ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG Bài 1) Rút gọn biểu thức sau: M = − 32 + 33 − 34 + + 32015 − 32016 2) Chứng tỏ rằng: Bài Tìm số tự nhiên 1 1 + + + + < 2 32 99 100 x biết: a)1 + + + + + x − = 225 18 b)2 x.2 x +1.2 x + = 10000 14 43 : 18 chu so Bài a) Cho 3a + 2bM 17 ( a, b ∈ ¥ ) b) Tìm số x, y nguyên biết Chứng minh : xy + x − y = 10a + bM 17 Bài a Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 170 đường thẳng Bài a Tìm số tự nhiên nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư ĐÁP ÁN Bài 1.1) M = − 32 + 33 − 34 + + 32015 − 32016 3M = 32 − 33 + 34 − + 32016 − 32017 ⇒ 3M + M = − 2017 − 32017 ⇒M = 1 1 1 1 + + + + < + + + + + 2 99 100 2.3 3.4 98.99 99.100 1 1 1 1 1 3 = + − + − + + − = + − = − < 3 99 100 100 100 1 1 ⇒ + + + + < 99 1002 1.2) Bài x∈¥ 2x −1 a) Với ta có số lẻ A = + + + + + ( x − 1) Đặt Suy A tổng số lẻ liên tiếp từ đến ⇒ A = ( x − 1) + 1 x : = x ( xla so so hang ) ⇒ A = x = 225 ⇒ x = 15 18 b)2 x.2 x+1.2 x+ = 1000 14 43 : 18 chu so 23 x+3 = 1018 : 518 = 218 ⇒ x + = 18 ⇒ x = Bài 2x −1 a)3a + 2bM 17 ⇒ 10 ( 3a + 2b ) M 17 ⇒ ( 30 + 20b ) M 17 ⇒ 3( 10a + b ) + 17b M 17 Vì 17bM 17 ⇒ ( 10a + b ) M 17 ⇒ 10a + bM 17 b) xy + x − y = → x ( y + 1) − y − = ⇒ x( y + 1) − ( y + 1) = ⇒ ( y + 1) ( x − 1) = = 1.3 = 3.1 = ( −1) (−3) = (−3).(−1) Sau thử trường hợp ta có ( x; y ) ∈{ ( 2;2 ) ; ( 0; −4 ) ; ( 4;0 ) ; ( −2; −2 ) } Bài Giả sử 20 điểm điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1 , A2 , , A20 Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên Qua điểm Qua điểm A1 A2 điểm 19 điểm lại ta vẽ 19 đường thẳng điểm tron 18 điểm lại ta vẽ 18 đường thẳng ………………… Qua điểm A19 & A20 ta vẽ đường thẳng Do số đường thẳng tạo thành là: Với a + + + + 19 + 20 = 190 (đường thẳng) điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng Vậy 20 điểm mà có a điểm thẳng hàng số đường thẳng giảm là: ( a − 1) a : − = 190 − 170 Giải ta ( a − 1) a = 42 = 6.7 ⇒ a = Bài Gọi số phải tìm a ⇒ a = 2k + 1; a = 3q + 1; a = 5m + 4; a = r + ( k , l , m, q ∈ ¥ ) ⇒ a + 11M2; a + 11M 3; a + 11M 5; Mà a số tự nhiên nhỏ a + 11M ⇒ a + 11∈ BC ( 2;3;5;7 ) ⇒ a + 11 = BCNN (2;3;5;7) = 210 ⇒ a = 199 ...ĐÁP ÁN Bài 1.1) M = − 32 + 33 − 34 + + 32015 − 320 16 3M = 32 − 33 + 34 − + 320 16 − 32017 ⇒ 3M + M = − 2017 − 32017 ⇒M = 1 1 1 1 + + + + < + + + + + 2 99 100 2.3... − = ⇒ x( y + 1) − ( y + 1) = ⇒ ( y + 1) ( x − 1) = = 1.3 = 3.1 = ( −1) (−3) = (−3).(−1) Sau thử trường hợp ta có ( x; y ) ∈{ ( 2;2 ) ; ( 0; −4 ) ; ( 4;0 ) ; ( −2; −2 ) } Bài Giả sử 20 điểm khơng... a điểm thẳng hàng số đường thẳng giảm là: ( a − 1) a : − = 190 − 170 Giải ta ( a − 1) a = 42 = 6. 7 ⇒ a = Bài Gọi số phải tìm a ⇒ a = 2k + 1; a = 3q + 1; a = 5m + 4; a = r + ( k , l , m, q ∈ ¥