055 đề HSG toán 8 cấp huyện

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN Bài (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x + y + z ) − x3 − y − z 3 b) x + 2010 x + 2009 x + 2010 Bài (2 điểm) Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Bài (3 điểm) ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) Tìm x biết: ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 2 = 19 49 Bài (3 điểm) A= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2010 x + 2680 x2 + Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC vng hình chiếu vng góc điểm lên điểm di động cạnh BC Gọi AB, AC AEDF để tứ giác hình vng AD + EF D b) Xác định vị trí điểm cho đạt giá trị nhỏ Bài (4 điểm) a) Xác định vị trí điểm D D A, D E, F ABC , A, E , F BC , CA, AB Trong tam giác điểm tương ứng nằm cạnh ·AFE = BFD · · · · ; BDF = CDE ; CED = ·AEF cho · · BDF = BAC a) Chứng minh rằng: AB = 5, BC = 8, CA = BD b) Cho Tính độ dài đoạn ĐÁP ÁN Bài a) − x − y − z = ( x + y + z ) − x  − ( y + z )   = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )   ( x + y + z) = ( y + z ) ( 3x + 3xy + yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )  = 3( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) b) x + 2010 x + 2009 x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010 x + 2010 x + 2010 ) = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) Bài x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 ⇔ −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23 x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 ⇔ + + + =0 17 19 21 23   1 ⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ =  17 19 21 23  ⇔ x = 258 Bài ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ( 2009 − x ) ĐKXĐ: − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) x ≠ 2009; x ≠ 2010 2 = 19 49 Đặt a = x − 2010 ( a ≠ ) , ta có hệ thức: ( a + 1) − ( a + 1) a + a = 19 ⇔ a + a + = 19 3a 49 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 ⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 =  a = (tm)  2 ⇔ ( 2a + 1) − = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + ) = ⇔   a = − (tm)  4023  x = ⇒ (TMDK ) 4015 x =  Bài A= 2010 x + 2680 x2 + 335 ( x + 3) −335 x − 335 + 335 x + 2010 x + 3015 = = − 335 + ≥ −335 x2 + x2 + Vậy giá trị nhỏ A −335 x = −3 Bài a) Tứ giác AEDF Để tứ giác hình chữ nhật (vì AEDF hình vng µ = µA = F µ = 900 ) E AD AEDF b) Do tứ giác hình chữ nhật nên ⇒ AD + EF = AD AD + EF nhỏ ⇔ AD nhỏ ⇔D tia phân giác AD = EF · BAC hình chiếu vng góc A lên BC Bài a) Đặt ·AFE = BFD · · · · · = ω , BDF = CDE = α ; CED = AEF =β · BAC + β + ω = 1800 ( *) Ta có: D, E , F BC , AC , AB Qua kẻ đường thẳng vng góc với cắt O DEF Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác · · · ⇒ OFD + OED + ODF = 900 (1) Ta có: · · · OFD + ω + OED + β + ODF + α = 2700 (2) ( 1) & ( ) ⇒ α + β + ω = 1800 ( **) · · = α = BDF ( *) & ( **) ⇒ BAC Từ b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: µ = β ,C µ = ω ⇒ ∆AEF : ∆DBF : ∆DEC : ∆ABC B ⇒ 5BF 5BF 5BF  BD BA     BF = BC =  BD =  BD =  BD =     7CE 7CE 7CE  CD CA    = = ⇒ CD = ⇒ CD = ⇒ CD =  8  CE CB     AE AB 7 AE = AF 7 ( − CE ) = ( − BF ) 7CE − 5BF = 24 = =  AF AC        ⇒ CD − BD = (3) Ta lại có: CD + BD = Từ (3) (4) ⇒ BD = 2,5 (4) ... − 166 ⇔ −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23 x − 2 58 x − 2 58 x − 2 58 x − 2 58 ⇔ + + + =0 17 19 21 23   1 ⇔ ( x − 2 58 )  + + + ÷ =  17 19 21 23  ⇔ x = 2 58 Bài ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010... + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 =  a = (tm)  2 ⇔ ( 2a + 1) − = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + ) = ⇔   a = − (tm)  4023  x = ⇒ (TMDK ) 4015 x =  Bài A= 2010 x + 2 680 x2 + 335 ( x + 3) −335... ·AFE = BFD · · · · ; BDF = CDE ; CED = ·AEF cho · · BDF = BAC a) Chứng minh rằng: AB = 5, BC = 8, CA = BD b) Cho Tính độ dài đoạn ĐÁP ÁN Bài a) − x − y − z = ( x + y + z ) − x  − ( y + z )