Sáng kiến kinh nghiệm Phép co trong mặt phẳng và ứng dụng

Sáng kiến kinh nghiệm Phép co trong mặt phẳng và ứng dụng MỤC LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÉP CO TRONG MẶT PHẲNG VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện L[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÉP CO TRONG MẶT PHẲNG VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HỐ NĂM 2017 MỤC LỤC SangKienKinhNghiem.net Phần MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, 12 với thân, đồng nghiệp nhà trường Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị, đề xuất 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN SangKienKinhNghiem.net Phần MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học lớp 10 có số toán elip khiến giáo viên học sinh lúng túng việc tìm hướng giải tốn vị trí tương đối điểm, đường thẳng elíp hay các tồn cực trị elip… Trong trình giảng dạy tơi phát có cách giải nhẹ nhàng tốn sử dụng “Phép co mặt phẳng” Vì tơi đưa sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Phép co mặt phẳng ứng dụng” nhằm giúp thầy cô học sinh giải số toán liên quan đến elip đồng thời xây dựng cho học sinh có suy nghĩ mở rộng hơn, sáng tạo ứng dụng phép co mặt phẳng 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, trước tập tơi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố thành toán tổng quát xây dựng toán tương tự Thứ hai mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh giỏi trước đến Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán vị trí tương đối điểm, đường thẳng elíp; các toán cực trị elip… 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: + Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài SangKienKinhNghiem.net + Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học giáo viên HS) + Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn ) + Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) + Phương pháp thực nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Dù lĩnh vực đề cập đến SKKN tương đối hẹp Nhưng cở sở lý luận phương pháp sử dụng “Phép co” để giải toán khó elip đề tài nêu nói chưa xuất tài liệu bồi dưỡng luyện học sinh giỏi Nó tạo kích thích hấp dẫn tính sáng tạo giáo viên học sinh SangKienKinhNghiem.net Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết Việc SGK đề cập đến mối liên hệ đường elip đường tròn qua phép co trục hồnh theo hệ số cho trước, khiến ta chuyển việc việc giải toán elip sang việc giải toán đường tròn dựa sở phương pháp “Phép co mặt phẳng” Dựa vào SGK & Sách tập Hình học 10 Nâng cao, tác giả xây dựng hệ thống lý thuyết phép co mặt phẳng nhằm phục vụ cho nhu cầu giải toán học sinh giỏi Để chuẩn bị cho phần sở lý thuyết, tác giả nghiên cứu kỹ lý thuyết phép co (trang 101, 102 – SGK Hình học 10 nâng cao; trang 113 – Sách tập Hình học 10 nâng cao) Sau tác giả tiến hành phân loại toán elip đề luyện thi đại học, lựa chọn tốn giải phép co để làm ví dụ minh họa cho viết Cụ thể sau: 2.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng  cố định số k dương Gọi H hình chiếu vng góc M lên  , phép đặt tương ứng điểm M mặt phẳng thành điểm M’ cho HM '  k HM M gọi phép co trục  theo hệ số k (h M' 1) 2.1.2 Một số tính chất phép co a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ta có: H  Hình + Phép co trục Ox theo hệ số k biến điểm M xM ; yM  thành điểm  x  xM M ' xM ' ; y M '  cho  M '  yM '  ky M Chứng minh: Ta có H ( xM ;0) nên  x  xH  k xM  xH   xM '  xM HM '  k HM   M '   y M '  y H  k y M  y H   yM '  ky M SangKienKinhNghiem.net + Phép co trục Oy theo hệ số k biến điểm M xM ; yM  thành điểm  x  kxM M ' xM ' ; y M '  cho  M '  yM '  y M Chứng minh: Ta có H (0; y M ) nên  x  xH  k xM  xH   xM '  kxM HM '  k HM   M '    y  y  k y  y  M'  yM '  y M H M H b Phép co biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng Chứng minh: Cho điểm A, B, C thẳng hàng, ta chọn hệ trục Oxy cho trục   Ox Gọi Ax1 ; y1 , Bx2 ; y2 , C x3 ; y3  phép co trục  theo hệ số k biến điểm A, B, C thành điểm A' , B ' , C ' , ta có A' x1 ; ky1 , B ' x2 ; ky2 , C ' x3 ; ky3 , suy AB  x2  x1 ; y2  y1 ; AC  x3  x1 ; y3  y1  A' B '  x2  x1 ; k y  y1 ; A' C '  x3  x1 ; k y3  y1  Nếu điểm A, B, C nằm đường thẳng d vng góc với trục hồnh dễ thấy điểm A' , B' , C ' thuộc d, chúng thẳng hàng, giả sử A, B, C nằm đường thẳng không vuông góc với Ox, AB AC phương nên x2  x1 y2  y1 x  x k y2  y1   ,  1 x3  x1 y3  y1 x3  x1 k y3  y1  từ suy A' B' A'C ' phương hay điểm A' , B' , C ' thẳng hàng Tương tự, ta chứng minh tính chất sau đây: c Giả sử AB CD đoạn thẳng song song phép co trục  theo hệ số k biến đoạn AB thành đoạn A’B’, biến đoạn CD thành đoạn C’D’ A' B' // C ' D' A' B ' AB  C ' D' CD A d Nếu phép co trục  theo hệ số k biến ABC thành A' B' C ' S A'B'C'  kS ABC A' Chứng minh: Ta xét trường hợp sau - Nếu BC thuộc  B  B ' , C  C ' Δ B≡B' (h 2), đó: H C≡C' Hình SangKienKinhNghiem.net S A'B'C'  1 A' H B' C '  kAH BC  kS ABC 2 H chân đường cao từ A xuống trục  A B A' B' - Nếu C   AB //  AB  A' B ' dễ thấy S A'B'C'  kS ABC (h 3) Δ C≡C' Hình B - Nếu C   , AB khơng song song với  phía với  ta gọi I  AB   , A S A'B'C'  S A'IC  S B 'IC  A' = k S AIC  S BIC = kS ABC (h 4) B' Δ I C≡C' Hình A - Nếu C   , AB khơng song song với  khác phía với  ta gọi I  AB   , A' I Δ S A'B'C'  S A'IC  S B 'IC  k S AIC  S BIC   C≡C' = kSABC (h 5) B' Hình B - Nếu ABC bất kỳ, chọn B trục  điểm C1 tịnh tiến ABC theo vectơ CC1 ta có A1 B1C1 = ABC C A1 B1 // AB, B1C1 // BC , A1C1 // AC A tam giác A1 B1C1 lại thuộc trường hợp trên, ta suy B1 Δ S A'B'C'  kS ABC (h 6) C1 A1 Hình 6 SangKienKinhNghiem.net f Phép co trục Ox theo hệ số đường tròn E : x a2  C : x b  biến a  y  a thành elip y2  ngược lại phép co b2 a  biến elip trục Ox theo hệ số b E : x a2 C : x  y2 1 b2 thành đường y M M’ F1 O F2 x tròn  y  a (h 7) Hình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước tiến hành dạy phép co cho học sinh, tác giả cho học sinh lớp 10C1 10C3 làm kiểm tra 45 phút tự chọn với đề kiểm tra sau: x2 y2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip E :    2 5 6  Q ;  thuộc E  Tìm tọa độ điểm N  E  Cho P 3; 3     cho diện tích tam giác lớn Từ M  d : x  y   vẽ tiếp tuyến MA, MB đến E , A B tiếp điểm Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Kết thu 100% học sinh không làm bài! 2.3 Các giải pháp thực Nguyên nhân thực trạng nêu với tốn khó học sinh thiếu cơng cụ để giải toán thiếu định hướng tư để sáng tạo cách làm Để giải vấn đề đó, số tiết tự chọn lớp 10C1, tác giả tiến hành dạy phép co với nội dung sau: x2 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip E :  y  M điểm thay đổi đường thẳng y  Từ M kẻ đến E  hai tiếp tuyến Gọi SangKienKinhNghiem.net tiếp điểm T1, T2 Tìm vị trí M để đường trịn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T1T2 có bán kính nhỏ Giải: Phép co trục hồnh theo hệ số k  biến E : tròn C : x x2  y  thành đường  y  , biến đường thẳng d : y  thành đường thẳng d ': y  Gọi M ' m;4  d ' T1 ' , T2 ' tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M ' đến đường trịn C  ta có tứ giác M ' T1 ' OT2 ' nội tiếp đường tròn C1  có đường kính M ' O  m  16 tâm m  I  ;2  2  nên m m  16  C1 :  x    y  2  hay C1 : x  y  mx  y  , tọa độ 2   x  y  mx  y  T1 ' , T2 ' nghiệm hệ   mx  y   ta có 2 x  y   phương trình T1 ' T2 ' mx  y   Bán kính đường trịn tâm M ' tiếp xúc với đường thẳng T1 ' T2 ' m  12 R '  d M ' ; T1 ' T2 '   m  16  3 m  16 m  16 Dấu “=” xảy m  , suy M ' 0;4 , từ suy M 0;2 Bài toán Trong mặt phẳng Oxy cho elip y2   đường thẳng E : x d : x  y  12  Từ điểm M d kẻ tới (E) tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Giải: Ta chọn phép co trục Ox theo hệ số x2 y2 E :   trở thành đường tròn C : x 2 , elip  y  đường thẳng d : x  y  12  biến thành đường thẳng d ': 3x  y  12  Giả sử phép co biến điểm M, A, B thành M ' , A' , B' M ' a; b  d ' A' , B' hai SangKienKinhNghiem.net tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ M ' đến C  Có tứ giác OA'M'B' nội tiếp OM a  b2 a b  đường trịn C ' đường kính OM ' tâm I  ;  , bán kính r  2  2 Suy 2 a  b  a  b2  C ':  x     y     x  y  ax  by  2  2  Hai tiếp điểm A', B' giao C  C ', tọa độ A', B' x2  y2   nghiệm hệ:   ax  by  Tọa độ A', B' thỏa mãn  x  y  ax  by  phương trình ax  by  nên  : ax  by  đường thẳng qua A', B' Mặt khác, M ' a; b  d ' nên 3a  3b  12   a   b , từ ta có   3    :   b  x  by  , b thay đổi,  qua điểm cố định H ' 1; 3     Bây ta lại xét phép co trục Ox theo hệ số  3  biến điểm H ' 1;   thành H 1;1 AB Vậy đường thẳng AB ln qua điểm cố định H 1;1 Bài tốn Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng x2 d : x  y   elip E :  y  Tìm điểm M  E  cho khoảng cách từ M đến d nhỏ Giải: Phép co trục hoành theo hệ số k  biến elip E : thành đường tròn C : x x2  y2   y  , biến đường thẳng d : x  y   thành d ': x  y   Gọi   d ' qua O phương trình  x  y  Khi tọa độ giao điểm  C : x  y  nghiệm hệ SangKienKinhNghiem.net   x   2 x  y    x      2   x y 4 y  y      5      ; ; Do   C   M  ; M    5 5      Ta có d M ; d '  4  6   6 6 5 5  2  2 ; d M ; d '  , 5 5   2 ; dễ thấy M   điểm thuộc đường tròn C : x  y  cho khoảng  5   cách từ M đến d ' nhỏ nhất, từ suy điểm M  ;  điểm cần tìm  5 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp x2 y elip E :   a  b  Tìm diện tích lớn tam giác ABC a b Giải: Ta chọn phép co trục Ox theo hệ số a  1, elip b x2 y E :   trở thành đường tròn C : x  y  a Phép co nói biến tam a b giác ABC thành tam giác A' B' C ' nội tiếp đường tròn C : x  y  a Ta có a 3 b 3ab S A'B 'C '  a  S ABC  a  S ABC  a  b 4 a suy S ABC lớn 3ab Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M thuộc x2 y2  để tiếp tuyến với E  M tạo với trục tọa độ tam giác elip E :  có diện tích nhỏ 10 SangKienKinhNghiem.net x2 y2 biến elip E :  1 3 Giải: Phép co trục hoành theo hệ số thành đường tròn C : x  y  , biến tiếp tuyến E  điểm M thành tiếp tuyến C  điểm M ' Giả sử M ' a; b , phương trình tiếp tuyến d đường trịn C  M là:  a2  b2  d  Ox  A ;0   a  ax  a  by  b    ax  by  a  b   a  b2 d  Oy  B 0; b  1 a  b  16 16  OA.OB    4 2 ab a b a  b2    suy Khi S OAB dấu xảy a  b   a  b  Do diện tích tam giác OAB nhỏ  a  b  M '  Vậy M     2; ;  2; ;   6  ; ;    ; ;  ;  6  6  ; ;   ; ; 3           ;      x2 y2 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip E :    2  thuộc E  Tìm tọa độ điểm M  E  cho Lấy điểm A 3;0  B1;   diện tích tam giác MAB lớn Giải: Phép co trục hoành theo hệ số k  x2 y2 biến E :   thành  2  thuộc elip E  đường tròn C : x  y  , biến điểm A 3;0  B1;     thành điểm A'  3;0 B ' 1;2 nằm đường trịn C  Ta có diện tích tam giác MAB lớn diện tích tam giác M ' A' B ' lớn với M ' điểm tương ứng với M phép co nói Vì A' B ' khơng đổi nên diện tích tam giác M ' A' B ' lớn M ' O  A' B' , ta có phương trình A' B ' : 11 SangKienKinhNghiem.net x  y   M ' O : x  y  tọa độ M ' nghiệm  x  2 x  y   y   hệ    x    x  y 9   y 6 32 3  x + với  d M ' ; A' B '  y     3  32 3 x    3 + với  d M ' ; A' B '  y     Theo trên, với điểm M ' 3; diện tích tam giác M ' A' B ' lớn nhất, từ  6  điểm cần tìm suy M  3;   2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình dạy phép co học sinh lớp 10C1, tác giả thấy học sinh hứng thú, tốn khó sử dụng phép co chuyện trở nên dễ dàng Để kiểm nghiệm xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút lớp 10C1 10C3, lớp lớp 10C1 thực nghiệm đề tài này, lớp 10C3 lớp đối chứng Đề kiểm tra sau: Câu 1.(4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M 1;1 Lập x2 y2  M M phương trình đường thẳng d qua M cắt elip E :  cho MM  MM Câu 2.(6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y   cắt elip E : x2 y2   điểm A, B Tìm tọa độ điểm M  E  cho diện tích tam giác MAB lớn Sau chấm tác giả thu kết sau 12 SangKienKinhNghiem.net Điểm 0-2,5 3-4,5 5-6,5 7-8,5 9-10 0% 4% 10% 32% 54% 96,2% 3,8% 0% 0% 0% Lớp thực nghiệm (50 học sinh) Lớp đối chứng (52 học sinh) Các điểm – 10 có cách giải phổ biến sau: x2 y2 Câu Phép co trục hoành theo hệ số k  biến E :   thành đường tròn C : x  y  , biến điểm M 1;1 thành điểm  3 M ' 1;  , biến d  2  3 thành d ' , biến điểm M M thành M '1 M '2 Dễ thấy M ' 1;  trung  2  3  3 điểm M '1 M '2 d ' qua C  M ' 1;  nhận OM '  1;   2  2 3 3 làm vtpt, d ': x    y     x  y `13  Từ phương trình 2 2 đường thẳng d cần lập x  y  13  Câu Phép co trục hồnh theo hệ số k  đường trịn C : x x2 y2 biến E :   thành  y  , biến đường thẳng d : x  y   thành d ' : x  y   biến điểm M, A, B thành điểm M ' , A' , B ' Khi S M ' A 'B '  S MAB Xét đường thẳng  qua O vng góc với d ' ,  có phương trình: x  y  , dễ thấy diện tích tam giác M ' A' B ' lớn M '  suy M '    C  từ tìm tọa độ M ' , tính khoảng cách từ M ' đến d ' ta có điểm M ' cho diện tích tam giác M ' A' B ' lớn nhất, từ tìm điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Kết kiểm tra lớp thực nghiệm đối chứng cho thấy, lớp 10C1 đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt phép co vào việc giải tập; học sinh thấy hứng thú tính tự nhiên gần gũi đạt hiệu bất ngờ phương pháp 13 SangKienKinhNghiem.net Còn lớp 10C3, hoàn thành kiến thức đường elip gặp dạng toán nêu trên, học sinh phải giải Trao đổi phương pháp “Sử dụng phép co” với đồng nghiệp tác giả nhận phản hồi tích cực Mặc dù kết không áp dụng cho nhiều toán, nhiên với hiệu mà mang lại tốn kích thích tính sáng tạo tư cho người học, gợi trí tị mị ham hiểu biết vào lĩnh vực khác tốn học Đó điều tác giả tâm đắc thực đề tài 14 SangKienKinhNghiem.net Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết sau: - Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học vấn đề cần nghiên cứu đề tài cho học sinh cho lớp thực nghiệm - Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm - Giáo viên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung mơn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học trở lên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học - Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức HS, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng - Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em 3.2 Kiến nghị, đề xuất Xuất phát từ kiến thức chương trình học để xây dựng cách làm đạt hiệu cao phẩm chất mà người học tốn làm tốn cần phải có Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn thực thành cơng giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tịi khai thác từ kiến thức cũ cách làm sáng tạo đạt hiệu cao 15 SangKienKinhNghiem.net Thạch Thành, ngày 24 tháng 05 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY, SAO CHÉP Lê Ngọc Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa, sách tập 10 (Nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007 [2] Ba thập kỷ đề thi toán vào trường đại học Việt Nam Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3].Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục Năm 1997 16 SangKienKinhNghiem.net DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Ngọc Phương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Toán trường THPT Thạch Thành TT Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại “Sử dụng phần mềm Geometer’s sketchpad làm phương tiện trực quan dạy học hình học khơng gian Cấp tỉnh (QĐ số 932/ QĐ-SGD ngày 11/9/2008) C 2007- 2008 Cấp tỉnh (QĐ số 871/ QĐ-SGD ngày 18/12/2012) C 2011-2012 Cấp tỉnh (QĐ số 753/ QĐ-SGD ngày 03/11/2014) B 2013-2014 lớp 11” ‘Xây dựng toán bất đẳng thức từ tính chất hàm số mũ hàm số logarit” Một số kinh nghiệm dạy “Khoảng cách” Hình học khơng gian 17 SangKienKinhNghiem.net SangKienKinhNghiem.net ... điểm sáng kiến kinh nghiệm Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm. .. tồn cực trị elip… Trong q trình giảng dạy tơi phát có cách giải nhẹ nhàng tốn sử dụng ? ?Phép co mặt phẳng? ?? Vì tơi đưa sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề ? ?Phép co mặt phẳng ứng dụng? ?? nhằm giúp thầy... LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị, đề xuất 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC