(SKKN HAY NHẤT) định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CƠNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT MƠN: TỐN Tác giả: Lê Thị Thu Hương Tổ: Toán - Tin Năm: 2020 - 2021 Điện thoại: 0941 05 4567 Năm học: 2020 - 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CƠNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT MƠN: TỐN Năm học: 2020 - 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Đóng góp đề tài PHẦN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Cấp số cộng 2.1.2 Cấp số nhân 2.1.3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: 2.1.4 Một số công thức lượng giác thường dùng giải toán liên quan dãy số 2.2 Thực trạng vấn đề giải tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số 2.3 Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số 2.3.1 Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) 2.3.2 Phương pháp sử dụng phép lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học 32 2.3.3 Một số phương pháp tổng hợp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số 39 PHẦN III KẾT LUẬN 44 3.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 44 3.2 Kiến nghị 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài Trong giai đoạn nay, để đổi phương pháp dạy học có hiệu quả, giáo viên yếu tố định hàng đầu việc thực đổi phương pháp giảng dạy Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng, xác định vấn đề cần đổi mới, nắm vững kĩ truyền đạt kiến thức, chủ động có sáng kiến Từ đó, làm cho học sinh biết tự học, tự vận dụng, biết hợp tác chia sẻ, học cách thức tới hiểu biết, coi trọng khám phá khai thác học thuật… Thực tiễn dạy học chương trình Đại số Giải tích 11 cho thấy, chủ đề dãy số chủ đề trừu tượng, toán dãy số nội dung gần thiếu đề thi học sinh giỏi Toán THPT Khi gặp toán này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc tìm cách giải chúng, đặc biệt tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Hơn nữa, số lớp toán liên quan đến dãy số, xác định công thức số hạng tổng quát dãy số tốn gần giải Đứng trước tình hình đó, người giáo viên phải nắm vững kiến thức kĩ cần truyền đạt đến học sinh để thiết kế dẫn dắt học sinh từ dễ đến khó, từ đến nhiều Giáo viên xác định việc dạy cách học, học cách học hướng vào người học để phát huy tính tích cực chủ động người học, hỗ trợ người học tìm chọn xử lí thơng tin cách linh hoạt sáng tạo Vì thế, để đổi phương pháp giảng dạy có hiệu quả, giáo viên yếu tố định hàng đầu việc thực đổi Vị trí giáo viên khơng phải xác định độc quyền thông tin trí thức có tính đẳng cấp, mà phẩm chất, trí tuệ trải trình dẫn dắt học sinh tự học Vì lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Định hướng cho học sinh số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng, bổ sung nâng cao kiến thức, kĩ cho học sinh, giúp em giải số tốn tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số kì thi học sinh giỏi cấp, kì thi THPTQG sau Phát huy tinh thần sáng tạo, tự học, tự rèn luyện em nhằm mục tiêu bồi dưỡng nhân tài, hình thành phẩm chất, lực đặc biệt cho học sinh Nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời góp phần nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm thân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số dạng toán dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt, từ trang bị cho em học sinh khá, giỏi kĩ để tìm cơng thức số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hạng tổng quát dãy số chương trình mơn tốn THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kinh nghiệm giảng dạy thân, đồng nghiệp tài liệu tham khảo liên quan Chú trọng phương pháp dạy học sở phương pháp khoa học: phương pháp tái hiện, phương pháp tư duy, phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,… Định hướng cho học sinh tìm cách giải tốn nhằm phát huy khả quan sát, khả vận dụng kiến thức, tái kiến thức kết hợp kiến thức liên quan q trình giải tốn 1.5 Đóng góp đề tài Đề tài tổng hợp số kỹ việc tìm số hạng tổng quát dãy số thông qua phương pháp sau : - Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) - Phương pháp sử dụng phép lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học - Phương pháp tổng hợp - Thông qua việc định hướng phương pháp giải, giúp học sinh rèn luyện kỹ phân tích, biến đổi cơng thức truy hồi dạng đặc biệt dãy số, kĩ đặt ẩn phụ, kĩ sử dụng công thức lượng giác đưa dãy số cho dãy số đặc biệt có cách tìm cơng thức số hạng tổng qt, kĩ dự đốn cơng thức số hạng tổng qt, kĩ chứng minh công thức số hạng tổng quát phương pháp quy nạp tốn học có cách tìm công thức số hạng tổng quát… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số  un  gọi cấp số cộng (CSC) un1  un  d , n  N * Trong d : công sai CSC; u1 : số hạng đầu CSC; un : số hạng tổng quát CSC un  u1   n  1 d , n  N * Số hạng tổng quát CSC: n Tổng n số hạng đầu CSC: Sn   2u1   n  1 d  , n  N * 2.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số  un  gọi cấp số nhân (CSN) un1  un q, n  N * Trong q : cơng bội CSN; u1 : số hạng đầu CSN; un : số hạng tổng quát CSN Số hạng tổng quát CSN: un  u1q n1 , n  N * Tổng n số hạng đầu CSN: Sn  u1  qn , q  1, n  N * 1 q 2.1.3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề: P  n  , n  N * đúng, ta chứng minh: +) Với n   P 1 +) Giả sử P  k  , k  N * Ta chứng minh P  k  1 2.1.4 Một số công thức lượng giác thường dùng giải tốn liên quan dãy số - Cơng thức lượng giác sin   cos 2  1  tan   cos 2 1  cot   sin  - Công thức nhân đôi sin 2  2sin  cos LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cos 2  2cos 2    2sin  - Công thức nhân ba sin3  3sin   4sin  cos3  4cos3  3cos 2.2 Thực trạng vấn đề giải tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Chủ đề dãy số chủ đề đóng vai trị quan trọng tốn học nhiều lĩnh vực đời sống Trong chương trình tốn THPT, toán thường gặp dãy số tốn như: giới hạn, số hạng tổng qt, tính đơn điệu, bị chặn,… Trong tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số thường xuyên xuất đề thi Olimpic Tốn, kì thi học sinh giỏi quốc gia, kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi trường Khi gặp tốn dạng này, học sinh thường lúng túng khơng biết tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Trước tình hình đó, việc định hướng cho em tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số nhiệm vụ cần thiết người giáo viên trình dạy học Nhất dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt Khi tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số việc xét tính đơn điệu, bị chặn hay tìm giới hạn dãy số giải Bằng kinh nghiệm, vốn tri thức mình, người giáo viên định hướng cho học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số thông qua số phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp lượng giác,… để từ đưa dãy số cho dãy số đặc biệt có cách tìm cơng thức số hạng tổng quát CSC, CSN, … 2.3 Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) Dạng 1: Dãy số  un  thỏa mãn: u1  x0 ( )  *  k, r  R u  ku  r ,  n  N n  n1 Định hướng: Khi k  un1  un  r , n  N * Khi đó,  un  CSC nên ta tìm số hạng tổng quát dãy số Khi k   un  CSC hay CSN r  Ta nghĩ đến việc phân tích công thức truy hồi, thông qua việc đặt dãy số phụ đưa dãy số CSN r Giả sử un1  x  k  un  x  , n  N *  kx  x  r  x  k 1 Đặt  un  x  vn1  un1  x  vn1  kvn , n  N * Suy ra, dãy số   CSN có v1  u1  x, cơng bội q  k Ta tìm  un LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 1: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1    2un  u  , n  N *  n1 Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) 2 Định hướng: Ta có: un1  un  (1) 3 r  2 Đây dãy số có dạng 1, với k  , r  , ta tìm x  k 1 3 Khi đó: 1  un1    un   Bài toán giải Giải vấn đề: 2 Từ cơng thức truy hồi, ta có: un1  un   un1    un   3 Đặt  un  2, n  N *  vn1  un1  2, n  N *  vn1  , n  N * Suy ra, dãy số   CSN có v1  , cơng bội q    v1.q n 1 2 Vậy un    3 2   3 n 1 2 , n  N *  un    3 n 1  2, n  N * n 1  2, n  N * Nhận xét: Nếu cơng thức truy hồi có dạng: un1  kun  f  n  , n  N * , (trong  k  R , f  n  đa thức có bậc s  phân thức hữu tỉ theo n ) ta làm ? Ta đưa công thức truy hồi cho dạng: un1  g  n  1  k  un  g  n    un1  k.un  g  n  1  k.g  n  Khi đó, ta tìm cách phân tích : f  n   g  n  1  k.g  n  Vấn đề đặt tìm g  n  thế nào? *) Nếu f  n  đa thức ta xét trường hợp sau: Khi k  : f  n   g  n  1  g  n  đa thức có bậc nhỏ bậc so với bậc đa thức g  n  không phụ thuộc vào hệ số tự g  n  Khi ta chọn g  n  đa thức bậc s  có hệ số tự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi k  : f  n   g  n  1  k.g  n  đa thức bậc với đa thức g  n  Khi ta chọn g  n  đa thức bậc với đa thức f  n  Ta có dạng tốn sau: Dạng 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  x0  * un1  k un  f  n  , n  N (trong  k  R , f  n  đa thức có bậc s  phân thức hữu tỉ theo n ) Định hướng: Tìm g  n  để f  n   g  n  1  k.g  n  Khi f  n  đa thức có bậc s  theo n : +) Nếu k  chọn g  n  đa thức có bậc s  có hệ số tự +) Nếu k  ta chọn g  n  đa thức bậc với đa thức f  n  Khi đó, đặt:  un  g  n  Ta đưa về: vn1  k.vn , n     CSN Ta tìm  un Bài tốn giải Ví dụ 2: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1   * un1  un  6n  4, n  N Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ? Định hướng : Ta có k  1, mà f  n   6n   Chọn g  n   an2  bn  g  n  1  a  n  1  b  n  1  an2  bn  2an  a  b Giả sử: un1  g  n  1  un  g  n   g  n  1  g  n   6n   2an  a  b  6n  a    g  n   3n  n b  Bài toán giải Giải vấn đề: Ta có: un1  un  6n   un1  3  n  1   n  1   un   3n  n    Đặt  un   3n  n  , n  N *  vn1  un1  3  n  1   n  1     vn1  , n  N * Suy   dãy số không đổi n  N * , mà v1  u1   2   2, n  N *  un    3n2  n   3n  n  2, n  N * Vậy un  3n2  n  2, n  N * LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét: Ngoài cách đặt dãy số phụ ta nghĩ đến phương pháp cộng dồn để tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Cách thường dùng k  Thật vậy: Từ cơng thức truy hồi ta có: u1  u2  u1  10 u3  u2  16 … un  un1   n  1  Cộng vế theo vế, ta có: un   10  16    n  1  4 Ta thấy, tổng 10  16    n  1  4 tổng  n  1 số hạng đầu CSC có số hạng đầu 10, cơng sai d  Suy ra: 10  16    n  1     n  110   n  1 n    3n2  n   un  3n2  n  Vậy un  3n2  n  2, n  N * Ví dụ 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1   * un1  5un  4n  3n  3n  1, n  N Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n (Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Định hướng: Ta có k  5, mà f  n   4n3  3n  3n  Nên chọn g  n   an3  bn  cn  d  g  n  1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d  an3  bn  cn  d  3an   3a  2b  n  a  b  c Giả sử: un1  g  n  1  un  g  n   g  n  1  g  n   4n3  3n  3n   4an3   3a  4b  n   3a  2b  4c  n  a  b  c  4d  4n3  3n  3n  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.2 Phương pháp sử dụng phép lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học Ví dụ : Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1   * un1   un , n  N Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng: Ta thấy u1   2cos  Mặt khác, đặt un  2cos  un   2cos  2cos  Như toán giải Giải vấn đề: Ta có u1   2cos   2cos u2     2cos Tương tự: u3  2cos  16 22       1  cos   2cos  2cos 4   2cos Ta chứng minh: un  2cos   24  phương pháp quy nạp toán học 2n1 Thật vậy: Với n   u1  2cos Giả sử un1  2cos  2  2cos  ( )  2n  un   un1   2cos Vậy un  2cos       cos  2n 2n      2cos n1   2n1 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ : Cho dãy số  un  thỏa mãn:  Tính lim 2n  un   u1    *  un1   un , n  N ? ( Đề thi HSG tốn 12 Tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Định hướng: Ta thấy u1     2cos 3 3 3  2cos  2cos u2   u1   2cos Tương tự: u3  2cos 3 3 3  2cos  2cos 16 3 3  2cos 32 3 phương pháp quy nạp 2n   n 3  Ta chứng minh được: un  2cos   Suy lim 2n  un  lim    2cos  2n  3   sin n         3  lim  2n.2sin n3   lim       n 3    Như toán giải  u1  Ví dụ 3: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  *  un1   2un1.un , n  N Tìm số hạng tổng quát un theo n ? ( Đề thi HSG toán THPT Tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Định hướng: Từ giả thiết, ta suy un  1, n  Ta có: un1   2un1.un  un21   2un1.un  un21  2un1.un  un2  un2   un1  un   un2 *   Để làm thức biểu thức * , ta đặt: un  cot  ,   0;  , n   4 (do un  1, n  1) 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Khi đó: *  un1 Vì u1   cot  2cos 1  cos  cot   cot       sin  sin  2sin cos 2  cot  2  u2  cot   cot  ; u3  cot  24 ;… Từ đó, ta tìm cơng thức tổng qt dãy số un  cot  2n1 , n  Như tốn giải Ví dụ 4: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  u1    u  un   , n  N *  n1 un  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? ( Đề thi HSG toán 12 TP Hà Nội năm 2019-2020) Định hướng: Ta thấy, công thức truy hồi xuất un2  nên ta nghĩ đến phép lượng giác để khử Từ giả thiết, suy un21   un1 un   un1 un21   mà u1   0; un21    un1   un  1, n    Đặt un  tan  ,   0;  , n   4  1 2sin  cos  tan    Khi đó: un1  cos   tan  sin  2sin cos 2      tan  tan  u2  tan  tan , 3.2 12 3.2  Ta chứng minh un  tan n , n  phương pháp quy nạp toán học 3.2  Vậy un  tan n , n  3.2 Như tốn giải Ta có: u1  34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 5: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1      un , n  N * un1   Hai dãy số   ,  w n  xác định sau:  4n 1  un  ; w n  u1 u2 u3 un , n  Tìm giới hạn lim ;limwn ( Đề thi HSG tốn 12 TP Hải Phịng năm 2019-2020) Định hướng: Ta thấy, để tìm giới hạn yêu cầu, ta tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số  un  Từ công thức truy hồi dãy số  un  , ta suy ra:  un  1, n  Chọn    0;   cho cos    u1   u2  2  cos     cos ,    0;  2  2 Tương tự: u3   cos   cos   cos  22 Bằng quy nạp, ta chứng minh un  cos  2n1 , n  Từ ta tính lim ;limw n Bài tốn giải Ví dụ 6: Cho dãy số  un  thỏa mãn:  u1   u  2u  1, n  n  n1 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng: Từ công thức truy hồi: un1  2un2  1, ta nghĩ đến công thức lượng giác: 2cos 2   cos 2  Ta có: u1   cos         u2  2cos   cos   ; u3  2cos     cos  22  ;  3  3  3   Ta chứng minh quy nạp: un  cos  2n1  , n  3  Bài tốn giải Ví dụ 7: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1   un1  2un  1, n  35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng: Ở này, u1   khơng tồn tốn giải nào?  để cos  Khi a   2 1 1 Ta tìm a  : u1   a    a     2 a a  a   2 1  32 a 3 2 Ta chọn a   2  1 1 1 1 Khi đó, ta có: u2   a      a   4 a 2 a  1  1  u3   a      a   4 a  2 a  …  n1 Bằng quy nạp, ta chứng minh được: un   a  2n1 2 a  1  un    2 2  2n 1   32  2n 1   , n     , n   Nhận xét: Từ ví dụ 6, trên, ta có tốn tổng qt sau: u1  a 1) Cho dãy số  un  thỏa mãn:  un1  2un  1, n  Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ? Định hướng: Nếu a  : đặt u1  cos Khi ta có: un  cos 2n1 , n  Nếu a  : đặt u1   a   , a  2 a Khi đó, a nghiệm phương trình: a  2u1a   1 1 1 1 Ta có: u2   a      a   4 a 2 a  1  1  u3   a      a   4 a  2 a  … 1 Bằng quy nạp, ta chứng minh được: un   a  n 1   , n  2n 1  a  36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy toán giải u1  a , bc  2  u  bu  c ,  n  n  n1 2) Cho dãy số  un  thỏa mãn: Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ? Định hướng: +) Nếu b   c  2  dãy số cho trở thành: u1  a  un1  un  2, n  1 Khi đó, ta đặt u1  a   u2 a 1    a     a2  a a    u3   a     a  a  a  Bằng quy nạp, ta chứng minh un  a n 1  a2 n 1 , n  +) Nếu b  : Tìm cách đưa cơng thức truy hồi dạng 1) u a Đặt un  cvn  v1     c c Từ công thức truy hồi, ta suy ra: cvn1  b  cvn   c  bc2vn2  c  2cvn2  c  vn1  2vn2  1, n  Bài toán giải 3) Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  a  un1  4un  3un , n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng: Nếu a  : đặt u1  cos Khi đó, quy nạp ta chứng minh được: un  cos3n  , n  Nếu a  : đặt u1   a   , a  Tương tự dạng 1) trên, ta 2 1 n 1 chứng minh được: un   a  a   3n 1  , n  a  Ví dụ 8: Dãy số  un  thỏa mãn: u1   un1  un  2, n  37 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh  u1u2 un 2  số phương (Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020-2021) Định hướng 1: Đặt đặt u1  a  , a  a, u1 dấu a  3 a  Ta có phương trình: a  3a      3 a   Chọn a      ; a   a a 1  Ta có: u2   a     a  a a    u3   a     a  a  a  … Bằng quy nạp, ta chứng minh được: un  a n 1  a2 n 1 , n  1    n 1   Khi đó: u1u2 un   a   a    a  2n 1  a  a    a      2n1    a   a   a    a  2n1  a  a  a    a   a a      2n 1 2n  a   a    a  2n1  a  2n a  a    a  a  1 a a a a Suy ra:  u1u2 un  2  2n a   2n a   5  a1  a     4       n  n   a  2n     a  2n    un1  a  a    Vì un  N * , n  nên ta suy điều phải chứng minh 38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng 2: Từ công thức truy hồi, ta suy ra: un21  un4  4un2   un21   un4  4un2  un2  un2    un21   un2 un21  un21    un2 un21.un22  un22      un2 un21.un22 u12 u12   5.un2 un21.un22 u12  u1u2 un   5 u1u2 un    un21 số phương Nhận xét: Ở ví dụ này, giải theo định hướng Tuy nhiên, tốn u cầu tìm số hạng tổng quát dãy số hay yêu cầu liên quan đến việc tìm số hạng tổng quát dãy số ta thực theo định hướng Từ định hướng giải trên, ta đưa toán sau: u  Dãy số  un  thỏa mãn:  un1  un  2, n  Tìm lim un1 ? u1u2 un Ở tốn này, ta làm tương tự ví dụ un21  Từ  u1u2 un    u  u1u2 un  ,  un1  4, n  1 un1 un1  lim  lim  u1u2 un un21  2.3.3 Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát dãy số 2 n 1 Ta gặp dãy số cho cơng thức truy hồi khơng có dạng đặc biệt trên, kĩ biến đổi, phân tích, đặt dãy số phụ,… ta đưa dãy số dạng đặc biệt đưa dạng đặc biệt mà ta biết cách giải Ví dụ 1: Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  1, u2   1    , n  u u u n 1 n  n Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2020 - 2021) Định hướng: Ta phân tích : un     1 1  1   2       un1 un  un un1   un1 un  39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt   , n   vn1   , n  un1 un 1    CSN có v1   , cơng bội q   2 1 1 1 Từ   , ta có: v1   , v2   , …, vn1   u2 u1 u3 u2 un un1 un1 un  1 1   1  2  v1  v2   vn1    v1 un u1  1    n 1 1  1   2    1        un     Vậy un   1     2 n 1 n 1  1 un n 1  un   1     2 n 1 , n  , n  Nhận xét: Ở ví dụ này, ta sử dụng kết hợp phương pháp đặt dãy số phụ phương pháp cộng dồn số hạng CSN để tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số cho Ví dụ 2: Cho dãy số  un  xác định sau:  u  1, u    n  n  1 u u  nu u   n  12 u u , n  n 1 n n n 1 n 1 n 1  Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ? ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Dương năm 2020 - 2021) Định hướng: Ta phân tích, biến đổi công thức truy hồi cho dạng tương tự cơng thức truy hồi ví dụ Ta có: n  n  1 un1un  nunun1   n  1 un1un1  n  n  1 un1un   n  1 un1un1  nunun1    n  1 un1  nun   n  1 un1   nunun1  nun   n  1 un1  nun un1  n  1 un1 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 n 1 ( cơng thức có dạng tương tự cơng thức truy    n  1 un1 un1 nun hồi dãy số ví dụ trên) 1 1 1 1          n  1 un1 un1 nun un  n  1 un1 un nun un1  1   vn1  , n     dãy số không đổi nun un1 Đặt  n  Mà v2   un  1 1    , suy  , n   0 nun un1 2u2 u1 un1 u un3 u2 2u  n 2     2 n n  n  1 n  n  1 n   n  n  1 n   n  3 n! n! Vậy un  , n  n! Ví dụ 3: Cho dãy số  un  xác định sau: u1   un2  un1  2u  , n  n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Yên năm 2020 - 2021) Định hướng: Từ cơng thức truy hồi, ta nghĩ đến cách biến đổi đưa dãy số dạng tương tự ví dụ cách nghịch đảo vế công thức truy hồi un2    Ta có: un1  2un  un1 un un , n   vn1  vn2  2vn un Đến đây, ta thấy làm xuất bình phương vế phải, ta biến đổi sau: vn1  vn2  2vn  vn1      1 Đặt xn   1, n   x1  v1    ; xn1   xn2 , n  2 Ta có: x2   x1 ; x3   x2   x1 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: Khi đó, đặt  xn   x12 n 1  1      2 2n 1 , n  41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2n 1 n 1 1 22  1   xn          2n 1  un   2n 1 , n    2 Bài tốn giải u1  Ví dụ 4: Cho dãy số  un  xác định sau:  un1  3un  2, n  a) Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b) Tính tổng S  u12  u22  u32  u2020 ( Đề thi HSG Tỉnh Cà Mau năm 2020 - 2021) Định hướng: Từ cơng thức truy hồi, ta nghĩ đến cách bình phương vế để a) Ta có: un1  3un2   un21  3un2   un21    un2  1 Đặt  un2   vn1  3vn    CSN có v1  , cơng sai q  Khi đó:  2.3 n1 un  2.3 n1 1, n  b) Từ công thức số hạng tổng quát, ta có: S  u12  u22  u32  u2020  1   32   32019   2020  32020  2021 Bài toán giải u1   Ví dụ 5: Cho dãy số  un  xác định sau:  u  un    2un , n  n     Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2019 - 2020) Định hướng: Làm xuất bình phương biểu thức vế phải công thức truy hồi un1  un    2un  9un1  un    2un    18un1  2un    2un  18un1   2un    2un  16   2un1  1    2un   un   2un1   2un   nN * Đặt  2un   3vn1    vn1   3 Ta đưa dãy số dạng 1, mục 2.3.1 có cách giải Bài tốn giải Ví dụ 6: Cho dãy số  un  xác định sau: 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com u1   un1  un  14un  56, n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n ? Định hướng: Làm xuất bình phương biểu thức vế phải công thức truy hồi un1  un2  14un  56  un1   un2  14un  49  un1   un   Đặt  un   vn1  vn2 , n      vn21  v n22  un    6  n 1 2    v1  2n 1   6  2n 1  * , n  Bài toán giải Nhận xét: Phương pháp tìm cơng thức * thường gọi phương pháp hàm lặp u1   Ví dụ 7: Cho dãy số  un  xác định sau:  n 1 un1  un  n , n   Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n ? ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm 2019 - 2020) Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta nghĩ đến cách bình phương vế để un1  un2  n 1 n 1 2  u  u   2n un21  2n un2  n  11 n 1 n n n 2 Nhân vế 1 với 2, ta có: 2n1 un21  2.2n un2  2n    Ta tìm g  n  cho: 2n   g  n  1  g  n  Giả sử g  n   an  b  g  n  1  an  a  b  an  a  b  2n  a  2   g  n   2n  b  4 Khi đó, từ   ta suy ra: 2n1 un21  2n   2. 2n un2  2n    2n1 un21   n  1   2. 2n un2  2n   Đặt  2n un2  2n  4, n   vn1  2vn , n  Như toán giải 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN III KẾT LUẬN 3.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.1.1 Đối với hoạt động giáo dục học sinh Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác giáo dục học sinh Trang bị tốt cho em hướng tư bản, lực tự học, lực giải vấn đề, lực tư lập luận logic,… đứng trước tốn khó, phức tạp Đồng thời rèn luyện cho em kỹ cần thiết thực giải tốn tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số thông qua phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp lượng giác Qua việc tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh năm học 2019 - 2020; năm học 2020 - 2021 trường, thấy tầm quan trọng tính hiệu việc định hướng cho học sinh số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi đặc biệt, 100 % em làm câu dãy số đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2020 - 2021 Kết khảo sát kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh trường năm học 2019-2020 chưa áp dụng đề tài sau: Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm câu dãy số Tỉ lệ 20 % 40 % 20 % Kết khảo sát kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh trường năm học 2020 -2021 áp dụng đề tài sau: Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm câu dãy số Tỉ lệ 66,7 % 3 100 % 3 100 % Từ kết khảo sát, ta thấy, sau trang bị cho em kĩ năng, phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số, em làm tốt hơn, biết vận dụng linh hoạt kiến thức học vào giải tốn dãy số Qua ta thấy 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hiệu việc vận dụng SKKN áp dụng vào giảng dạy, làm cho em tự tin, hứng thú say mê tìm tịi học tập 3.1.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giúp thân nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm, trang bị cho thân thêm công cụ để giải toán giáo dục học sinh Đề tài tổ Tốn- Tin góp ý đánh giá cao công tác giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Góp phần quan trọng phong nghiên cứu khoa học tổ chuyên môn Đề tài công khai rộng rãi đến tập thể học sinh trường, giúp em có thêm tư liệu để ôn tập, từ nâng cao chất lượng giảng dạy giáo dục nhà trường 3.2 Kiến nghị Đối với Sở Giáo dục: Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng tồn tỉnh đến trường THPT để chúng tơi học hỏi rút kinh nghiệm trình giảng dạy giáo dục học sinh Đối với nhà trường: Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chuyên môn, xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn cơng việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Để đề tài thực tốt cần có buổi sinh hoạt, seminar toán học để em học sinh bày tỏ quan điểm tự giúp em phát phương pháp giải thông qua tốn Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót để hồn thiện nữa, tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập đại số 11 nâng cao Sách giáo viên toán 11 Các đề thi học sinh giỏi Tỉnh tỉnh, thành phố nước, đề thi học sinh giỏi Quốc Gia đề thi thử THPT quốc gia Báo toán học & Tuổi trẻ Đề thi Olympic 30/4 Tài liệu tập huấn dạy học kiểm tra đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực cho học sinh Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn Tốn, tập tác giả: Hà Duy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễn Ngọc Giang, Lê Minh Cường, Nxb ĐHQGHN Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn Tốn, tập tác giả: Trịnh Khắc Quân, Nxb ĐHQGHN Phương pháp dạy học mơn Tốn Nguyễn Bá Kim, Nxb ĐHSP 10 Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể 2018 Bộ Giáo Dục 11 Một số toán chọn lọc dãy số, Nguyễn Văn Mậu, NXBGD 2003 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nạp, phương pháp lượng giác,… để từ đưa dãy số cho dãy số đặc biệt có cách tìm cơng thức số hạng tổng quát CSC, CSN, … 2.3 Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 Phương pháp. .. định hướng cho em tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số nhiệm vụ cần thiết người giáo viên trình dạy học Nhất dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt Khi tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số. .. dãy số cho dãy số đặc biệt có cách tìm cơng thức số hạng tổng qt, kĩ dự đốn cơng thức số hạng tổng qt, kĩ chứng minh công thức số hạng tổng quát phương pháp quy nạp tốn học có cách tìm công thức