Bài tập Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 2 1 Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa Người ta thử ngẫu nhiên từng c.
Bài tập Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 2.1 Một chùm chìa khóa gồm giống nhau, có mở cửa Người ta thử ngẫu nhiên mở cửa Gọi X số lần thử Tìm phân phối xác suất X; Tìm kỳ vọng phương sai X; Viết hàm phân phối xác suất X Hướng dẫn Gọi X số lần thử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị X = 1, 2, 3, Gọi Xi “mở cửa lần thứ i” X1, X2, X3, X4 tạo thành hệ đầy đủ Bài tập 2.2 Một xạ thủ có viên đạn Anh ta phải bắn vào bia với quy định có viên trúng bia hết đạn dừng Biết xác suất bắn trúng bia lần bắn 0,4 gọi X số đạn cần bắn Tìm kỳ vọng, phương sai viết hàm phân phối xác suất X Bài tập 2.3 Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A bầu cử tổng thống 40% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri chọn cách ngẫu nhiên Gọi X số người bỏ phiếu cho ơng A 20 người Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn X modX Tìm P(X = 10) Bài tập 2.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị x1 x2 (x1 < x2) Xác suất để X nhận giá trị x1 0,2 Tìm luật phân phối xác suất X, biết kỳ vọng E(X) = 2, độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = 0,8 Bài tập 2.5 Mỗi khách uống cà phê quán cà phê ngày phát ngẫu nhiên vé bốc thăm, xác suất khách hàng trúng thăm 0,1 Nếu khách hàng trúng thăm liên tục ngày (từ thứ hai đến thứ sáu) nhận 100₫, khơng khơng An uống cà phê liên tục quán tuần liên tiếp Gọi X₫ số tiền An thưởng bốc thăm tuần Xác định kỳ vọng phương sai X Gọi X số tiền An nhận bốc thăm tuần Y số tuần An thưởng X = 100Y Y biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối nhị thức với n = phép thử độc lập p xác suất thưởng tuần Dễ tính p = 0.15 Suy E[X] = 100 E[Y] = 100 × × 0.15 = 0.004 V[X] = 104 V[Y]= 0.4 Bài tập 2.6 Tung đồng xu 10 lần Biến ngẫu nhiên X định nghĩa sau: (X = 1) kiện lần mặt sấp xảy (X = 0) trường hợp cịn lại Tính kỳ vọng E(X) phương sai V(X) Bài tập 2.7 Có sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy hai sản phẩm (lấy khơng hồn lại) Gọi X “số phẩm gặp phải” Lập bảng phân phối xác suất X Tính E(X) V(X) Gọi Y “số phế phẩm gặp phải” Lập hệ thức cho mối quan hệ X Y Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục 2.1 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Functions) biến ngẫu nhiên liên tục Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục ký hiệu f(x) hàm thỏa mãn: 2.2 Tính chất Hàm phân phối tích luỹ-hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution Functions) biến ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối tích lũy (hàm phân phối xác suất )của biến ngẫu nhiên liên tục X, ký hiệu F(x), hàm sau: Các đặc trưng biến ngẫu nhiên tục 4.1 Kỳ vọng Giả sử f(x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X Kỳ vọng (giá trị trung bình) X , ký hiệu μ hay E(X), định nghĩa: 4.2 Phương sai độ lệch chuẩn Tham khảo: Bài tập xác suất có điều kiện có lời giải chi tiết Bài tập biến ngẫu nhiên liên tục Bài tập biến ngẫu nhiên liên tục x có hàm mật độ Bài 1: Nhu cầu hàng năm loại hàng hóa A biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau: (đơn vị: ngàn sản phẩm) a) Tìm hệ số k b) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm loại hàng hóa c) Tìm xác suất để nhu cầu hàng năm loại hàng hóa khơng vượt q 12 Giải Bài 2: Thời gian xếp hàng chờ mua hàng khách hàng biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối tích lũy cho sau: (đơn vị phút) a) Tìm hệ số k b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình c) Tính xác suất để có người xếp hàng có khơng q người phải chờ 0,5 phút Giải Bài 3: Một bến xe buýt 10 phút có chuyến xe đến bến thời điểm Tính xác suất hành khách xuất bến xe không sớm phút sau chuyến ô tô trước chuyển bánh; không muộn phút chuyến ô tô khởi hành Giải Bài viết liên quan: Bài tập cơng thức xác suất đầy đủ Bayes có lời giải Bài tập biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối chuẩn Bài 4: Thời gian sạc pin laptop điều kiện bình thường biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thời gian trung bình 260 phút độ lệch tiêu chuẩn 50 phút a) Tính tỷ lệ laptop có thời gian sạc pin b) Thời gian sạc pin cần thiết để 95% laptop có thời gian sạc pin khơng vượt q thời gian Giải Bài tập đặc trưng biến ngẫu nhiên liên tục Giải Bài 6: Thời gian từ nhà đến trường sinh viên A biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Biết có 65% số ngày sinh viên A đến trường 20 phút 8% số ngày sinh viên A đến trường 30 phút a) Tình thời gian trung bình độ lệch chuẩn thời gian từ nhà đến trường sinh viên A b) Nếu sinh viên A xuất phát từ nhà trước học 25 phút tỷ lệ ngày học muộn bao nhiêu? Giải độ lệch tiêu chuẩn σ ( X ) = σ Chứng minh Để xác định kỳ vọng, trước hết ta tính Đặt z = ( x − µ ) /σ dx = σdz, ta nhận hàm số dấu tích phân hàm lẻ z Do đó, E ( X ) = µ Phương sai biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn cho Đặt z = ( x − µ ) /σ dx = σdz, ta nhận Tích phân phần với ta tìm Nhận xét 2.14 Phân phối liên tục quan trọng lĩnh vực thống kê phân phối chuẩn Đồ thị hàm mật độ xác suất f X ( x ) biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn, gọi đường cong chuẩn, có dạng hình chng (xem Hình 2.9), mô tả gần nhiều tượng tự nhiên, cơng nghiệp nghiên cứu Hình 2.9: Đường cong chuẩn Hình 2.10 mơ tả hai đường cong chuẩn có độ lệch chuẩn kỳ vọng khác Hai đường cong giống hệt hình thức tập trung vị trí khác dọc theo trục hồnh Hình 2.11 mơ tả hai đường cong chuẩn có kỳ vọng độ lệch chuẩn khác Hình 2.12 mô tả cho trường hợp kỳ vọng độ lệch chuẩn khác Hình 2.10: Đường cong chuẩn với µ < µ σ = σ Hình 2.11: Đường cong chuẩn với µ = µ σ < σ Hình 2.12: Đường cong chuẩn với µ < µ σ < σ Định lý 2.18 Nếu X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn N ( µ, σ ) , biến ngẫu nhiên Y = aX + b tuân theo luật phân phối chuẩn N ( aµ + b, a σ ) Chú ý 2.5 Nếu X , X hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn X ∼ N ( µ , σ ) , X ∼ N ( µ , σ 2 ) X + X có phân phối chuẩn X + X ∼ N ( µ + µ , σ + σ 2 ) (xem Chương 3) Nếu n biến ngẫu nhiên độc lập X i có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) , i = 1, , n, (xem Chương 3) 2.4.4b Phân phối chuẩn tắc Định nghĩa 2.20 (Phân phối chuẩn tắc) Phân phối chuẩn N ( µ, σ ) với µ = σ = gọi phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) Nếu X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) Do tính tốn X quy U Định nghĩa 2.21 (Hàm mật độ xác suất) Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Đây hàm Gau– xơ với giá trị tính sẵn Phụ lục Hình 2.13: Hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) Định nghĩa 2.22 (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên U phân phối chuẩn tắc Giá trị hàm Φ ( x ) tính sẵn Phụ lục Hàm Φ ( x ) có tính chất sau Định lý 2.19 Chứng minh Từ Định nghĩa 2.22, 2.4.4c Xác suất để biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) nhận giá trị khoảng ( α, β ) Định lý 2.20 Nếu X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) tro ng φ ( x ) hàm số Láp–la–xơ xác định (1.24) Định lý 2.21 Nếu X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) hàm phân phối xác suất X Khi đó, xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng ( α, β ) Chú ý 2.6 Các giá trị hàm Láp–la–xơ (1.24) tính bảng Phụ lục (xem Mục 1.5.5) giá trị x dương Hàm φ ( x ) hàm lẻ, tức φ (− x ) = − φ ( x ) Khi x > ta lấy φ ( x ) ≈ 0, Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc Φ ( x ) xác định (2.42) hàm Láp–la–xơ φ ( x ) xác định (1.24) có mối liên hệ: Các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ ( x ) tính sẵn bảng Phụ lục giá trị x dương Nếu X ∼ N ( µ, σ ) công thức (2.44) (2.45) tương đương 2.4.4d Quy tắc 3σ Từ Hệ 2.3(3) suy xác suất để độ lệch tuyệt đối biến ngẫu nhiên X ∼ N ( µ, σ ) khỏi trị trung bình bé ε = tσ Thay t = 1, 2, 3, tra bảng giá trị hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục 2) ta nhận Quy tắc 3σ phát biểu sau: Hầu chắn (với độ tin cậy 0,9973) X có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) lấy giá trị khoảng ( µ − 3σ, µ + 3σ ) Trong thực tế, quy tắc 3σ áp dụng sau: Nếu quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nghiên cứu chưa biết, song thỏa mãn điều kiện Quy tắc 3σ xem biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Chú ý 2.7 Phân phối chuẩn Gao–xơ tìm năm 1809 nên cịn gọi phân phối Gao–xơ Phân phối chuẩn thường sử dụng toán đo đạc đại lượng vật lý, thiên văn Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn tiệm cận chuẩn Chẳng hạn, trọng lượng, chiều cao nhóm người đó; điểm thi thí sinh; suất trồng; mức lãi suất công ty; nhu cầu tiêu thụ mặt hàng đó; nhiễu trắng kênh thơng tin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.35 Lãi suất (%) đầu tư vào dự án năm 2018 coi biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn Theo đánh giá ủy ban đầu tư với xác suất 0,1587 cho lãi suất lớn 20% với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn 25% Vậy khả đầu tư mà không bị lỗ bao nhiêu? Lời giải Ví dụ 2.35 Gọi X lãi suất (%) dự án năm 2018 Khi X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) Theo đầu ta có Từ bảng giá trị hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục 2) suy Hay µ = 15,σ = Vậy khả đầu tư không bị lỗ P ( X ≥ ) = 0, + φ ( ) = 0, + 0, 49865 = 0, 99865 2.4.4e Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Trong Mục 1.5.5 ta đề cập đến việc xấp xỉ công thức Béc–nu–y (1.20) công thức (3.40) số phép thử n lớn Ở ta xét chi tiết mối liên hệ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Phân phối chuẩn dùng xấp xỉ tốt cho số phân phối rời rạc Ta có định lý sau mang tên Định lý Moa-vrơ–Lap-la-xơ Định lý 2.22 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B( n; p ) Nếu np > n ( − p ) > X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn với tham số µ = np, σ = np ( − p ) Phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = np phương sai σ = np ( − p ) không xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n lớn xác suất p không gần mà cung cấp xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n nhỏ p gần 1/2 Để minh họa việc xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức, ta vẽ biểu đồ B( 15; 0, ) vẽ đường cong chuẩn có kỳ vọng µ = np = 15 × 0, = phương sai σ = np ( − p ) = 15 × 0, × 0, = 3, với biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức X (xem Hình 2.14) Hình 2.14: Xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức B( 15; 0, ) Trong hình minh họa xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn, ta xấp xỉ phân phối rời rạc phân phối liên tục, nên cần hiệu chỉnh để giảm sai số Định lý 2.23 Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức B( n; p ) Phân phối xác suất X xấp xỉ phân phối chuẩn N ( µ, σ ) với µ = np σ = np ( − p ) Nhận xét 2.15 Hình 2.15 2.16 biểu thị biểu đồ xác suất nhị thức với n = 25 p = 0, 5, p = 0, tương ứng Phân phối Hình 2.15 hồn tồn đối xứng Hình 2.15: Phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, xấp xỉ phân phối chuẩn với µ = 12, σ = 2, Hình 2.16: Phân phối nhị thức xấp xỉ phân phối chuẩn với n = 25 p = 0, Việc thêm + 0, − 0, yếu tố hiệu chỉnh gọi hiệu chỉnh liên tục Ví dụ 2.36 Sử dụng phân phối chuẩn xấp xỉ xác suất X = 8, 9, 10 cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, So sánh với cơng thức tính xác Lời giải Ví dụ 2.36 Vì X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, 5, Sử dụng công thức xấp xỉ (3.42) với ta nhận P ( ≤ X ≤ 10 ) ≈ φ (− 0.8 ) − φ (− ) = 0, 18911 Giá trị xấp xỉ 0,18911 với giá trị thực 0,190535 gần Ví dụ 2.37 Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ phẩm 0,95 Tìm xác suất để số phẩm lơ kiểm tra từ 940 đến 960 Lời giải Ví dụ 2.37 Gọi X biến ngẫu nhiên số phẩm lơ sản phẩm kiểm tra, ta có X ∼ B( 1000; 0, 95 ) Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 np ( − p ) = 47, đủ lớn nên ta xấp xỉ X ∼ N ( 950; 47, ) : 2.4.7 Phân phối bình phương Định nghĩa 2.23 (Phân phối bình phương) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo luật phân phối bình phương với n bậc tự do, ký hiệu X ∼ χ n , hàm mật độ xác suất X có dạng hàm Gamma (đã đề cập Giải tích 2) Định nghĩa sau cho cách nhận biết biến ngẫu nhiên có phân phối bình phương xuất phát từ n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Định nghĩa 2.24 Nếu X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) (U n có phân phối bình phương với n bậc tự do) Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên U n : Tính chất 2.1 Nếu X X hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối bình phương với n , n bậc tự biến ngẫu nhiên X + X có phân phối bình phương với n + n bậc tự (xem Chương 3) Biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) n đủ lớn Một hệ quan trọng dùng nhiều thống kê (xem Chương 3): Nếu X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn N ( µ, σ ) Việc tính tốn với phân phối χ2n đưa việc sử dụng bảng Phụ lục 2.4.8 Phân phối Student Định nghĩa 2.25 (Phân phối Student) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo luật phân phối Student với n bậc tự do, ký hiệu X ∼ t ( n ) , hàm mật độ xác suất X có dạng Γ ( x ) hàm Gamma Để nhận biết biến ngẫu nhiên có phân phối Student ta sử dụng định nghĩa sau Định nghĩa 2.26 Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo luật N ( 0, ) χ2n tương ứng (T n có phân phối Student với n bậc tự do) Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên T n có phân phối Student: Tính chất 2.2 Biến ngẫu nhiên T n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) n đủ lớn Nhận xét 2.16 Phân phối Student có dạng tính đối xứng phân phối chuẩn phản ánh tính biến đổi phân phối sâu sắc Phân phối chuẩn dùng để xấp xỉ phân phối mẫu có kích thước nhỏ Trong trường hợp ta dùng phân phối Student Khi bậc tự n tăng lên (n ≥ 30) phân phối Student tiến nhanh phân phối chuẩn Do n ≥ 30 ta dùng phân phối chuẩn thay cho phân phối Student Một hệ quan trọng dùng nhiều thống kê (xem Chương 3): Nếu X , X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc N ( 0, ) 2.4.9 Phân phối Fisher Định nghĩa 2.27 Cho X , X , , X n Y , Y , , Y m n + m biến ngẫu nhiên độc lập, X i ∼ N ( 0; ) Y j ∼ N ( 0; ) , i = 1, , n, j = 1, , m Khi biến ngẫu nhiên 1.Công thức phân phối Poisson (Poisson Distribution) 1.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X P (λ ), X nhận giá trị có số ngun khơng âm: 0, 1, 2, … , n suất tương ứng tính theo cơng thức xấp xỉ Poisson 1.2 Đặc trưng phân phối Poisson Nếu X có phân phối Poisson (X ∼ P (λ )) : Xem thêm: Bài tập công thức xác suất đầy đủ Bayes có lời giải Cơng thức phân phối nhị thức (Binomial Distribution) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối nhị thức với hai tham số n p X nhận giá trị có số ngun khơng âm: 0, 1, 2, … , n hàm xác suất tính theo cơng thức Bernuolli: Ta có bảng phân phối xác suất X sau: Ví dụ tập phân phối nhị thức Bài 10: Tỷ lệ mắc bệnh địa phương p = 1% Người ta lấy máu người để thử nghiệm theo cách 2: – Cách 1: Mỗi người lấy máu làm việc thử nghiệm – Cách 2: Lấy máu 10 người làm lần thử nghiệm, mẫu âm tính chung thơi, phát âm tính chung mẫu làm lại người, người thử nghiệm riêng Với 1000 người cần kiểm tra, đó, so sánh hai cách xem cách có lợi (nghĩa số kiểm tra phải hơn) Giải X P 11 0,0956 Như số kiểm tra trung bình là: E (X) = 9,6 => số kiểm tra 960 Bài viết chủ đề: Bài tập xác suất có điều kiện có lời giải chi tiết Bài 11: Tỷ lệ người dân tham gia mạng lưới giao dịch có hiểu biết luật giao dịch 90% Tại nút giao diện có người giao diện phạm vi luật Gọi X số người am hiểu luật cố gắng tình luật người a) Lập bảng phân phối X b) Tính E (3- 5X) V (3X-2) c) Nếu có 30 người phạm vi luật, trung bình có người hiểu biết luật cố gắng phạm vi? Có người phạm vi luật làm người khơng hiểu luật? Giải Bài tốn thử nghiệm dãy Bernoulli n = 5; p = 0,9; q = 0,1 a Bảng phân phối là: X P 0,000 01 0,000 45 0,00 81 0,07 29 0,328 05 0,590 49 b X có dạng phân phối nhị thức với n = 5; p = 0,9 => E (X) = 5,0,9 = 4,5 E (3-5X) = 3-5E (X) = 3-5.4,5 = -19,5 V (3X-2) = 9V (X) = 9.0,1,5 = 4,5 c Gọi Y số luật dãy Y có phân phối nhị thức với n = 30; p = 0,9 Y biến ngẫu nhiên Rạc: Y = 0,1, …, 30 Trung bình người hiểu luật cố tình phạm vi: E (Y) = np = 30.0,9 = 27 Gọi k số dãy luật mà người ta chưa biết Luật Bài 12: Một lơ hàng có sản phẩm loai I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm theo phương thức hoàn lại Gọi X số sản phẩm loại II sản phẩm lấy a) X có phân phối gì? b) Tính kỳ vọng phương sai X c) Tính số sản phẩm loại II trung bình số sản phẩm lấy tính khả để xảy điều d) Nếu lấy 64 sản phẩm từ lô hàng (vẫn lấy theo phương thức hồn lại) trung bình lấy sản phẩm loại II? Số sản phẩm loại II có khả xảy bao nhiêu? Giải a X có phân phối nhị thức: n = 5; p = 0,2 b E (X) = n.p = 5.0,2 = 1; V (X) = 5.0,2.0,8 = 0,8 c d.Gọi Y số sản phẩm loại có 64 sản phẩm lấy Y có phân phối nhị thức n = 64; p = 0,2 E (Y) = 64.0,2 = 12,8 Như 64 sản phẩm có 13 sản phẩm loại Số sản phẩm loại có nhiều khả Y mod Y 64.0,2-0 ,