x m  2t  3t   17 * Xét hàm số f (t )  2t  3t  [ ; ) ; có tập giá trị [ ; ) Kết luận: bất phương trình có nghiệm m   17   Bài tốn 13: Tìm m cho bất phương trình  ( x  1)(5  x) (m x    x)  thoả với x thuộc tập xác định Giải: Tập xác định bất phương trình D = [1;5] Trên D, ta có  ( x  1)(5  x)  , dấu = x = Với m, x = nghiệm Bài tốn đưa việc tìm m để m  2x 1 x2  thoả x  [1;5] \{2} Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật đa thức hoá : t  x  1; t  1;9\{3} 2x 1 2t , với t  1;9\{3} t  2t   x2 2   1  P  , với u    ;1 \   t 9  3 5u  2u   1 t t   1  Hàm số f (u )  5u  2u   ;1 \   có giá trị lớn Vậy m  giá trị cần tìm 9  3 P  ThuVienDeThi.com Bài tốn 14: Tìm m cho bất phương trình  x  mx   x  m có nghiệm nguyên Giải: Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ: *  x xác định  1  x  Vậy nghiệm nguyên bất phương trình thuộc tập {-1;0;1} * Vậy tốn tương đương với: Tìm m để số -1; 0; nghiệm bất phương trình (*) Với f ( x)   x  mx   x  m , toán (*) tương đương với  f (1)  0; f (0)  0; f (1)   f (0)  0; f (1)  0; f (1)    f (1)  0; f (0)  0; f (1)  D.KẾT LUẬN : Như vậy, với việc chọn lọc tốn với mức độ thích hợp đa dạng cách giải quyết, học sinh củng cố sâu kiến thức, rèn luỵên kỹ phát triển tư tốn học Giúp em khơng giải vấn đề tham số phương trình đại số mà cịn lãnh vực khác toán học sống Vũng tàu, 30 /1/ 2015 Người viết: Vũ Hữu Viên ThuVienDeThi.com ... trọn vẹn Vấn đề Một số toán chứa tham số khác: 2.1 Tìm tất giá trị tham số để hai phương trình, bất phương trình tương đương, hệ Phương pháp: giải trực tiếp biến đổi đại số gián tiếp vận dụng... Giải: (2) có nghiệm x = ( dùng đánh 7) Vậy toán tương đương: x = nghiệm (1)  m    m  3m (3)… 2.2 Tìm tất giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có số nghiệm, khoảng nghiệm thoả... Đặt t  x  m   ;Bất phương trình trở thành :  t  t  Cũng với ý tưởng tích hợp cho tốn tiếp sau đây: Bài tốn 5: Giải biện luận theo tham số m phương trình, bất phương trình sau: x2 1 