ĐỀ THI Bài (3đ) a) Phân tích đa thức b) Tìm giá trị nguyên x để c) Cho x + y =1 xy ≠ x3 − x + x − AMB biết thành nhân tử A = 10 x − x − B = 2x − x y 2( x − y ) − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Chứng minh : Bài (3đ) Giải phương trình sau a ) ( x + x ) + ( x + x ) = 12 b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF ∆EDF a) Chứng minh vuông cân b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, I, C thẳng hàng Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Bài a) x3 − x + x − = x − x + x − x + x − = x ( x2 − x + ) − ( x2 − x + ) = ( x − 1) ( x − ) b) Xét A 10 x − x − = = 5x + + B 2x − 2x − x∈¢ Với Mà Ư AMB ∈ ¢ ⇒ 7M( x − 3) 2x − (7) = { −1;1; 7; −7} c) Biến đổi: (do = nên x = −5; −2; 2;1 AMB x4 − y4 ) − ( x − y ) ( x y x4 − x − y4 + y − = = y − x3 − ( y − 1) ( x − 1) xy ( y + y + 1) ( x + x + 1) x + y = ⇒ y −1 = − x ( x − y) ( x + y) ( x +y x −1 = − y ) −( x − y) ) xy ( x y + y x + y yx + xy + y + x + x + 1) = ( x − y ) ( x + y − 1) xy x y + xy ( x + y ) + x + y + xy + ( x − y ) ( x − x + y − y ) ( x − y ) x ( x − 1) + y ( y − 1) ( x − y ) x ( − y ) + y ( − x ) = = xy ( x y + 3) xy ( x y + ) xy x y + ( x + y ) + 2 xy ( −2 xy ) −2( x − y ) = = = xy ( x y + 3) x2 y + Suy điều phải chứng minh Bài a) (x + x ) + ( x + x ) = 12 đặt y = x2 + x ⇒ y + y − 12 = ⇔ y + y − y − 12 = 2 y = −6 ⇔ ( y + 6) ( y − 2) = ⇔ y = x + x = −6 vơ nghiệm x2 + x + > x = −2 x2 + x = ⇔ x2 + x − = ⇔ x = Vậy S = { −2;1} với x b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + ÷+ + ÷+ + 1÷ = + 1÷+ + 1÷+ + 1÷ 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 ⇔ ( x + 2009 ) + + − − − ÷= 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 + + − − − ≠0 ⇒ x = −2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì Bài a) Chứng minh Ta có vng cân ∆ADE = ∆CDF (c.g c) ⇒ ∆EDF Mặt khác Mà ∆EDF cân D · · ∆ADE = ∆CDF (c.g c) ⇒ BED = BFD · · · · · · · BED + DEF + BFE = 900 ⇒ BFD + DEF + BFE = 900 ⇒ EDF = 900 ∆EDF Vậy vuông cân b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vng Mà ∆EDF ⇒ DI = vuông cân BI = Tương tự ⇒I ⇒ CO trung trực BD EF EF ⇒ DI = BI thuộc đường trung trực DB, nên I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài a) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi ; AE = BD = x (0 < x < a ) ∆ADE Áp dụng định lý Pytago với vuông A có: DE = AD + AE = ( a − x ) + x = x − 2ax + a = ( x − ax ) − a 2 2 2 2 a2 a2 a2 = 2 x − ÷ + ≥ 2 ⇔ DE ⇔x= Ta có DE nhỏ nhỏ Nên D, E trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: a a ⇔ BD = AE = 2 1 1 S ADE = AD AE = AD.BD = AD ( AB − AD ) = − ( AD − AB AD ) 2 2 1 AB AB AB = − AD − AD + ÷+ 2 1 AB AB AB = − AD − ≤ ÷ + 2 S BDEC = S ABC − S ADE ≥ Vậy S BDEC = Do AB AB AB − = AB 2 8 không đổi D,E trung điểm AB, AC