20 Đề Ôn Thi Học Kỳ II Toán 11 doc

1 Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.. Theo chương trình Nâng cao Bài 5b: Cho f x sin3x cosx 3 sinx cos3x a Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến

Đề 1

I Phần chung cho cả hai ban

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

1)

x

x x x

2 1

3

lim

3+

x

11

−

=+

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y x 2

2

−

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2.

1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

8lim

→−

++ + .

Bài 6a Cho y 1x3 2x2 6x 8

I Phần chung cho cả hai ban.

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

5

lim5+

1 1lim

→

+ −+ .

2) Cho hàm số y x= 4−x2+3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có tung độ bằng 3

Bài 6a Cho y=sin 2x−2 cosx Giải phương trình y/= 0

2 Theo chương trình nâng cao

Bài 5b Cho y= 2x x− 2 Chứng minh rằng: y y3 //+ =1 0.

Bài 6b Cho f( x ) = f x x

x

x3

64 60( )= − −3 +16 Giải phương trình f x′( ) 0= .

2

2 2lim

7 3

→

+ −+ −4)

Bài 2 Cho hàm số:

x khi x >2 x

f x

ax khi x 2

33 2 22( )

14

Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình x5−3x4+5x− =2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5).

Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:

2

2lim

7 3

→

−+ −4) lim(x+3)3−27 5) lim3n−4n+1÷

Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3+1000x+0,1 0=

Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.

1) Chứng minh (SAC) (⊥ SBD); (SCD) (⊥ SAD)

2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=2sinx+cosx−tanx b) y=sin(3x+1) c)y=cos(2x+1) d) y= 1 2tan 4+ x

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD=600 và SA = SB = SD = a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).

b) Chứng minh tam giác SAC vuông.

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

B PHẦN TỰ CHỌN:

1 Theo chương trình chuẩn

Bài 5a: Cho hàm số y f x= ( ) 2= x3−6x+1 (1)

a) Tínhf '( 5)− .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M o (0; 1)

c) Chứng minh phương trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

2 Theo chương trình Nâng cao

Bài 5b: Cho f x( ) sin3x cosx 3 sinx cos3x

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y=22x+2011

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng ∆ : y 1x 2011

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3

b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x5−3x4+5x− =2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5)

Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

4 2 2

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của ∆ SAB Trên đường

thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.

a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là tâm của đáy ABCD.

a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC

Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x3+5x− =3 0.

Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y= +(x 1)(2x−3) b) y 1 cos2 x

2

= +

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD=600, đường cao SO = a

a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC Chứng minh rằng: BC⊥ (SOK)

b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD)

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y=2x3−7x+1 (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.

Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥(ABC), SA= a M là một điểm trên cạnh AB,

·ACM=ϕ, hạ SH ⊥CM.

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.

b) Hạ AK ⊥ SH Tính SK và AH theo a và ϕ.

Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y 1 x x2

2

= − + và (C): y 1 x x2 x3

= − + − a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.

Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = 5

5

1 2lim

4lim

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến

đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

II Phần tự chọn

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3−3x2−6x+ =2 0.

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

8 lim

Bài 2: Cho y= x2 − 1 Giải bất phương trình: y y′ < 2x2−1.

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·AOB AOC= · = 60 , 0 BOC· = 90 0

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b) Chứng minh OA vuông góc BC.

c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.

Bài 4: Cho y f x= ( )=x3−3x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với

3 0

2 2

5 3lim

2

→−

+ −+

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y x= 3 tại điểm có hoành độ x0 = −1.

b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: • =y x 1+x2 • = −y (2 x2)cosx+2 sinx x

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B AB = BC = a, ·ADC =45 ,0 SA a= 2.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

Câu 6a: Cho y x= 3−3x2+2 Giải bất phương trình: y′ <3.

Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có uuur r uuur r uuur r AB a AD b AE c= , = , = Gọi I là trung điểm của đoạn BG Hãy biểu thị vectơ uur AI qua

ba vectơ a b c r r r, , .

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của 4,04

b) Tính vi phân của hàm số y x= cot2x

lim

3+

3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA a= 6

1) Chứng minh : BD SC SBD⊥ , ( ) ( ⊥ SAC).

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

3) Tính góc giữa SC và (ABCD)

II Phần tự chọn

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= −1

x tại giao điểm của nó với trục hoành

Câu 5a: Cho hàm số f x( ) 3 = x+60 64− 3 + 5

x x Giải phương trình f x′( ) 0=

Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Tính uuur uuurAB EG.

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin 2 cos2x x

Câu 5b: Cho = 3 + 2 − 2

y x Với giá trị nào của x thì y x′( )= −2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung và tính

khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C

9

→

+ −

−

Bài 2: Chứng minh phương trình x3−3x+ =1 0 có 3 nghiệm thuộc (−2;2)

Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x= −3

+

=

− có đồ thị (H).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 1x 5

8

= − +

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I,

K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)

1+

→

+ +

−

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3−2mx2− + =x m 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.

Bài 5: Cho đường cong (C): y x= 3−3x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y 1x 1

a) Chứng minh: SAC∆ vuông và SC vuông góc với BD

b) Chứng minh: SAD( ) (⊥ SAB SCB), ( ) (⊥ SCD)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x2 3−10x− =7 0 có ít nhất hai nghiệm

Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1

2.

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= −4x+3

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA (ABC SA), 3a

2

a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI)

a)

x

x x

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x4+x3−3x2+ + =x 1 0 có nghiệm thuộc ( 1;1)−

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011= +

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD=600, SO ⊥ (ABCD),

a

4

= = Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE

a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC)

5

1 2lim

4lim

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và

khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

II Phần tự chọn

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x6 3−3x2−6x+ =2 0

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a 3

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tínhdiện tích thiết diện đó

2lim

→−

− −+ b)

a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC)

b) Chứng minh (SAC) (⊥ SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O là trung điểm của AB)

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC

1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: x2 3−10x=7

2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300 Tính chiều cao hìnhchóp

B Theo chương trình Nâng cao

Bài 4b:

1) Cho f x( ) sin 2= x−2sinx−5 Giải phương trình f x′( ) 0=

2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân

Chứng minh rằng: (a2+b b2)( 2+c2) (= ab bc+ )2

Bài 5b:

1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: (m2+1)x4−x3 =1

2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a

2 Tính góc giữa 2mặt phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC)

Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:

3

3lim

Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5.

Câu 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

x

2 2

b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

c) Gọi AM là đường cao của ∆SAB, N là điểm thuộc cạnh SC Chứng minh: (AMN) ⊥ (SBC)

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.

Phần A: (theo chương trình chuẩn)

Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5−3x4+5x− =2 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng(–2; 5)

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y 4x3 x2 5x

a) Tìm x sao cho y′ >0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0.

Phần B: (theo chương trình nâng cao)

Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x2 3−6x+ =1 0 có ít nhát hai nghiệm

Câu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y=4x3−6x2+1 có đồ thị (C)

1) Giải bất phương trình y 2′≥

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:

x y 50 0+ + =

Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao

1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, biết u3 =3 và u5 =27

2) Tìm a để phương trình f x′( ) 0= , biết rằng f x( )=a.cosx+2sinx−3x+1

b) Chứng minh rằng phương trình x3+3x2−4x− =7 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0)

Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD =

2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO Kẻ OP vuông góc với SA.

Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn.

a) Cho hàm số f x( )=x3−3x+4 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2)

b) Tìm đạo hàm của hàm số y=sin2x

Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.

a) Cho hàm số f x( )=x3+3x−4 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó điqua điểm M(1; 0)

b) Tìm đạo hàm của hàm số y=sin(cos(5x3−4x+6)2011)

ĐÁP ÁN

ĐỀ 1 Bài 1

1)

x

x x x

2 1

⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ( ;3), (3;−∞ +∞).

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3−5x2+ + =x 1 0.

 =

 = −

+ Với x0= ⇒1 y0=0 ⇒ PTTT: y 1x 1

⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.

• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆ SBC vuông tại B.

• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆ SCD vuông tại D.

2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).

3

= = ⇒·BSC =600

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

• Ta có: (SBD) (∩ ABCD)=BD, SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒·((SBD ABCD),( )) =· SOA

• ∆ SAO vuông tại A ⇒ · SOA SA

2 2 2

8lim

3)

x

x x

• ∆ OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)

3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ (· AB AOI,( ))=· BAI

A

B

C O

I

K

• ∆ AOK vuông tại O ⇒ AK2 OA2 OK2 5a2

Bài 6a: y=sin 2x−2 cosx⇒ =y′ 2 cos2x+2sinx

PT y' 0= ⇔2 cos2x+2sinx= ⇔0 2sin2x−sinx− =1 0

x x

1sin

x x

x x

1 1

  −

 ÷

− =   =−+   + ÷

 

Bài 2:

x khi x >2 x

f x

ax khi x 2

33 2 22( )

14

Bài 3: Xét hàm số f x( )=x5−3x4+5x−2 ⇒ f liên tục trên R.

Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK) 3) Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆ BHK vuông tại H.

4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có: f x′( )0 = −5 ⇔ x x

x

2

2 0

K

0

60

lim

1+

→−

++ Ta có:

x x

x x

1 1

+ +

1

lim

1+

4) y=sin(cos )x ⇒ = −y' sin cos(cos )x x

Bài 5:

1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)

• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

SA ⊥ (ABCD) ⇒·(SD ABCD,( )) =· SDA

3

= =3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Trong ∆ SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.

a AH

AH2 SA2 AD2 a2 a2

54

OH

⇒ f(x) không liên tục tại x = –2.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( ; 2), ( 2;−∞ − − +∞).

2 1 2 tan 4 1 2 tan 4cos 4

Mặt khác ∆ ABD có AB = AD và ·BAD=600 nên ∆ ABD đều

Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H AO∈ ⇒ ∈H AC

 ⊥

b) Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có AO a 3 AC a 3

⇒ phương trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

Bài 5b: f x( ) sin3x cosx 3 sinx cos3x

  ⇒ f x′( ) cos3= x−sinx− 3(cosx−sin3 )x

PT f x′( ) 0= ⇔ cos3x 3 sin3x sinx 3 cosx 1cos3x 3sin3x 1sinx 3cosx

H

Bài 6b: f x( ) 2= x3−2x+ ⇒3 f x′( ) 6= x2−2

a) Tiếp tuyến song song với d: y=22x+2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k 22= .

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có f x′( ) 220 = ⇔ x2 x2 x x0

xlim ( )→2 =xlim (→2 + =1) 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 2.

Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

x2 3

4'

x2 x

1'

3 2

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆ SBI vuông cân ⇒·SBI=450

D

O

HK

S

A

B

CI

M