E4 tỉ lệ thể tích hình chóp đáy là tam giác

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Tỉ lệ diện tích  Cơng thức  , tia Ox lấy điểm A B, tia Cho góc xOy S OA OA Oy lấy hai điểm A B  Ta có: OAA  SOBB OB OB  Chứng minh 1 ; S ; OB.OB.sin xOy Ta có: SOAA  OA.OA.sin xOy OBB  2 S OA OA Do OAA  SOBB OB OB Tỉ lệ diện tích  Cơng thức Cho hình chóp S ABC , tia SA, SB, SC lấy điểm A, B, C  Khi đó: VS ABC  SA SB SC   VS ABC SA SB SC  Chứng minh S SBC  d  A ,  SBC   V Ta có: S ABC   VS ABC S SBC d  A ,  SBC        Mà d  A ,  SBC    SA SSBC SB.SC    SSBC SB.SC SA d  A ,  SBC   nên VS ABC SA SB SC   VS ABC SA SB SC Một số lưu ý SA  Nếu A  A SA  SA, SA Điểm A nằm S A V SA SB SC Từ bổ đề, ta có S ABC  VS ABC  SA SB SC  Bổ đề A, B, C thuộc đường thẳng SA, SB, SC Định lý Menelaus: Cho ABC Nếu đường thẳng d cắt đường thẳng AB, CA, BC điểm C, B, A (không trùng với đỉnh tam giác) AC  BA CB 1 BC  CA AB _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 29 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ VÍ DỤ MINH HỌA VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ: Cho tứ diện SABC có cạnh a Gọi G trọng tâm SBC a) Mặt phẳng  ACG  cắt SB điểm D Tính thể tích tứ diện GABD b) Mặt phẳng   qua A G, song song với BC, chia tứ diện SABC thành hai phần, phần chứa đỉnh B tích V1 , phần cịn lại tích V2 Tính tỉ số V1 V2 c) Mặt phẳng    qua G, vng góc với SA, chia tứ diện SABC thành hai phần, phần chứa đỉnh A tích V3 , phần cịn lại tích V4 Tính tỉ số V3 V4     d) Gọi E F điểm thỏa mãn SE  SA SF  SB Tính thể tích tứ diện SEFG ? e) Mặt phẳng  EFG  chia tứ diện SABC thành phần, phần chứa đỉnh A tích V5 , phần cịn lại tích V6 Tính V5 ? V6 Hướng dẫn: a) Vì G trọng tâm SBC nên D trung điểm SB Ta có: VGDAB GD V V DB 1 1   , mà DABC   suy GDAB   VCDAB CD VSABC SB VSABC Lại có tứ diện SABC tứ diện cạnh a nên VSABC  2a , suy 12 2a VGDAB  a  12 72 b) Gọi P Q giao điểm   với SB SC Gọi K trung điểm BC Vì G trọng tâm SBC nên SG  SK Vì BC //   PQ giao tuyến  SBC    nên BC // PQ Do SP SQ SG    SB SC SK VS APQ SA SP SQ 2 Do    S S ABC SA SB SC 3 V1 V    VS ABC V2  V2 VS ABC  , _ 30 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ c) Gọi H hình chiếu G lên SA M trung điểm SA Tứ diện SABC tứ diện nên  BC  SK  BC   SAK   BC  SA   BC  AK Mà     SA  BC //    ,    chứa đường thẳng PQ Vậy    mặt phẳng  HPQ  Vì KAS tam giác cân K nên KM  SA, GH // KM SH SG SH      SM SK SA VS HPQ V 23 V3 23 V SH SP SQ 2         VS ABC 27 VS ABC 27 V4 VS ABC SA SB SC 3 27 V SE SF SG 16   d) Ta có: S EFG  VS ABK SA SB SK 45 V S Lại có S ABK  ABK  (do K trung điểm BC ) VS ABC S ABC V 16 Do S EFG   VS ABC 45 45 Vậy  Vì tứ diện S ABC tứ diện có cạnh a nên VS ABC  a, 12 8 2 a  a VS ABC  45 45 12 135 e) Gọi I giao điểm GF với SC, mặt phẳng thiết diện  IEF  VS EFG  Ta cần tính tỉ số SI SC Từ giả thiết, ta có  SB    SK    SC  SF  SF ; SK  SG  SG; SC  SI SB  SF SG SI    Vì K trung điểm BC nên SB  SC  2SK , suy    SC   SC  SF  SI  3SG  SG  SF  SI SI 12 3SI SC SC SI Mà G, I , F thẳng hàng nên  1    12 3SI SI SC V SE SF SI 4 32 32 73 V V V 73         Do S EFI  VS ABC SA SB SC 105 VS ABC 105 VS ABC 105 V2 32 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 31 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích VMIJK VMNPQ A B C D Lời giải Cho hình chóp S ABC có A B trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  12 B V  C V  D V  Lời giải Cho hình chóp S ABC có VS ABC  6a Gọi M , N , Q điểm cạnh SA , SB , SC cho SM  MA , SN  NB , SQ  2QC Tính VS MNQ : A a3 B a3 C 3a3 D a3 Lời giải Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M , N , P, Q trung điểm cạnh SA, SB, SC , SD Biết khối chóp S ABCD tích 16a Tính thể tích khối chóp S MNPQ theo a A 2a3 B a3 C 8a3 D 4a3 Lời giải _ 32 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA , SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp cho thành hai phần tỉ số thể tích hai phần S MNCD MNABCD A B C D Lời giải Cho khối tứ diện tích V Gọi V  thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh V khối tứ diện cho Tính tỉ số V A V  V B V  V C V  V D V  V Lời giải Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên  SAB   SAD  vng góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  45 Gọi V1 ;V2 thể tích khối chóp S AHK S ACD với H , K trung điểm SC SD Tính độ dài V đường cao khối chóp S ABCD tỉ số k  V2 A h  a; k  B h  a; k  C h  2a; k  D h  2a; k  Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 33 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Toán Website: http://thayduc.vn/ Xét khối lăng trụ tam giác ABC ABC  Mặt phẳng  C AB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng: A B C D Lời giải Xét khối lăng trụ tam giác ABC ABC  Mặt phẳng qua C  trung điểm AA , BB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng: A B C D Lời giải 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với  ABCD  Gọi M , N , P trung điểm cạnh SB , BC , CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP A 3a 48 B 3a 96 C 3a 54 D 3a 72 Lời giải 11 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , E , F , P , Q trung điểm AB , BC , CA, BD , V CD , DA Thể tích khối đa diện MNPQEF V1 Tính V A V1  V B V1  V C V1  V D V1  V Lời giải _ 34 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 12 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy chiều cao Thể tích tứ diện có đỉnh trọng tâm mặt hình chóp A V  1 C V  B V  D V  Lời giải 13 Cho hình chóp S ABC có AB  a Gọi M , N trung điểm SB , SC Biết mp  AMN  vng góc với mp  SBC  Thể tích khối chóp S AMN A V  a 24 B V  a 48 C V  a 72 D V  a 96 Lời giải 14 Cho hình chóp S ABC có AB  BC  CA  a Mặt phẳng  P  qua A, song song với BC vuông góc với mp  SBC  , cắt SB, SC E , F Biết góc  P   ABC  30 Tính thể tích khối chóp VS AEF A 3a 24 B 3a3 96 C 3a3 216 D 3a3 384 Lời giải 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, có AB  AC  a , SC vng góc với mp  ABC  SC  a Mặt phẳng qua C vng góc với SB , cắt SB , SA E , F Tính VS CEF A a3 18 B a3 36 C a3 36 D a3 18 Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 35 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 16 Website: http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABC có AC  AB, SC   ABC  SC  BC  2a Gọi E , F hình chiếu vng góc C lên SB, SA Giá trị lớn VS CEF A 2a B 2a C 2a D 2a Lời giải 17 Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc; AB  12, AC  8, AD  Gọi I , J trung điểm DC , BD Tính khoảng cách từ D tới mp  AIJ  A 25 30 B 24 29 C 25 29 D 30 29 Lời giải 18   CSA   60 Thể tích khối chóp Cho hình chóp S ABC có SA  a; SB  2a; SC  3a;  ASB  BSC S ABC A 2a B 2a C 2a D 2a 12 Lời giải 19   60, CSA   90 Thể tích khối chóp Cho tứ diện S ABC có SA  a, SB  3a, SC  4a,  ASB  BSC S ABC A 2a B a C a D a 12 Lời giải _ 36 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 20 Website: http://thayduc.vn/ Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N trung điểm AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V  2a 216 B V  11 2a 216 C V  13 2a3 216 D V  2a 18 Lời giải 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi M , N , P trung điểm SB, DC, AD Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S , M , N , D, P A V B 5V 16 C 2V D 4V 13 Lời giải 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm đối xứng với B qua A, N trung điểm SB Mặt phẳng  MNC  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện tích V1 V2 V1  V2  Tỉ số A 12 B V1 V2 C D 12 Lời giải 23 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M trung điểm AC, N điểm thuộc cạnh AD thỏa mãn AN  ND Gọi S giao điểm MN CD Tính thể tích tứ diện SBDN ? A 2a 36 B 2a 24 C 2a 40 D 2a 28 Lời giải _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 37 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 24 Website: http://thayduc.vn/ Cho tứ diện ABCD Gọi M , P trung điểm AB CD, N điểm thuộc cạnh AC cho AN  NC Mặt phẳng  MNP  chia tứ diện ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh A tích V1 , phần cịn lại tích V2 Tỉ số A B V1 V2 C D Lời giải 25 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm ACD, M điểm thuộc cạnh AC thỏa mãn AM  AC , P trung điểm BC Mặt phẳng  MPG  chia tứ diện ABCD thành hai phần, 12 V phần chứa đỉnh A tích V1 , phần cịn lại tích V2 Tỉ số V2 A 1050 461 B 1051 461 C 1052 461 D 1053 461 Lời giải _ 38 Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 ... http://thayduc.vn/ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA , SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp cho thành hai phần tỉ số thể tích hai phần S MNCD... Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M , N , P, Q trung điểm cạnh SA, SB, SC , SD Biết khối chóp S ABCD tích 16a Tính thể tích khối chóp S MNPQ theo a A 2a3 B a3 C... Tỉ số thể tích VMIJK VMNPQ A B C D Lời giải Cho hình chóp S ABC có A B trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp