SKKN Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG PT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN MỘT SỐ B[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG PT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tác giả: Lê Thị Quang Đơn vị: Trường Phổ Thơng Triệu Sơn, Triệu Sơn, Thanh Hóa Triệu Sơn, tháng năm 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến II Đồng tác giả III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng IV Nội dung sáng kiến 1 Giải pháp cũ thường làm .1 1.1 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp đại trà .1 1.2 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi .3 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có tốn cực trị .4 Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải tốn cực trị hình học 2.1.1 Quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm 2.1.3 Bất đẳng thức đường tròn .7 2.1.4 Bất đẳng thức đại số 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học .16 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải tốn cực trị hình học .16 2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư sáng tạo kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 16 2.2.2.1 Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp toán .16 2.2.2.2 Rèn luyện khả kiểm tra lời giải toán 16 2.2.2.3 Rèn luyện khả định hướng xác định đường lối giải tốn mang tính tổng quát 17 2.2.3 Biện pháp : Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề .20 2.2.3.1 Rèn luyện khả nhận biết, tìm tịi phát toán liên quan sáng tạo toán 20 2.2.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải tốn nhiều góc độ khác 23 SangKienKinhNghiem.net 2.2.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn .26 Tổ chức nội dung thực nghiệm .29 3.1 Tổ chức thực nghiệm 29 3.2 Nội dung thực nghiệm 30 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 32 3.4 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm: 33 V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt 33 Hiệu kinh tế 33 Hiệu xã hội 34 VI Điều kiện khả áp dụng 34 SangKienKinhNghiem.net I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Thanh Hóa II Tác giả: Lê Thị Quang, Giáo viên Toán, Trường PT Triệu Sơn III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Tên sáng kiến: Một số biện pháp nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh THCS thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học phẳng Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho trường THCS IV Nội dung sáng kiến Giải pháp 1.1 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp đại trà Qua khảo sát thực tế chúng tơi thấy việc dạy tốn cực trị trường THCS chưa quan tâm mức Đối với lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng mức giới thiệu giao cho học sinh nhà đọc Việc chữa cịn trí có giáo viên khơng giao khơng chữa tập phần Một số giáo viên dừng lại việc chữa hướng dẫn cho học sinh giỏi nhà làm chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển toán Đặc biệt kiểm tra định kỳ có nội dung cực trị hình học Đối với học sinh đa số học sinh khơng thích học sợ học tốn cực trị Nhiều em khơng học không làm tập giao nhà Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày tìm tịi, đề xuất tốn cịn ít, khơng có 1.2 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Qua khảo sát thực tế thấy việc dạy chun đề tốn cực trị hình học cho học sinh giỏi chưa thực có hiệu Số lượng giáo viên dạy bản, quan tâm đến việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh cịn Nhiều giáo viên khơng dạy phần Đối với học sinh giỏi, số lượng em đam mê, tìm tịi, khám phá chưa nhiều, nhiều em làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác Cịn phận khơng nhỏ em khơng làm SangKienKinhNghiem.net 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có tốn cực trị Số tiết dạy Lớp Tên Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 02 Bất đẳng thức tam giác 02 Đối xứng tâm, đối xứng trục 02 Quan hệ đường kính dây cung 02 Liên hệ cung dây, liên hệ dây hoảng cách từ tâm đến dây 02 Như vậy, qua khảo sát nhận thấy: - Do số tiết học lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi - Trong chương trình tốn THCS, số lượng dạng toán phần cực trị hình học cịn đề cập hạn chế, nằm rải rác phận sách tham khảo, tốn phần cực trị hình học chủ đề tốn khó thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi Do học sinh giáo viên tiếp cận với dạng tốn nói thực tế giáo viên thờ việc thực dạy học chủ đề Điều dẫn đến việc giải tập cực trị hình học học sinh tỏ lúng túng, chưa rèn luyện kỹ giải tốn, chưa kích thích ham mê tìm tịi khám phá học sinh, từ học sinh tiếp thu kiến thức cách hình thức hời hợt Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh giỏi chưa tiến hành cách thường xun từ đầu Chính q trình bồi dưỡng kiến thức tốn học theo hướng nâng cao chủ đề cực trị hình học cho HS chưa liên mạch chưa có hệ thống, có kỳ thi thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi giáo viên học sinh thực nhảy vào Chính điều làm cho HS dễ hụt hẫng kiến thức, khai thác tốn cịn gặp SangKienKinhNghiem.net nhiều khó khăn, việc dạy học giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm thân Hơn nữa, hệ thống tập sách tham khảo đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề, đặc biệt thị trường tìm vài sách tham khảo viết dành riêng cho phần cực trị hình học thể chun mơn hố hiếm, điều dẫn đến tình trạng GV HS thiếu hệ thống tài liệu tham khảo để phục vụ cho công tác dạy học Trong thực tế, cách dạy phổ biến GV với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy GV thấy chưa thoả mãn dạy mình, HS thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tịi Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải tốn cực trị hình học 2.1.1 Quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu Trong đường xiên đường vng góc hạ từ điểm đến đường thẳng - Đường vng góc đường ngắn - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn, hình chiếu lớn có đường xiên lớn 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm - Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn ngược lại - Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh ln lớn độ dài cạnh cịn lại - Qui tắc điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An Ta có: A1 An A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy A1, A2… An thẳng hàng xếp theo thứ tự 2.1.3 Bất đẳng thức đường trịn - Trong tất dây cung đường trịn, đường kính dây lớn - Trong đường tròn, dây cung có độ dài ngắn có khoảng cách đến tâm lớn ngược lại SangKienKinhNghiem.net - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn góc tâm lớn - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn dây trương cung lớn 2.1.4 Bất đẳng thức đại số - Giả sử ta có a với a > 0, a khơng đổi, a đạt giá trị lớn b đạt giá b b trị nhỏ nhất, a đạt giá trị nhỏ b đạt giá trị lớn b - Nếu x + y số tích x y lớn x = y x y số tổng x + y nhỏ x = y - Bất đẳng thức Cauchy: cho số a, b khơng âm ta có: ab ab Dấu “=” xảy a = b Tổng quát: cho n số không âm a1, a2… an ta có: a1 a2 an n n a1 a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = … = an - Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho số thực: a, b, x, y ta có: (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 +y2) Dấu “=” xảy ay = bx 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác - Hệ thức cạnh góc tam giác vuông: Trong tam giác vuông: Mỗi cạnh góc vng cạnh huyền nhân với sin góc đối cos góc kề cạnh góc vng nhân với tan góc đối cotg góc kề - Định ký Pitago: Trong tam giác vng bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải tốn cực trị hình học Hướng Ta vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay điều kiện đại lượng đại lượng tương đương (có phải chọn đại lượng hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ ẩn số với đại lượng khác hình, đại lượng đầu cho sẵn, SangKienKinhNghiem.net ta làm xuất q trình tìm lời giải tốn Biểu thị ẩn số theo đại lượng biết, đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối xác định giá trị đại lượng cần tìm, từ suy vị trí hình để đạt cực trị) Thường dùng cách đầu cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị tốn” Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích tam giác có chu vi nhỏ ? ’ B • Lời giải (Hình 1) Xét tam giác có chung đáy BC = a có diện tích S Gọi AH đường cao tương ứng với đáy BC Ta có: 2S 2S S = AH BC AH = = (không BC a d A’ • B• Hình A • C đổi) Suy ra: A di động đường thẳng d //BC cách BC khoảng 2S a Ta cần xác định vị trí A đường thẳng d để chu vi ABC có giá trị nhỏ Chu vi ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a khơng đổi nên chu vi ABC nhỏ AB + AC nhỏ Gọi B’ điểm đối xứng B qua d, B’C cắt d A’ Xét AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1) Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có: AB + AC ≥ A’B + A’C (2) Dấu “=” xảy B’, A, C thẳng hàng Khi A A’ Vì A’B = A’B’ = A’C nên A’BC cân A’ Vậy tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ Nhận xét: Khi giải toán cho ta thay điều kiện toán điều kiện tương đương tìm tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị toán SangKienKinhNghiem.net Hướng Ta đưa hình vẽ (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn bé yếu tố tương ứng hình đưa Thường dùng cách chứng minh hình dạng hình có cực trị nói rõ đầu Ví dụ 2: Chứng tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất? Phân tích tốn: Đây tốn ta đề cập ví dụ 1, đầu nói rõ hình phải chứng minh tam giác cân, nên đưa tam giác cân A’BC (Hình 1) xét tam giác khơng cân ABC có đáy BC, đỉnh A chạy đường thẳng d // BC, ta việc chứng minh: Chu vi ABC ≥ chu vi A’BC tức AB + AC ≥ A’B + A’C Hướng Thay việc tìm cực đại đại lượng hình học việc tìm cực tiểu đại lượng khác ngược lại Ví dụ 3: Chứng minh tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Lời giải (Hình 2) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp, S diện tích ABC.Ta có: S = SAIB + SBIC + SCIA = r= 2S a+b+c 1 r cr + ar + br = (a + b + c) 2 2 Vì S khơng đổi, ta suy r lớn (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết ví dụ 2, tam giác cân SangKienKinhNghiem.net Nhận xét: Để chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân lớn nhất, ta đưa việc chứng minh chu vi tam giác nhỏ (ví dụ 2) cách biểu thị bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cân qua diện tích chu vi Hướng Trong tốn cực trị, thường có điểm di chuyển hình định hình có cho đề bài, có tìm tốn quỹ tích Đó là: Vận dụng quỹ tích để giải tốn cực trị = Tam giác có diện tích Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a, lớn nhất? Lời giải (Hình 3) Xét tam giác ABC có BC = a, = Khi A’ A A nằm cung chứa góc dựng cạnh BC tam giác ABC Gọi A’ điểm a cung chứa góc nói Kẻ AH BC, A’H’ BC Hiển nhiên AH A ’H ’ B Do SABC S A' BC Vậy •o H tam giác nói tam giác cân có diện tích lớn C H’ Hình Hướng Trong tốn cực trị hình học giải phương pháp đại số, ta thường chọn đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác góc ), có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời ý đến đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý Tiếp cận theo hướng ta gọi là: Chọn biến để giải tốn cực trị hình học Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M BC, N AC, P, Q BC Hình chữ nhật MNPQ vị trí diện tích có giá trị lớn nhất? Lời giải (Hình 4) A Đặt MQ = x, MN = y M Ta có: SAMN + SBMNC = SABC Suy ra: h-x N y y (h x) x (a y ) a.h 2 x B SangKienKinhNghiem.net Q H P Hình C h.y + a.x = ah y = a (h - x) h Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ S, ta có: S = x.y = a (h - x) x h Do a h số dương nên S lớn Tích (h - x) x lớn nhất, tổng (h - x ) + x = h (khơng đổi) nên tích (h - x) x lớn x = h - x x = h Khi MN đường trung bình ABC Chú ý: Có trường hợp để tìm cực trị đại lượng A, ta chia đại lượng A thành tổng nhiều đại lương khác Chẳng hạn A = B + C + Lúc việc tìm cực trị đại lượng A ta tìm cực trị B C từ phải B, C đạt cực trị A đồng thời đạt cực trị ngược lại Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng A bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đường kính AB, AC Một nửa đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M, N (khác A) Hãy xác định hai điểm M, N cho chu z A M y N • vi tứ giác BCMN lớn Lời giải (Hình 5) x t Đặt: BM = x, AM = y, AN = z, NC = t chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y + z + t C B Hình Với hai đại lượng a, b ta có: (a - b)2 a2 + b2 2ab 2(a2 + b2) (a + b)2 (*) ABC vuông M, áp dụng định lý Pitago ta có: x2 + y2 = AB2 áp dụng hệ thức (*): (x + y)2 2AB2 x + y AB Dấu “=” xảy x = y Tương tự: z + t AC Dấu “=” xảy ra: z = t SangKienKinhNghiem.net d Khi x = y điểm M điểm cung AB, AMB vng cân Suy ra: = 45o hay = 45o (vì M, A, N thẳng hàng) N điểm cung AC Vậy chu vi tứ giác BCMN lớn M, N đồng thời điểm cung AB, AC Nhận xét: Ta phải xác định vị trí M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn nhất, mà chu vi ABC không đổi nên phụ thuộc vào chu vi hai tam giác AMB tam giác ANC, tức phụ thuộc vào đại lượng x + y z + t Từ ta xác định vị trí M, N để thoả mãn điều kiện cực trị toán 2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư sáng tạo kết hợp với hoạt động trí tuệ khác Tư q trình nhận thức lý tính, học tập nhận thức tích cực mà đặc trưng q trình tư Vì để phát triển lực học tập ban đầu phải phát triển tư cho HS Điều trình để vươn tới tư sáng tạo cho HS Việc bồi dưỡng yếu tố đặc trưng tư sáng tạo tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo thông qua dạy học giải tập “Cực trị hình học” địi hỏi phải thực thao tác trí tuệ như: phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái qt hố, đặc biệt hố phép phân tích tổng hợp tảng Do để bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho HS thông qua dạy học hình học nói chung dạy học giải tập “Cực trị hình học” nói riêng cần quan tâm bồi dưỡng cho HS số hoạt động trí tuệ qua tạo cho HS tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác nhau, khả tìm mối liên hệ kiện bên ngồi tưởng khơng có liên hệ với nhau, khả tìm giải pháp lạ Các hoạt động góp phần tạo tính mềm dẽo, tính nhuần nhuyễn tính độc đáo tư 2.2.2.1 Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp tốn - Phân tích dùng trí óc để tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt tồn thể chia toàn thể thành phần, phương pháp suy luận từ chưa biết đến biết Trái lại tổng hợp dùng trí óc để kết hợp lại vài thuộc tính hay khía cạnh khác nằm toàn thể hợp lại phần tồn thể Do hai mặt đối lập trình thống tư duy, hai thao tác trái ngược Trong hoạt động giải tốn, trước hết phải nhìn nhận cách tổng hợp để xem tốn thuộc loại gì, cần huy động loại kiến thức thuộc vùng SangKienKinhNghiem.net sử dụng phương pháp nào, sau phải phân tích cho phải tìm, phân tích tốn lớn thành nhiều tốn nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ yếu tố toán để tìm lời giải Sau tìm lời giải toán phận phải tổng hợp lại để lời giải toán xét Thơng thường tìm tịi lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho ngắn gọn, dù đơi có vẽ thiếu tự nhiên lúc giải toán Các kiến thức SGK thường trình bày theo phương pháp tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, đọng song thực dạy lúc giảng bài, GV cần có câu hỏi gợi mở dẫn dắt HS đến kết luận cho q trình lý luận tự nhiên tốt từ dễ đến khó khơng áp đặt, khơng đột ngột, dùng phương pháp phân tích Ví dụ 7: Cho góc nhọn xOy điểm A nằm góc Tìm điểm B, C tương ứng Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất? Phân tích tốn: a GV u cầu HS tìm hiểu nội dung tốn - Đọc đề bài, xác định giả thiết, kết luận, vẽ hình - Bài tốn u cầu gì? Tìm điểm B, C tương ứng Ox Oy cho tổng độ dài OA + BC + CA ngắn ? - Xác định dạng toán? Đây tốn thuộc dạng dựng hình, gồm phần chính: ẩn, kiện, điều kiện - Kiến thức? Thực bước tốn dựng hình: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận… + Bài toán yêu cầu cần gì? Dựng điểm B, C + Phương pháp? Quỹ tích tương giao (muốn dựng điểm ta cần biến hai quỹ tích nó) Ta thấy quỹ tích thứ B Ox quỹ tích C Oy Bây ta phải tìm quỹ tích thứ hai B C Trong toán yếu tố chưa dùng? Đó chu vi tam giác tổng độ dài cạnh Chu vi tam giác ngắn tổng đoạn thẳng (độ dài đường gấp khúc) ngắn Độ dài đường gấp khúc ngắn điểm đầu điểm cuối cố định điểm thẳng hàng Với toán cụ thể này, đường gấp khúc 2p = AB + BC + CA có điểm đầu trùng với điểm cuối tất nhiên cố định rồi, nên ta không sử dụng trực tiếp Do ta cần biến đổi tương đương độ dài 2p thành đường gấp khúc, cho điểm đầu, điểm cuối cố định Trong chương trình tốn 10 SangKienKinhNghiem.net THCS phép biến đổi tương đương độ dài HS học là: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Giả thiết toán cho điểm A, Ox Oy cố định gợi ý cho ta thực phép đối xứng trục Qua phép đối xứng trục Ox, Oy điểm A có ảnh tương ứng E, D cố định Đồng thời có BA = BE CA = CD Từ đó, AB + BC + CA = DC + CB + CE ≥ DE Như vậy, chu vi tam giác ABC ngắn DE D, C, B, E thẳng hàng B, C thuộc đường thẳng DE (1) Trong tốn cịn giả thiết chưa dùng? Đó B, C tương ứng Ox, Oy (2) D y Từ (1) (2) cho ta điều gì? C Oy DE B Ox DE C A O B b GV yêu cầu HS tổng hợp điều phân tích, xây dựng chương trình giải cho tốn Hình x E Bước 1: Phân tích, tìm điểm D, E, từ xác định đường thẳng DE, dẫn đến xác định hai điểm B C Bước 2: Cách dựng: Dựng điểm D, E tương ứng đối xứng A qua oy, ox Dựng đường thẳng DE, dựng B =Ox DE C = Oy DE Bước 3: Chứng minh điểm B, C dựng thoả mãn toán Bước 4: Biện luận (theo cách dựng) số nghiệm toán Bước 5: Kết luận c GV yêu cầu thực chương trình giải cho tốn Đây làm HS - Gọi D, E tương ứng điểm đối xứng A qua Oy, Ox Khi ta có CD = CA BA = BE Từ AB + BC + CA = DC + CB + BE DE Do chu vi tam giác ngắn C Oy DE D, C, B, E thẳng hàng B Ox DE - Cách dựng: Dựng D đối xứng A qua Oy Dựng E đối xứng A qua Ox 11 SangKienKinhNghiem.net Dựng đường thẳng DE Dựng B = Ox DE Dựng C = Oy DE - Chứng minh: Với điểm M, N tương ứng Ox, Oy ta có: AM + MN + NA = DM + MN + NE DE = DC + CB + BE = AC + CB + BA Tức chu vi tam giác ABC ngắn Như điểm B, C dựng thoả mãn yêu cầu toán Biện luận: Mỗi bước cách dựng cho ta cách giải nhất, nên điểm B, C tương ứng xác định Từ tốn có nghiệm hình d GV u cầu HS kiểm tra nghiên cứu lời giải toán vừa thực xong - Ta giải tốn nắm thực chất tốn Đó tìm độ dài ngắn đường gấp khúc Kiến thức cần có là: Độ dài gấp khúc có hai đầu mút cố định ngắn điểm thẳng hàng - Khi tiến hành bước trên, tức phân tích để tìm cách xác định điểm cần dựng, tiến hành bước cần dựng Từ dễ dàng chứng minh điểm cần dựng thoả mãn yêu cầu toán Như sau phân chia toán, ta cố gắng tổ hợp lại yếu tố phân tích tốn Việc giải tốn địi hỏi HS phải biết phân tích trường hợp khác nó, chia tốn lớn thành toán nhỏ Giải toán nhỏ kết hợp lại thành toán lớn Trong nhiều toán, HS phải biết tách yếu tố cho để nhận biết đặc điểm riêng rẽ tổng hợp lại, từ rút cách giải Như qua giải toán ta thấy rằng, thao tác phân tích tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau, đơi thực chủ yếu hướng phân tích hướng tổng hợp Khi toán hiểu tồn bộ, tìm mục đích, ý chủ đạo cần phải vào chi tiết Đặc biệt, gặp tốn khó khăn cách giải đơi cần thiết phải thực xa việc phân chia, khảo sát chi tiết Tóm lại cần phải rèn luyện cho HS khả phân tích tốn để từ định hình phương pháp giải Do nhiệm vụ người GV cần làm thơng qua hoạt động tốn học nhằm rèn luyện khả tư cho HS, để từ HS có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải GV cần làm cho lời giải tốn đến với HS q trình suy luận 12 SangKienKinhNghiem.net 2.2.2.2 Rèn luyện khả kiểm tra lời giải tốn Q trình tiến hành theo bước: - Kiểm tra kết mặt định tính: Là việc xác định lại tính đắn việc lựa chọn phương hướng cơng cụ thích hợp hay chưa - Kiểm tra kết mặt định lượng: Là việc rà sốt lại q trình thao tác dùng giải tốn góp phần vào giải việc giải vấn đề Ví dụ 8: Xét toán Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R), M điểm cung BC Xác định vị trí M để tổng: MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất? Đây tốn cực trị hình học lớp quen thuộc HS giỏi Có nhiều cách giải cho tốn thơng thường GV A thường hướng dẫn cho HS giải theo hai cách sau: Cách giải ( Hình 7) Trên tia MA lấy điểm D cho MD = MB Suy MBD tam giác BDA = BMC (c.g.c) D B C I AD = MC Do MA + MB + MC = 2MA 4R O j M Dấu “=” xảy M điểm cung BC Cách giải 2:Gọi I giao điểm AM BC MBI ~ MAC (vì = , = Hình ) MB BI MC IC , tương tù MA AC MA AB MB MC BI IC BC = MB + MC = MA MA MA AC AB AB Do đó: MA + MB + MC = 2MA 4R Dấu “=” xảy M điểm cung BC Trong toán phạm vi di động điểm M cung BC ta cho M di động tồn đường trịn (O, R) ta có tốn tổng qt tốn Bài toán 3: Cho ABC nội tiếp (O, R), M điểm di động đường tròn Hãy xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất? Khi kiểm tra lại hai cách giải tốn 1, ta thấy cách giải thứ toán hay chỗ ta không cần vẽ thêm đường phụ mà giúp ta thấy tam giác ABC vng cân A MB + MC = 13 SangKienKinhNghiem.net MA ta tìm lời giải cho toán mà lời giải cách khơng giúp ta điều Bài tốn 4: Cho ABC vng cân A nội tiếp đường tròn (O, R), M điểm cung BC (cung BC không chứa điểm A) Hãy xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn ? Quay lại lời giải toán cách ta có: IC BI MA MA + MB + MC = MA + AC AB BI IC Do nếu: = MA 1 AC AB ABC cân A + BI IC BC =1+ không đổi nên MA + MB + MC AC AB AB lớn MA lớn MA đường kính (O, R) Như việc kiểm tra thao tác phân tích giả thiết, điều kiện toán kết giúp cho HS thấy rõ q trình xảy có tính chất quy luật tốn Nói cụ thể người giải toán biết giả thiết, điều kiện cho tất yếu kết diễn ta Qua q trình phân tích, so sánh, tương tự ta lại đề xuất toán mà cách giải cần dùng cách giải toán ban đầu Bài toán 5: Cho ABC cân A nội tiếp (O, R), M điểm di động cung BC không chứa điểm A Hãy tìm vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất? 2.2.2.3 Rèn luyện khả định hướng xác định đường lối giải tốn mang tính tổng qt Việc định hướng xác định đường lối giải toán mang tính tổng quát trước hết chủ yếu phải xác định đắn thể loại toán Để làm tốt điều cần nghiên cứu kỹ toán cho mà chủ yếu vào yêu cầu tốn địi hỏi để xác định.Tuy nhiên khó khăn mặt thường gặp toán nằm thể loại lại riêng biệt nó.Vì người giải tốn phát riêng toán để lựa chọn đường lối thích hợp Ví dụ 9: Xét tốn Bài tốn 1: Cho điểm A nằm ngồi (O, R) Xác định vị trí điểm B đường tròn (O, R) để độ dài đoạn thẳng AB 14 SangKienKinhNghiem.net a Dài ? b Ngắn ? Định hướng giải (Hình 8) OA cắt (O, R) C D O • C D A (D nằm O A) Xét ba điểm: O, A, B ta có: B OA - OB AB OA + OB Hình mà OB = OC = OD = R OA + OC = AC OA - OD = AD Do đó: AD AB AC a AB AC (không đổi) Dấu “=” xảy B C Vậy B C đoạn thẳng AB dài b AB AD (không đổi) Dấu “=” xảy B D Vậy B D đoạn thẳng AB ngắn Trong tốn ta vừa xét giả thiết toán cho điểm A nằm ngồi đường trịn, liệu điểm A mà ta xét nằm vị trí khác điểm A nằm đường trịn, điểm A nằm đường trịn liệu kết toán thay đổi Thật - Nếu điểm A nằm đường tròn (O, R) từ lời giải tốn cho ta có: AB dài AB = 2R AB ngắn AB = Lúc ta thấy toán ta đề xuất lại tầm thường toán cho ban đầu B Bây ta xét điểm A nằm đường trịn (O, R), A O (Hình 9) Cũng từ lời giải tốn cho ta có: AB dài AB = AD C A • O D AB ngắn AB = AC Kết hợp lại giả thiết tốn vị trí tương đối điểm A so với đường tròn (O, R) ta có tốn tổng qt sau: Hình Bài tốn 2: Cho đường tròn (O, R) điểm A (A O) Xác định vị trí điểm B (O) để độ dài AB ngắn nhất, dài ? 15 SangKienKinhNghiem.net Từ vị trí tương đối điểm A so với đường trịn A nằm ngồi, nằm trong, nằm đường trịn ta xem điểm A nằm toàn đường thăng d Điểm B vị trí để khoảng cách từ B đến đường thẳng d dài nhất, ngắn ? Ta xét trường hợp thẳng d đường trịn (O, R) khơng giao (Hình 10) Qua O vẽ đường thẳng vng góc với d cắt (O) M M’ (M nằm giữ O H, H giao điểm MM’ M’ d) B Ta nhận rằng: BB' dài B M’ • O BB' ngắn B M Từ ý tưởng phân tích ta lại có tốn mang tính tổng qt tốn sau: • B’ M H d Hình 10 Bài tốn 3: Cho đường trịn (O, R) đường thẳng d không giao Xác định vị trí điểm B đường trịn (O, R) để khoảng cách từ B đến đường thẳng d có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất? Hơn ta có lời giải toán đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O, R) đường thẳng d cắt đường trịn (O, R) Từ việc phân tích ví dụ ta thấy ta đưa thêm điều kiện để hạn chế toán ta chuyển toán từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang nghiên cứu tập hợp nhỏ tập hợp cho, xem đường đến tốn hay tính tổng qt có tính chất đặc thù nhằm chống lại suy nghĩ rập khuôn, chống áp dụng quy tắc, dập khn cách máy móc, giúp khắc phục “tính ỳ” tư Như vậy, việc rèn luyện khả khái quát hoá, đặc biệt hoá cho HS qua việc giải tốn góp phần giúp HS nắm vững kiến thức vững vàng hơn, qua rèn luyện tư HS giải toán, nhằm giúp em hứng thú việc tạo động học tập sáng tạo Tóm lại: Song song với hoạt động trên, em làm quen với phép suy luận, phép chứng minh, quan hệ, lập luận có trình bày mạch lạc tuân theo quy luật quy tắc suy luận, quy luật logic hình thức Nói cách chủ quan rằng, HS sau vận dụng thành 16 SangKienKinhNghiem.net thạo nội dung trình bày góp phần vào việc rèn luyện, phát triển tư logic sử dụng ngơn ngữ xác cho HS 2.2.3 Biện pháp : Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề Như phân tích trên, nét đặc trưng bật tư sáng tạo tạo Qua việc giải hệ thống tập thiết kế, chọn lọc, HS rèn luyện nhiều khả tìm hướng (có thể tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (có thể khai thác kết tốn xem xét khía cạnh khác toán) Khả phát vấn đề giải vấn đề khả quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho HS, khả thể rõ nét chỗ đề xuất toán tốn hồn tồn mới, mở rộng, đào sâu tốn biết Để góp phần có thêm khả đó, tác giả quan tâm bồi dưỡng cho HS số vấn đề sau: 2.2.3.1 Rèn luyện khả nhận biết, tìm tịi phát tốn liên quan sáng tạo tốn Thơng qua hoạt động dạy học giải tập, HS lơi vào hoạt động, hội tìm tịi, khám phá phát vấn đề việc làm cần thiết Với cách dạy học đề cao vai trị chủ thể người thầy HS có hội số luyện tập hạn chế HS phát vấn đề mà thường lập lại phát vấn đề GV đưa ra, HS thường bị động tiếp nhận kiến thức từ phía GV Cách dạy học làm hạn chế khả tìm kiếm, tự phát vấn đề HS, điều trái với quan điểm việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm, việc hoà biến đổi thân để trở nên có kiến thức mới, phương pháp tư thực phê bình, để tự hiểu thân Chính điều mà dạy học, người GV phải biết trọng công tác bồi dưỡng HS lực nhận biết tìm tịi, phát triển vấn đề để giúp HS rèn luyện kỹ tư vào thói quen phát triển tìm tịi, thơng qua số thao tác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho HS lực tạo cho HS thói quen ln ln tích cực khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều địi hỏi HS phải trải qua q trình tìm tịi, mị mẫm, dự đốn, suy xét nhiều góc độ để thử nghiệm 17 SangKienKinhNghiem.net ... đại số 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học .16 2.2.1 Biện pháp. .. cho học sinh THCS thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học phẳng Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho trường THCS IV Nội dung sáng kiến Giải pháp 1.1 Thực trạng dạy. .. 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải toán cực trị hình học