Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân www.VNMATH.com Mơc lục Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi tham sè 1.2.1 Nhóm phép biến đổi 1.2.2 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®ỉi mét tham sè 10 1.2.3 Biến đổi vi phân 15 1.2.4 Định lý Lie thứ 15 1.2.5 Toán tử sinh vi phân 19 1.2.6 Hµm bÊt biÕn 23 1.3 Nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi hai tham sè 24 1.3.1 Định nghĩa 24 1.3.2 Toán tử sinh vi phân 27 1.3.3 §¹i sè Lie 32 1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc 35 www.VNMATH.com Môc lôc øng dông tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 2.1 37 øng dông nhãm Lie mét tham sè vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I 37 2.1.1 HƯ to¹ ®é chÝnh t¾c 37 2.1.2 øng dơng nhãm Lie c¸c phÐp biến đổi tham số vào giải ph-ơng trình vi ph©n cÊp I 40 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 43 2.2.1 Nhóm Lie phép biến đổi tham số ®éc lËp, mét tham sè phô thuéc 43 2.2.2 VÝ dô øng dông Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi phân bậc cao 49 KÕt ln 53 Tµi liƯu tham khảo 54 Lời cảm ơn www.VNMATH.com Lời cảm ơn Trong suốt thời gian làm khóa luận, đà nhận đ-ợc h-ớng dẫn tận tình, chu đáo TS Đặng Anh Tuấn Mặc dù xa nh-ng Thầy th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoá luận Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy đà cho lời khuyên quý báu không vấn đề xoay quanh khóa luận mà ph-ơng pháp học tập nghiên cứu, trân trọng góp ý Thầy, động lực để hoàn thành khóa luận Tôi xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đà giải đáp thắc mắc, đóng góp ý kiến giúp hoàn thành khoá luận này; đồng thời xin đ-ợc gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô Bộ môn Giải tích; Thầy, Cô Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên ĐHQGHN đà giảng dạy, dìu dắt suốt năm qua Khóa luận đ-ợc hoàn thành với động viên tinh thần gia đình bạn bè Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tất giúp đỡ quý báu đó! Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân Lời mở đầu www.VNMATH.com Lời mở đầu Trong toán học, nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời Na Uy Sophus Lie, nhóm đa tạp trơn (differentiable manifold), với tính chất toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển đối xứng liên tục cấu trúc toán học Điều đà làm nhóm Lie công cụ cho gần nhtất ngành toán đại, vật lý lý thuyết đại, đặc biệt vật lý hạt Bởi nhóm Lie đa tạp, chúng đ-ợc nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp nhóm tôpô tổng quát Một ý t-ởng lý thut vỊ nhãm Lie, ®Ị bëi Sophus Lie lµ thay thÕ cÊu tróc toµn cơc, nhãm, víi phiên mang tính địa ph-ơng hay gọi phiên đà đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi nhóm cực nhỏ mà đ-ợc biết đến nh- đại số Lie Nhóm Lie đà cung cấp ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích đối xứng liên tục ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot), cách thức nh- nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử dụng lý thuyết Galois để phân tích đối xứng rời rạc ph-ơng trình đại số Trong khoá luận này, tác giả xin trình bày số nghiên cứu nhóm Lie tham số, nhóm Lie tham số ứng dụng chúng việc giải ph-ơng trình vi phân Các toán ví dụ đ-ợc trình bày khóa luận ®-ỵc trÝch dÉn tõ cn Symmetry anh Integration Lêi mở đầu www.VNMATH.com Methods for Differential Equations George W.Bluman and Stephen C Anco Đây tài liệu đ-ợc sử dụng khoá luận Tác giả xin đ-ợc trình bày chi tiết chứng minh ví dụ cụ thể để đ-a nguyên lý tảng nh-: cấu tạo tính chất cđa nhãm Lie, c¸ch ¸p dơng lý thut nhãm Lie gi¶i PTVP CÊu tróc cđa khãa ln gåm ch-ơng: Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Lie phép biến đổi tham số Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm phép biến đổi, nhóm Lie phép biến đổi tham số; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý Lie thứ nhất.Ví dụ 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi hai tham số Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại số Lie, tính giải đ-ợc Ví dụ minh họa Ch-ơng2: ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 1.1 ứng dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số để giải ph-ơng trình vi phân cấp 1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao Mặc dù đà cố gắng nh-ng thời gian trình độ hạn chế nên khóa luận chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy, Cô bạn www.VNMATH.com Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm phép biến đổi đặc biệt nhóm Lie phép biến đổi tham số Trong tr-ờng hợp phép biến đổi thực R2 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp G với phép toán : G ì G G (G, ) đ-ợc gọi nhóm thoả mÃn tiên đề 1) Tính đóng: Nếu a, b ∈ G th× φ(a, b) ∈ G 2) Tính kết hợp: Với phần tử a, b, c ∈ G bÊt kú th× φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c) 3) Phần tử đơn vị: Tồn phần tử đơn vị e G cho víi mäi phÇn tư a ∈ G: φ(a, e) = (e, a) = a 4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a thuộc G, tồn phần tử nghịch đảo a1 G cho φ(a, a−1) = φ(a−1 , a) = e 1.1 Nhóm www.VNMATH.com Định nghĩa 1.1.2 Nhóm (G, ) đ-ợc gäi lµ nhãm Abel nÕu φ(a, b) = φ(b, a), với phần tử a, b G Định nghĩa 1.1.3 Cho (G, ) nhóm với phần tử đơn vị e, A G, tập A với phép toán đ-ợc gọi nhóm nhóm (G, ) thoả mÃn điều kiện 1) Với phần tử a, b A (a, b) A 2) Phần tử đơn vị e ∈ A 3) Víi phÇn tư a bÊt kú thc A, tồn phần tử nghịch đảo a1 A cho φ(a, a−1) = φ(a−1 , a) = e VÝ dơ 1.1.4 Cho G = Z - lµ tËp số nguyên với phép toán cộng (a, b) = a + b i) ánh xạ : Z ì Z Z tổng a + b số nguyên a, b số nguyên ii) LÊy phÇn tư a, b, c ∈ Z ta cã a + (b + c) = (a + b) + c iii) Phần tử đơn vị e = Z tho¶ m·n a + = + a = a, a ∈ Z iv) Víi mäi a ∈ Z, tồn phần tử nghịch đảo a1 = a tháa m·n a + (−a) = (−a) + a = Vậy (Z, +) nhóm Vì a + b = b + a víi mäi a, b ∈ Z nên (Z, +) nhóm Abel Ví dụ 1.1.5 Cho G = R+ tập số thực d-ơng với phép toán nhân (a, b) = a.b i) ánh xạ : R+ ì R+ R+ tích a.b số thực d-ơng a, b sè thùc d-¬ng www.VNMATH.com 1.1 Nhãm ii) Víi phần tử a, b, c R+ bất kỳ, ta cã φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = (a, (b, c)) iii) Tồn phần tử đơn vị e = tho¶ m·n a.1 = 1.a = a, víi mäi phÇn tư a ∈ R+ iv) Víi mäi phÇn tư a ∈ R+ bÊt kú, tån phần tử nghịch đảo a1 = a 1 tho¶ m·n a = a = a a VËy (R+ , ) nhóm Vì a.b = b.a víi mäi a, b ∈ R+ nªn nhãm (R+ , ) lµ nhãm Abel VÝ dơ 1.1.6 Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} víi phÐp to¸n tham số đ-ợc cho (, ) = ε + δ + εδ i) Ta sÏ chøng minh ánh xạ từ S ì S vào S, nghÜa lµ φ(ε, δ) ∈ S, ε, δ ∈ S LÊy ε, δ ∈ S = (−1, +∞) V× ε ∈ (−1, +∞) nªn ε + > T-¬ng tù δ + > Suy (ε + 1)(δ + 1) > VËy ε + δ + εδ ∈ (−1, +∞) ii) TÝnh kÕt hỵp: Víi ε, δ, γ ∈ (−1, +∞) bÊt kú, φ(ε, φ(δ, γ)) = ε + (δ + γ + δγ) + ε(δ + γ + δγ) = ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ = ((ε + δ + εδ) + γ) + (ε + δ + εδ)γ = φ(φ(ε, δ), γ) iii) PhÇn tư đơn vị e = (1, +) thỏa mÃn φ(ε, 0) = φ(0, ε) = + ε + 0. = iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tư ε ∈ (−1, +∞) bÊt kú tån t¹i ε−1 cho: φ(ε, ε−1 ) = φ(ε−1 , ε) = ε + ε−1 + εε−1 = www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi tham số ε ∈ (−1, +∞) VËy (S, φ) lµ mét nhãm 1+ε V× φ(δ, ε) = δ + ε + δε = ε + δ + εδ = φ(ε, δ) nªn (S, φ) lµ nhãm Abel Suy ε−1 = − VÝ dơ 1.1.7 Cho G = R2 víi phÐp to¸n ϕ = (ε, δ) = (ε1 + δ1, eδ1 ε2 + δ2 ), ε = (ε1 , ε2 ) ∈ R2 ; δ = (δ1 , δ2 ) ∈ R2 i) ánh xạ : R2 ì R2 R2 v× (ε1 + δ1, eδ1 ε2 + δ2 ) ∈ R2 v× ε, δ ∈ R2 ii) Víi phần tử , , bất kỳ, ta có ϕ(ϕ(α, β), γ) = ϕ((α1 + β1 , eβ1 α2 + β2), γ) = (α1 + β1 + γ1 , eγ1 (eβ1 α2 + β2 ) + γ2 ) = (α1 + (β1 + γ1 ), e(β1 +γ1 ) α2 + eγ1 β2 + γ2 ) = ϕ(α, ϕ(β, γ)) iii) Phần tử đơn vị e = (0, 0) thoả m·n ϕ(ε, e) = (ε1 + 0, e0 ε2 + 0) = (ε1 , ε2 ) = ε iv) Víi phần tử R2 , ta xác định phần tử nghịch đảo 1 Ta có: (, ε−1 ) = e nªn suy (ε1 + ε−1 ε2 + ε−1 ,e ) = (0, 0) ε Suy ε−1 = (−ε1 , − ε ) ∈ R2 e1 VËy (R2 , ϕ) lµ mét nhãm V× ϕ(δ, ε) = (δ1 + ε1 , eε1 δ2 + ε2 ) = (ε1 + δ1 , eδ1 ε2 + δ2 ) = ϕ(ε, δ) nªn (R2 , ) không nhóm Abel 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi tham số 1.2.1 Nhóm phép biến đổi Định nghĩa 1.2.1 Cho D R2 , S R, (S, ) nhóm có phần tử đơn vị e S 2.1 www.VNMATH.com ứng dụng nhóm Lie tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I 40 Định lý 2.1.4 Trong thành phần tập hợp hệ toạ độ tắc y = (y1(x), y2 (x)), toán tử sinh vi phân nhóm Lie phép biến đổi tham sè (1.1) trë thµnh Y = ∂ ∂y2 (2.13) Chøng minh: Ta cã Y = η1 (y) ∂ ∂ + η2 (y) ∂y1 ∂y2 Tõ (2.7) vµ (2.10) ta suy thành phần hệ toạ độ chÝnh t¾c η1 (y) = Xy1 = 0, η2 (y) = Xy2 = 2.1.2 øng dơng nhãm Lie c¸c phép biến đổi tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I để giải đ-ợc ph-ơng trình vi ph©n cÊp I b»ng viƯc sư dơng nhãm Lie phép biến đổi tham số Tr-ớc hết ta cần biết đ-ợc nhóm Lie phép biến đổi tham số phù hợp với ph-ơng trình vi phân Ta có định nghĩa Định nghĩa 2.1.5 Nhóm Lie phép biến đổi tham số {X(., )} đ-ợc gọi phù hợp với ph-ơng trình vi phân y = f (x, y), nÕu y ∗ = X(y, ε), x∗ = X(x, ε), th× y∗ = f (x∗ , y ∗ ) ∗ x 40 2.1 www.VNMATH.com øng dụng nhóm Lie tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I 41 Ví dụ 2.1.6 Cho ph-ơng trình vi phân sau: y =f y , x đó, f hàm Trong R2 , ta lÊy x1 = x, x2 = y, vµ cho hƯ toạ độ tắc đ-ợc kí hiệu y1 = r, y2 = s, Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®æi mét tham sè x∗ = X((x, y), ε) = eε x, y ∗ = Y ((x, y), ε) = eε y, (2.14) ∂ ∂ +y ∂x ∂y dy y Y dY = =f =f Toạ độ r(x, y) dY = eε dy, dX = eε dx suy dX dx x X tho¶ m·n ∂r ∂r Xr = x +y = (2.15) ∂x ∂y víi to¸n tử sinh vi phân X = x Ph-ơng trình vi phân đặc tr-ng t-ơng ứng đ-ợc quy dy y = dx x (2.16) với nghiệm tổng quát r(x, y) = y = const x (2.17) Toạ độ s(x, y) tho¶ m·n Xs = x ∂s ∂s +y = x y (2.18) Nghiệm riêng (2.18) s(x, y) tho¶ m·n ds = dy y (2.19) s(x, y) = ln |y| (2.20) Do vËy, 41 2.1 www.VNMATH.com øng dơng nhãm Lie mét tham sè vµo giải ph-ơng trình vi phân cấp I 42 y , ln |y| Ta có đó, hệ (2.14) có hệ toạ độ tắc (r, s) = x y y x = hay = C, nên ph-ơng trình vi phân dạng tách biến: dx dy x y y 1 y dr = − + dy = − + f = (−r + f (r))dx x x x x x x ds = dy y 1 ds = Suy s = dr Do vËy dr f (r) − r f (r) r Nghiệm tổng quát viết d-ới dạng tham số toán ph-ơng trình vi phân ban đầu es x= , r y = es VÝ dô 2.1.7 Giải ph-ơng trình vi phân y y = xy − − x x T-¬ng tự ví dụ ta xét nhóm Lie phép biÕn ®ỉi x∗ = X((x, y), ε) = eε x, y ∗ = Y ((x, y), ε) = e−2ε y ξ(X, Y ) = (X, −2Y ), dY = e−2ε dy, dX = eε dx 1 2y Y dy dY = e−3ε = e−3ε (xy − − ) = XY − − Suy dX dx x x X X Toạ độ r(x, y) tho¶ m·n Xr = x ∂r ∂r − 2y = ∂x ∂y Xs = x ∂s ∂s − 2y = ∂x ∂y Suy r(x, y) = x2 y Toạ độ s(x, y) thoả mÃn 42 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi ph©n cÊp cao 43 Suy s(x, y) = ln |x| Vậy hệ toạ độ tắc (r, s) = (x2 y, ln |x|) x 2y Ta cã ph-ơng trình vi phân dạng tách biến: = hay x2 y = C, nªn dx dy dr = 2xydx + x2 dy = (2xy + x3 y − 2xy − x)dx, ds = dx x 1 r−1 ds = = VËy s = ln + C Suy dr x y −1 r r+1 Do nghiệm tổng quát viết d-ới dạng tham số ph-ơng trình vi phân ban ®Çu x = es , r y = 2s e 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 2.2.1 Nhóm Lie phép biÕn ®ỉi mét tham sè ®éc lËp, mét tham sè phụ thuộc Nghiên cứu tính bất biến ph-ơng trình vi phân cấp k với biến độc lập x biến phụ thuộc y nhằm mục đích tìm nhóm Lie phép biến đổi tham số nhận ®-ỵc tõ biÕn ®ỉi ®iĨm x∗ = X(x, y; ε), ∗ (2.21) y = Y (x, y; ε) víi y = y(x) Đặt dk y , k (2.22) dxk Khai triĨn (2.21) kh«ng gian (x, y, y , , y (k) ), k ≥ đòi hỏi (2.21) yk = y (k) = phải đảm bảo điều kiện tiếp xúc liên kết vi ph©n dx, dy, dy1 , , dyk 43 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 44 Khi đó, ta cã dy = y1dx, (2.23) dyk = yk+1dx, k (2.24) Đặc biệt, d-ới tác động nhóm phép biến đổi (2.21), đạo hàm xác định liên tục yi , k đ-ợc biến ®æi dy ∗ = y1∗ dx∗ , (2.25) ∗ dyk∗ = yk+1 dx∗ , Víi x∗ vµ y ∗ đ-ợc xác định (2.21), ta có Y (x, y; ε) ∂Y (x, y; ε) dx + dy, ∂x ∂y ∂X(x, y; ε) ∂X(x, y; ε) dx∗ = dX(x, y; ε) = dx + dy ∂x ∂y dy ∗ = dY (x, y; ε) = (2.26) Bëi vËy, tõ (2.21) (2.26), y1 thoả mÃn Y (x, y; ) X(x, y; ε) ∂Y (x, y; ε) ∂X(x, y; ε) dx+ dy = y1∗ dx+ dy (2.27) ∂x ∂y ∂x ∂y Thay thÕ (2.25) vµo (2.26), ta thÊy ∂Y (x, y; ε) ∂Y (x, y; ε) + y1 ∂x ∂y y1∗ = Y1 (x, y, y1; ε) = ∂X(x, y; ε) ∂X(x, y; ε) + y1 ∂x ∂y (2.28) §Þnh lý 2.2.1 Nhãm Lie mét tham sè më réng thứ phép biến đổi điểm (2.21) không gian toạ độ (x, y) khai triển từ nhóm Lie phép biến đổi không gian (x, y, y1) x∗ = X(x, y; ε), y ∗ = Y (x, y; ε), y1∗ = Y1 (x, y, y1; ε), 44 (2.29) 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 45 với Y1(x, y, y1 ; ) đ-ợc cho công thức (2.28) Chứng minh: Định lý hoàn toàn chứng minh đ-ợc việc tính đóng đ-ợc bảo đảm khai triển (2.21) với không gian (x, y, y1) Những tính chất khác nhóm Lie phép biến đổi tham số có trực tiếp khai triển Cho (, ) xác định phép toán tham số Đặt (x, y ∗∗ ) = (X(x∗, y ∗ ; δ), Y (x, y; )) (2.30) Tính đóng nhóm (2.21) thoả m·n hÖ thøc (x∗∗, y ∗∗ ) = (X(x∗, y ∗ ; φ(ε, δ)), Y (x, y; φ(ε, δ))) Nh-ng y1∗∗ tho¶ m·n dy ∗∗ = y1∗∗ dx∗∗ Do ®ã, y1∗∗ Y (x, y; φ(ε, δ)) ∂Y (x, y; φ(ε, δ)) + y1 ∂x ∂y = Y1 (x, y, y1 ; φ(ε, δ)) = ∂X(x, y; φ(ε, δ)) X(x, y; (, )) + y1 x y Định lý 2.2.2 Nhãm Lie mét tham sè cđa phÐp biÕn ®ỉi điểm (2.21) nhóm Lie phép biến đổi tham số không gian (x, y, y1, y2 ) x∗ = X(x, y; ε), y ∗ = Y (x, y; ε), y1∗ = Y1 (x, y, y1 ; ε), ∂Y1 ∂Y1 ∂Y1 + y1 + y2 ∂x ∂y ∂y1 , y2∗ = Y2 (x, y, y1 , y2; ε) = ∂X(x, y; ε) ∂X(x, y; ε) + y1 ∂x ∂y víi Y1 = Y1 (x, y, y1 ; ε) đ-ợc cho công thức (2.28) 45 (2.31) 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 46 Định lý 2.2.3 Nhóm Lie tham sè më réng thø k cđa phÐp biÕn ®ỉi điểm (2.21) nhóm Lie phép biến đổi tham số không gian (x, y, y1, , yk ) x∗ = X(x, y; ε), y ∗ = Y (x, y; ε), y1∗ = Y1 (x, y, y1; ε), ∂Yk−1 ∂Yk−1 ∂Yk−1 + y1 + · · · + yk ∂x ∂y ∂yk−1 yk∗ = Yk (x, y, y1, , yk ; ε) = , ∂X(x, y; ε) ∂X(x, y; ε) + y1 ∂x ∂y (2.32) víi Y1 = Y1(x, y, y1 ; ) đ-ợc xác định (2.28), Yi = Yi (x, y, y1, , yi ; ε), i = 1, 2, , k Chó ý r»ng ta cã thĨ khai triĨn tËp hỵp phép biến đổi - (không thiết phải nhóm phép biến đổi) x† = X(x, y), y † = Y (x, y), (2.33) từ miền D không gian (x, y) vào miền D khác không gian (x , y † ), vµ hµm X(x, y), Y (x, y) lµ đạo hàm k lần D Ta khai triển tự nhiên phép biến đổi (2.33) kh«ng gian (x, y, y1 , , yk ) để điều kiện tiếp xúc (2.25) đ-ợc bảo ®¶m dy † = y1† dx† , dyk† = d†k+1 dx , (2.34) k đây, phép biến ®ỉi më réng thø k tõ kh«ng gian (x, y, y1, , yk ) vµo 46 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 47 không gian (x , y † , y1† , , yk† ) ®-ỵc cho bëi x† = X(x, y), y † = Y (x, y), y1† = Y1 (x, y, y1), ∂Yk−1 ∂Yk−1 ∂Yk−1 + y1 +···+ ∂x ∂y ∂yk−1 yk† = Yk (x, y, y1 , , yk ) = ∂X(x, y) ∂X(x, y) + y1 ∂x ∂y (2.35) víi ∂Y (x, y) ∂Y (x, y) + y1 ∂x ∂y , Y1 = Y1 (x, y, y1) = ∂X(x, y) ∂X(x, y) + y1 ∂x ∂y vµ Yi = Yi (x, y, y1 , , yi ), i = 1, 2, , k − Cho nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®ỉi mét tham sè cđa biÕn ®ỉi ®iĨm x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y ∗ = Y (x, y; ε) = y + (x, y) + O(2 ), tác động không gian (x, y) cã vi ph©n ξ(x, y); η(x, y), với toán tử sinh vi phân t-ơng ứng X = ξ(x, y) ∂ ∂ + η(x, y) ∂x ∂y 47 (2.36) 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 48 Khai triển thø k cña (2.36) x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y ∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) + O(ε2), y1∗ = Y1(x, y, y1 , ε) = y1 + εη (1) (x, y, y1 ) + O(ε2 ), yk∗ = Yk (x, y, y1 , , yk ; ε) = yk + εη (k) (x, y, y1, , yk ) + O(ε2) (2.37) Vi ph©n më réng thø k ξ(x, y), η(x, y), η (1) (x, y, y1), , η (k) (x, y, y1 , , yk ), với toán tử sinh vi phân mở rộng thø k t-¬ng øng X (k) = ξ(x, y) ∂ ∂ ∂ ∂ +η(x, y) +η (1) (x, y, y1 ) +· · ·+η (k) (x, y, y1, , yk ) , ∂x ∂y ∂y1 ∂yk (2.38) víi k = 1, 2, C«ng thức cho vi phân mở rộng (k) kết định lý Định lý 2.2.4 Vi phân mở rộng (k) thoả mÃn hệ thức đệ quy (k) (x, y, y1, , yk ) = Dη (k−1) (x, y, y1, , yk−1 ) − yk Dξ, k = 1, 2, , (2.39) ®ã, η = η(x, y) Đặc biệt, k (k) k =D j=1 k! (k − j)!j! Chøng minh: PhÇn chøng minh ta cã thĨ tham kh¶o ë trang 60 - STK[5] 48 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 49 Vi phân mở réng η (k) cã c¸c tÝnh chÊt i) η (k) lµ tun tÝnh cđa yk , k ≥ ii) (k) hàm đa thức y1, y2 , , yk mµ hƯ sè cđa tuyến tính (x, y), (x, y) đạo hàm riêng chúng lên đến bậc k Ví dụ 2.2.5 Nhóm phép tịnh tiến (k) = 0, k ≥ VÝ dô 2.2.6 Nhãm Scalings η (k) = (2 − k)yk , k ≥ (k) (k) Định lý 2.2.7 Cho X , X toán tử sinh vi phân mở rộng thứ k toán tử sinh vi phân X, X , [X, X ](k) toán tử sinh vi phân mở rộng (k) (k) thø k cđa giao ho¸n tư [Xα , Xβ ] Khi ®ã, [Xα , Xβ ](k) = [Xα , Xβ ], k ≥ (k) (k) Do vËy, nÕu [Xα , Xβ ] = Xγ , th× [Xα , Xβ (k) ] = Xγ , k ≥ 2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi phân bậc cao Ví dụ 2.2.8 Ta xét ph-ơng trình vi phân (ph-ơng trình Blasius) (2.40) y + yy = nhận đ-ợc từ nhóm Lie phép biến đổi tham số với toán tư sinh vi ph©n X1 = ∂ ∂ ∂ , X2 = x −y ∂x ∂x ∂y Khi ®ã, [X1, X2 ] = X1 (2) Hµm bÊt biÕn cđa X1 đ-ợc cho d-ới dạng u = y, v = y = y1 , v1 = 49 y2 dv = du y1 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 50 ∂ ∂ ∂ −y − 2y1 − 3y2 , ∂x ∂y ∂y1 ∂y2 y2 (1) (2) X2u = −y = −u, X2 v = −2y1 = −2v, X2 v1 = − = −v1 y1 (1) (2) th× X2 U (u, v) = 0, X2 V (u, v, v1 ) = 0; (2) T-¬ng tù, X2 = x ta dÉn ®Õn u v1 , V = v2 u Do ph-ơng trình vi phân bậc (PT Blasius) đ-ợc ®-a vỊ d¹ng U= dV d((yy1)−1)y2 y y1y3 − y 2(y2)2 − y(y1)2y2 = = dU d(y −2 y1) y(y1)2y2 − 2(y1)4 2 2 y y1y2 + y (y2) + y(y1) y2 = 2(y1)4 y(y1)2y2 Biến đổi theo u v ph-ơng trình trở thành ph-ơng trình vi phân cấp I V dV = dU U +V +U 2U − V (2.41) NÕu V = φ(U; C1) lµ nghiƯm tỉng quát (2.41) ph-ơng trình vi phân cấp I v dv = uφ( ; C1 ), (2.42) du u (1) 2v Biến đổi t-ơng đ-ơng hệ toạ độ nhận đ-ợc X2 = u ∂u ∂v v chÝnh t¾c r = , s = ln |v|, ph-ơng trình vi phân (2.42) trở thành u v1 = ds φ(r; C1 ) = dr r((r; c1 ) 2r (2.43) Điều dẫn đến phép cầu ph-ơng r v = C2 exp (; C1 ) dρ , ρ(φ(ρ; C1 ) = 2ρ) (2.44) v = y1, r = y1 /y Theo nguyên tắc, (2.44) khai triển d-ới dạng nghiệm tỉng qu¸t y = Ψ(y; C1, C2 ) 50 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao Ta nhận đ-ợc X1 = sau: 51 sau đ-a đ-ợc dạng phép cầu ph-ơng x dy = x + C3 (y; C1, C2 ) (2.45) Ph-ơng trình (2.45) biểu diễn nghiệm tổng quát ph-ơng trình Blasius Ví dụ 2.2.9 Ví dụ xét ph-ơng trình vi phân bậc yy y y = (2.46) Ph-ơng trình có đ-ợc nghiên cứu tính chất ph-ơng trình sóng với vận tốc sóng y(x) Ph-ơng trình vi phân (2.46) hiển nhiên nhận đ-ợc nhóm Lie phÐp biÕn ®ỉi tham sè x∗ = ax + b, y ∗ = ay Ta dƠ dµng thÊy r»ng hàm vi phân bất biến t-ơng ứng với nhóm lµ U = y , V = yy Do đó, ph-ơng trình vi phân (2.46) đ-a dạng dV V U =2 ∓ dU U V (2.47) NgÉu nhiên, ph-ơng trình vi phân cấp I (2.47) nhận đ-ợc nhãm Scalings U ∗ = λU, V ∗ = λV Cho nên, nghiệm tổng quát PTVP (2.47) tìm đ-ợc cách dễ dàng U V U = const (2.48) Có tr-ờng hợp xảy phơ thc vµo kÝ hiƯu h»ng sè ë (2.48) Ta xét tr-ờng hợp số đ-ợc cho ω ≥ 0, ω = const Trong tr-êng 51 2.2 www.VNMATH.com ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao 52 hợp này, để thuận tiện ta chọn hàm vi phân bất biến cấp I t-ơng ứng với hàm bất biến d-ới biến đổi cđa x nh- mét biÕn míi: u = y; v = y = U Khi đó, (2.48) trở thành ph-ơng trình vi phân cấp I v dv = du u (2.49) NghiƯm tỉng qu¸t cđa ph-ơng trình vi phân (2.49) v= [(u) (u) ], (2.50) đó, số tuỳ ý Không tính tổng quát công thức biến đổi nhóm Scalings x y ta cho = Khi ph-ơng trình vi phân cấp I (2.46) đ-ợc đ-a dạng y = [y ∓ y −ω ] ω Chun sang d¹ng to¹ ®é ta cã: y = sinh(ω ln |y|), 2ω (2.51) hc cosh(ω ln |y|) (2.52) 2ω NÕu h»ng số (2.48) đ-ợc cho 0, với tiến trình t-ơng y = tự ta thu đ-ợc dạng toạ độ gọn cho ph-ơng trình vi ph©n (2.46) y = − sin(ω ln |y|) ω Tính chất nghiệm ph-ơng trình vi phân (2.53) thó vÞ 52 (2.53) KÕt ln www.VNMATH.com 53 KÕt Ln Mục đích khóa luận đ-a tính chất đối xứng nghiệm ph-ơng trình vi phân, tõ ®ã ®-a øng dơng cđa tÝnh chÊt ®ã nhóm Lie đại số Lie nhằm biến đổi để giải ph-ơng trình vi phân không giải đ-ợc ph-ơng pháp thông th-ờng Các kết khóa luận là: ã Tổng hợp lại số kiến thức lý thuyết nhóm Lie, Đại số Lie ã Trình bày, phân tích bình luận toán Ph-ơng trình vi phân giải đ-ợc nhờ việc đ-a tính đối xứng nghiệm nhóm Lie, đại số Lie; nêu lên ý nghĩa giải Ph-ơng trình vi phân ã Sử dụng ph-ơng pháp đà nghiên cứu để ứng dụng giải số ví dụ cụ thể Ph-ơng trình vi phân cấp I, Ph-ơng trình vi phân cấp cao; làm sáng tỏ số kết toán học ứng dụng tính đối xứng nghiệm giải Ph-ơng trình vi phân 53 Tài liệu tham khảo www.VNMATH.com 54 Tài liƯu tham kh¶o [1] P.Eisenhart (1961), Continuous groups of transformations, Dover, New York [2] Gilmore (1974), Lie groups, Lie algebras and some of their applications, Wiley, New York [3] N.H Ibragimov (1985), Transformation groups applied to mathematical physics, Reidel, Boston [4] Hans Stephani (1989), Differential equation - Their solution using symmetries, University Press, Cambridge, UK [5] George W.Bluman and Stephen C Anco (2002), Symmetry anh Integration Methods for Differential Equations, Springer - Vertal NeW York, Inc [6] Ngun ThÕ Hoµn, Phạm Phu (2003), Cơ sở ph-ơng trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo Dục [7] Trần Văn Trản, Ph-ơng pháp số thực hành - tập I, II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 54 ... nhãm Lie c¸c phÐp biÕn ®ỉi mét tham sè; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý Lie thứ nhất.Ví dụ 1.2 Nhóm Lie phép biến đổi hai tham số Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie. .. nhãm Lie c¸c phÐp biến đổi tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I để giải đ-ợc ph-ơng trình vi phân cấp I vi? ??c sử dụng nhóm Lie phép biến đổi tham số Tr-ớc hết ta cần biết đ-ợc nhóm Lie phép... = ((x1), (x2))(x) Theo định lý Lie thø nhÊt tõ nhãm Lie c¸c phÐp biÕn đổi tham số ta xác định đ-ợc toán tử sinh vi phân Định lý d-ới vi? ??c sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật