(SKKN HAY NHẤT) một số bài toán về phương trènh tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ THẨM ĐỊNH , ĐÁNH GIÁ Ở CẤP: Ngành TÊN SÁNG KIẾN : “ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ” Tác giả sáng kiến : NGUYỄN SỸ AN Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : THPT Yên Phong số Bộ môn ( Chuyên ngành) : Toán YÊN PHONG,THÁNG 10 NĂM 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến ngành Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh Tôi ghi tên đây: Số Họ tên Ngày sinh Nơi cơng tác TT Chức Trình độ Tỷ lệ (%) danh chun đóng góp mơn vào sáng kiến 01 Nguyễn Sỹ An 06.01.1982 Trường THPT GV ĐHSP 100% Yên Phong số Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số - Chủ đầu tư sáng kiến: Sáng kiến cá nhân tự thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 05-10-2013 - Mô tả chất sáng kiến: Trong sáng kiến này, tơi trình bày nội dung viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Giáo viên học sinhcần trang bị kiến thức định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng phương trình tiếp tuyến - Đánh giá lợi ích thu từ sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn Đặc biệt cịn tài liệu bổ ích, thiết thực cho em học sinh ôn thi THPT quốc gia Tôi xin cam đoan thông tin trung thực hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Yên Phong, ngày 22 tháng 10 năm 2015 Người nộp đơn Nguyễn Sỹ An LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 MỤC LỤC Phần Nội dung Trang PHẦN I MỞ ĐẦU I I.Mục đích II Đóng góp PHẦN II NỘI DUNG Chương : THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Chương : CÁC GIẢI PHÁP I Một số kiến thức bản: II 1.Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng 8- 10 2.Phương trình tiếp tuyến 3.Ý nghĩa hình học đạo hàm 4.Điều kiện tiếp xúc II.Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số: 10- 20 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho trước Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp 21 – 27 tuyến qua điểm cho trước 27 – 29 III.Một số toán tổng hợp tiếp tuyến đồ thị hàm số: IV Bài tập tự luyện: Chương : KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP III 30 PHẦN III KẾT LUẬN I.Những vấn đề quan trọng đề cập II.Hiệu thiết thực 31 III Kiến nghị ,đề xuất IV PHẦN IV PHỤ LỤC 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 PHẦN I MỞ ĐẦU I.Mục đích : Qua q trình cơng tác giảng dạy trường THPT , tơi thấy tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào CĐ – ĐH năm gần đây, nhiều học sinh cịn mơ hồ lúng túng khơng biết giải tốn Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm viết phương trình tiếp tuyến điểm; dạng viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 tuyến…đối với học sinh lại khó Học sinh khơng có phương pháp làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số em biết sơ qua chương trình lớp 11 lại luyện tập ,chưa hiểu sâu lí thuyết; chưa rèn luyện nhiều kĩ Chính tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “ Một số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số’’ với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo Đề tài “Một số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số’’ hoàn thiện nhằm đáp ứng nhu cầu đa số học sinh Kỹ trình bày dễ hiểu Mỗi tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có ví dụ minh họa , phân tích có hướng dẫn giải cụ thể.Từ cịn rèn cho học sinh việc giải số dạng tốn phức tạp có mức độ tư cao Điểm nghiên cứu : Cái phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kiến thức bản, phù hợp với tư học sinh II.Đóng góp : Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ôn thi trung học phổ thong quốc gia LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô em học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi Sáng kiến thúc đẩy học sinh việc tìm tịi, sáng tạo dạng tốn Sáng kiến cịn cơng cụ để giải dạng tốn khác chương trình phổ thơng Với đóng góp tơi tin sáng kiến “Một số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số’’sẽ tài liệu tham khảo hữu ích hiệu cho quý thầy cô, bạn đồng nghiệp em học sinh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 PHẦN II NỘI DUNG Chương 1:THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì tốt nghiệp; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân : Thứ nhất, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mảng kiến thức phong phú, địi hỏi người học phải có tư duy, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song phân loại chưa dựa gốc tốn nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng quát LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em.Ngoài thời gian em luyện tập lớp chưa nhiều Để giúp học sinh giảm bớt khó khăn làm dạng tốn tơi có mạnh dạn đưa đề tài “Một số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số’’ với hi vọng nhằm giúp học sinh phần tháo gỡ khó khăn Trong q trình biên soạn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô , bạn đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài sau tốt Tôi xin chân thành cảm ơn ! Chương : CÁC GIẢI PHÁP I.Một số kiến thức : 1.Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) đồ thị hàm số y = f(x) (x ; f (x )) kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: Ví dụ 3: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (C m); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x3 + 3x2 + mx + = 1 x(x2 + 3x + m) =  * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt:  Phương trình (2) có nghiệm xD, xE   Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = kE = y’(xE) = Các tiếp tuyến D, E vng góc khi: kDkE = –1  (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1  9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số  4m2 – 9m + =  m = Năm học 2015 – 2016 ĐS: Ví dụ 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: , biết khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải: Gọi tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M Ta có: Vậy Ta có: Vậy lớn =4 Cả hai giá trị thỏa mãn + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: Ví dụ 5: Cho hàm số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Cho điểm thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh M o trung điểm đoạn thẳng AB Giải a) Tự làm  (C)  b) Phương trình tiếp tuyến (d) M0: Giao điểm (d) với tiệm cận là:  Ví dụ 6: Cho hàm số:  M0 trung điểm AB (C) 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Giải a) Tự làm  (C) b) Giả sử M  PTTT (d) (C) M: Các giao điểm (d) với tiệm cận là: , ; Diện tích :S Ví dụ 7: Cho hàm số = = (đvdt) ĐPCM 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải Giả sử , Phương trình tiếp tuyến () với (C) M: Tọa độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: Ta thấy , suy M trung điểm AB Mặt khác I(2; 2) IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S= Dấu “=” xảy Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Ví dụ 8: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(-4; -2) Giải Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (  PTTT (d) Ta có: )   Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: Chú ý: Bài tốn có thể giải cách sau: Tiếp tuyến cách A, B nên có khả năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB tiếp tuyến qua trung điểm AB Ví dụ 9: Cho hàm số tìm điểm M cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích Giải : Gọi , 34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Tiếp tuyến M có dạng: Gọi tọa độ điểm A nghiệm hệ: Gọi tọa độ điểm B nghiệm hệ: Tam giác OAB vuông O ; OA = ; OB =   Diện tích tam giác OAB: S= OA.OB = Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 IV Bài tập tự luyện : Bài Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = Bài Cho hàm số , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Bài Cho hàm số tất tiếp tuyến (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài Cho hàm số: (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Bài Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: Bài Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số Biết tiếp tuyến qua điểm A(-1; 3) Bài Cho hàm số: y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(-6,5) 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 2x + 3x2 - 12x - kẻ từ điểm Bài Cho hàm số có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Bài 10 Cho hàm số: CMR: a) Nếu tiếp tuyến đths cắt hai đường tiệm cận A B tiếp điểm trung điểm AB b) Mọi tiếp tuyến đồ thị tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi c) Tìm tất điểm thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Bài 11 Cho hàm số Tìm m để tiếp tuyến giao điểm với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 12 Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 37 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 b) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Bài 13 Cho (C) đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân gốc tọa độ O Bài 14 Cho hàm số Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến (C) M lớn Bài 15 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = cho tiếp 38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Chương : KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP Để thực đề tài tơi tìm đọc nhiều tài liệu viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung cần phân tích, tổng hợp , đánh giá ,kết hợp với hình ảnh trực quan để làm bật nội dung đề tài Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học xác  Đảm bảo tính lơgic  Đảm bảo tính sư phạm 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016  Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày tơi ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh Thực tế thơng qua giảng dạy đề tài ““Một số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ”, số lớp 12, tơi có thu kết sau : Tổng số học sinh Trước áp dụng SKKN Sau áp dụng SKKN Yếu Yêú TB Khá Giỏi 120 TB Khá Giỏi 60 Kém Số lượng 10 50 50 10 35 20 % 8,4 41,6 41,6 8,4 4,2 29,2 49,8 16,4 Phần III KẾT LUẬN I Những vấn đề quan trọng đề cập đến - Một số kiến thức (Định nghĩa tiếp tuyến , phương trình tiếp tuyến,ý nghĩa hình học đạo hàm , điều kiện tiếp xúc) 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 - Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số(Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc phương trình tiếp tuyến đii qua điểm) II.Hiệu thiết thực Hiệu sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm bật phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phân tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề III Kiến nghị, đề xuất Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân tơi có kiến nghị:Tổ chun mơn,Ban giám hiệu, có kế hoạch tăng thêm thời lượng tiết ,bổ sung thêm số thiết bị máy chiếu nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi hơn.Ngoài tạo điều kiện cho sáng kiến ứng dụng rộng rãi tới đối tượng học sinh Yên Phong, ngày 22, tháng 10, năm 2015 Người Viết 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 Nguyễn Sỹ An PHẦN IV.PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo Tuyển tập đề thi Olympic 30 - Mơn Tốn lần thứ V, Nhà xuất Giáo dục Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 Mơn Tốn lần thứ VII ,Nhà xuất Giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 250 – Nhà xuất Giáo dục Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán – Nhà xuất Giáo dục Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, số đề thi học sinh giỏi quốc gia 6.Trần Phương: Phương pháp giải đề thi tuyển sinh mơn tốn- Nhà xuất Đà Nẵng, năm 1999 Trần Thị Vân Anh : Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia mơn Tốn Bộ giáo dục & Đào tạo- Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2009 8.Đoàn Quỳnh ( chủ biên): Hướng dẫn ơn tập kì thi trung học phổ thong quốc gia năm học 2014 – 2015– Nhà xuất Giáo dục 9.Nguyễn Phú Khánh : Trọng tâm kiến thức phương pháp giải toán khảo sát hàm số ứng dụng đạo hàm – Nhà xuất Đại học sư phạm 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 10.Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, (2004), Phương pháp giải toán tiếp tuyến, NXBGD 11.Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, (2008), Giải tích 12, NXBGD 12.Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo, (2002), phân loại phương pháp giải tốn giải tích 12, NXB Trẻ 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... THPT Yên Phong số Năm học 2015 – 2016 - Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số( Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc phương trình tiếp tuyến đii qua... tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số: Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm 1.1 Phương pháp giải:... nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng 8- 10 2 .Phương trình tiếp tuyến 3.Ý nghĩa hình học đạo hàm 4.Điều kiện tiếp xúc II .Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số: 10- 20 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp