Đạo hàm và phương pháp giải bài tập

Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) 3 y x = b) 2 3 1y x= + c) 1y x = + d) 1 1 y x = − Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) = − + − 3 2 5 3 2 x x y x 2) 3 2 2 5 +−= x xy 3) = − + − 2 3 4 2 4 5 6 7 y x x x x 4) )13(5 2 −= xxy 5) y = (x 3 – 3x )(x 4 + x 2 – 1) 6) 32 )5( += xy 7) )35)(1( 22 xxy −+= 8) )23)(12( +−= xxxy 9) 32 )3()2)(1( +++= xxxy 10) ( )   = + −  ÷   2 3 1y x x x 11) 3 2y x = 12) y = ( 5x 3 + x 2 – 4 ) 5 13) 4 2 3y x x= + 14) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 7y x x x = + − + 15) 2 2 5 2 x y x − = + 16) 2 1 2 3 5 y x x = + − 17) 3 2 2 1 x x y x x − = + + 18) − + + = − 2 2 7 5 3 x x y x x 19) 76 2 ++= xxy 20) 21 ++−= xxy 21) 1)1( 2 +++= xxxy 22) 12 32 2 + +− = x xx y 23) 1 x y 1 x + = − 24) ( ) 3 2 2 3 1y x x= + − 25) ( ) 3 2 3 2y x x x x = + + − 26) y = x (x 2 - x +1) 7) 3 2 2 3 2 x y x x x   = + −  ÷  ÷ −   Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x 3 ) 3) y = x.cotx 4) 2 )cot1( xy += 5) xxy 2 sin.cos = 6) 3 1 cos cos 3 y x x = − 7) 2 sin 4 x y = 8) xx xx y cossin cossin − + = 9) 3 y cot (2x ) 4 π = + 10) 2 sin (cos3 )y x = 11) 3 2 y cot 1 x= + 12) xxy 3sin.sin3 2 = 13) 2 y 2 tan x = + 14) 3 cosx 4 y cot x 3sin x 3 = − + 15) sin(2sin )y x = 16) 4 sin 3y xp= - 17) 22 )2sin1( 1 x y + = 18) xsinx y 1 tanx = + 19) sinx x y x sinx = + 20) y 1 2tanx = + Bài 4: Cho hai hàm số : 4 4 ( ) sin cos f x x x= + và 1 ( ) cos 4 4 g x x = Chứng minh rằng: '( ) '( ), ( )f x g x x R = ∀ ∈ . GV: Nguyễn Quang Tánh 1 Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 Bài 5: Cho 23 23 +−= xxy . T×m x ®Ĩ: a) y’ > 0 b) y’ < 3 ĐS: a) 0 2 x x <   >  b) 1 2 1 2x − < < + Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = xxcosxsin3 +− c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x 4 – 2x 3 – 1 Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3) = + + − Bài 8: a) Cho hàm số: 2 22 2 ++ = xx y . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2 b) Cho hàm số 3 4 x y x − = + . Chứng minh rằng: 2(y’) 2 =(y -1)y’’ c) Cho hàm số = − 2 y 2x x . Chứng minh rằng: + = 3 y y" 1 0 Bài 9: Chứng minh rằng '( ) 0 f x x R > ∀ ∈ , biết: a/ 9 6 3 2 2 ( ) 2 3 6 1 3 f x x x x x x = − + − + − b/ ( ) 2 sinf x x x = + Bài 10: Tính vi phân các hàm số sau: a) 12 3 +−= xxy b) 2 sin 4 x y = c) 76 2 ++= xxy d) xxy 2 sin.cos = e) 2 )cot1( xy += Bài 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1) 1 2 x y x + = − 2) 2 2 1 2 x y x x + = + − 3) 2 1 x y x = − 4) 2 1y x x= + 5) 2 siny x x= 6) 2 (1 )cosy x x= − 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) ( ) 3 6 '' 2 y x = − 2) ( ) 3 2 3 2 4 10 30 14 '' 2 x x x y x x − + + = + − 3) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 '' 1 x x y x + = − 4) ( ) 3 2 2 2 3 '' 1 1 x x y x x + = + + 5) ( ) 2 '' 2 sin 4 cosy x x x x = − + 6) 2 '' 4 sin ( 3)cosy x x x x = + − 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 12: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1 1 y x = + b) y = sinx ĐS: a) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 1 n n n n y x + = − + b) ( ) sin 2 n y x n π   = +  ÷   GV: Nguyễn Quang Tánh 2 Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 Bài 13: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) )12)(33( 22 −++−= xxxxy ; b) )1)(23( 242 −++−= xxxxy c) )1 1 )(1( −+= x xy d) 2 1 2 2 + + = x x y e) 52 )21( xy −= f) 3 1 12       − + = x x y g) 32 )52( 1 +− = xx y k) 5 23 +−= xxy l) )12(sin 33 −= xy m) 2 2sin xy += n) xxy 5cos34sin2 32 −= o) 32 )2sin2( xy += p) )2(cossin 2 xy = g) 2 2 tan 3 x y = r) tan cot 2 2 x x y = − Bài 14 : Cho hàm số f(x) = x 5 + x 3 – 2x - 3. Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0) VẤN ĐỀ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) LÝ THUYẾT : Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x 0 ; y 0 ) ∈ ( C ) Phương pháp : Xác định x 0 , y 0 , f’( x 0 ) và sử dụng cơng thức y = f’( x 0 ).(x – x 0 ) + y 0 Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Phương pháp : B1 :Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k.(x – x A ) + y A = g(x) B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc : ( ) ( ) ( ) ' f x g x f x k =   =   ( nghiệm của hệ là hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến ) Giải hệ phương trình trên ta tìm được x ⇒ k ⇒ PTTT Dạng 3 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước ( song song hoặc vng góc đường thẳng cho trước ) Phương pháp : Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm ⇒ f’(x 0 ) = k với x 0 là hồnh độ tiếp điểm. Giải phương trình trên ta tìm được x 0 ⇒ y 0 . ⇒ PTTT y = k.(x – x 0 ) + y 0 Chú ý : i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau . iv. Hai đường thẳng vng góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 . Tức là nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc a thì : + Đường thẳng d song song với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = a + Đường thẳng d vng góc với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = 1 a − Bài 1: Cho hàm số (C): 3 2 y x 3x .= − Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2). Bài 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®êng cong 3 xy = : a) T¹i ®iĨm (-1 ;-1) ; b) T¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 2 ; c) BiÕt hƯ sè gãc cđa tiÕp tun b»ng 3. Bài 3: Cho hàm số 3x 1 y f(x) 1 x + = = − (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) a) Tại điểm A(2; –7); b) Tại giao điểm của (C) với trục hồnh. c) Tại giao điểm của (C) với trục tung; d) Biết tiếp tuyến song song với d: 1 y x 100 2 = + . e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0. GV: Nguyễn Quang Tánh 3 Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2 5 2y x x= − + . Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến đó: a) song song với đường thẳng 3 1y x= − + ; b) vng góc với đường thẳng 1 4 7 y x= − c) đi qua điểm A(0;2) Bài 5 . Cho đường cong (C): 2 2 x y x + = − . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) tại điểm có hồnh độ bằng 1; b) tại điểm có tung độ bằng 1 3 ; c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 − . Bài 6. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a.Tại điểm có hồnh độ 1 2 x = ; b. Tại điểm có tung độ 1 2 y = − ; c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến 3k = − . Bài 7. Cho hàm số 1 1 x y x + = − (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a. Tại điểm có tung độ 1 2 y = ; b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) 1 9 : 2013 2 d y x= − + ; c. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( ) 2 1 : 1 8 d y x= − . Bài 8. Cho hàm số 1 1 x y x − = + (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a. Tại giao điểm của (C) và trục hồnh . b. Tại giao điểm của (C) và trục tung . c. Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( ) 1 8 1 : 9 3 d y x= − + . Bài 10: Cho hàm số 2 2 x x y x + = − (C) a. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b. Viết PTTT của (C) tại điểm M có hồnh độ x 0 = -1. Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 2x 2 (C) a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x 0 = 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2. Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : 3 2 5 2y x x = − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) : a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1. c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 1 7 x – 4. GV: Nguyễn Quang Tánh 4