PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 MƠN : TỐN Câu (1,5 điểm) 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 ÷: 2014 M = − ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 1) x2 + x − = x2 + x, 2) Tìm biết Câu (2,5 điểm) a, b, c 1) Cho ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện : a +b −c b +c −a c + a −b = = c a b b a c B = + ÷ + ÷1 + ÷ a c b Hãy tính giá trị biểu thức A,7 B,7C 2) Ba lớp mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự 5: 6: 4:5:6 định chia cho ba lớp với tỉ lệ sau chia theo tỉ lệ nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) A = x + + x − 2013 x 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức với số nguyên x + y + z = xyz 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : Câu (3,0 điểm) · = 600 xAy Ay Az Ax B BH Cho có tia phân giác Từ điểm kẻ vng góc với Ay, Bt H , BK CM Az Bt Az kẻ vng góc với song song với cắt C Từ C kẻ Ay vng góc với M Chứng minh: AC trung điểm ∆KMC b) tam giác BK = 2cm, ∆AKM c) Cho tính cạnh Câu (1,0 điểm) a) K Cho ba số dương ≤ a ≤ b ≤ c ≤ Chứng minh rằng: a b c + + ≤2 bc + ac + ab + ĐÁP ÁN Câu 2 1 0,4 − + − 0,25 + 11 − ÷: 2014 1) M = ÷ 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 1 1 1 2 − + ÷ − + ÷ − + ÷ : 2014 = 11 − ÷: 2014 7 ÷ 2015 1 1 ÷ 2015 − + ÷ − + 11 ÷ − + ÷÷ 10 2 2014 = − ÷: =0 7 2015 x2 + x − > 2) Vì nên +Nếu +Nếu x ≥1 ( 1) ⇒ x + x −1 = x2 + ⇒ x − = ( *) ⇒ x − = ⇒ x = x < ⇒ x − = −2 ⇒ x = −1 Câu a+b+c≠0 1) +Nếu , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a +b−c b+c −a c + a −b a +b−c +b+c −a +c+ a −b = = = =1 c a b a+b+c Mà Vậy a+b−c b+c−a c + a −b a+b b+c c+a +1= +1 = +1 = ⇒ = = =2 c a b c a b b a c b + a c + a b + c B = 1 + ÷ + ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷= a c b a c b +Nếu a+b+c =0 , theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a +b−c b+c −a c + a −b a +b −c +b+c −a +c + a −b = = = =0 c a b a+b+c Mà Vậy a+b−c b+c−a c+a−b a+b b+c c+a +1 = +1 = +1 =1 ⇒ = = =1 c a b c a b b a c b + a c + a b + c B = + ÷ + ÷ + ÷ = ÷. ÷. ÷= a c b a c b x ( x ∈ ¥ *) 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua A,7 B,7C a, b, c Số gói tăm dự định chia cho lớp lúc đầu a b c a+b+c x 5x 6x 7x = = = = ⇒ a = ;b = ; c = (1) 18 18 18 18 18 Ta có: a ', b ', c ' Số gói tăm sau chia cho lớp , ta có: a ' b ' c ' a '+ b '+ c ' x 4x 5x 6x = = = = ⇒ a ' = ;b ' = ;c ' = (2) 15 15 15 15 15 ( 2) a > a '; b = b '; c < c ' ta có: nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 6x x c '− c = ⇒ − = ⇒ x = 360(tm) 15 18 So sánh Vậy ( 1) Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu A = x + + x − 2013 = x + + 2013 − x ≥ x + + 2013 − x = 2015 1) Ta có: Dấu "=" ( x + ) ( 2013 − x ) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ xảy MaxA = 2015 x = −1 Vậy 2013 1≤ x ≤ y ≤ z x, y , z 2) Vì Theo nguyên dương nên ta giả sử 1 1 1 1= + + ≤ + + = ⇒ x2 ≤ ⇒ x = yz yx zx x x x x + y + z = yz ⇒ y − yz + + z = Thay vào đầu ta có: ⇒ y(1− z) − (1− z) + = ⇔ ( y − 1) ( z − 1) = Th1: y − = ⇒ y = z −1 = ⇒ z = Th : y − = ⇒ y = z − = ⇒ z = Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn ( 1,2,3) ; ( 1,3,2 ) Câu a) ( · · CAB = ·ACB = MAC ∆ABC ) BK cân B đường cao ⇒K AC đường trung tuyến trung điểm ∆ABH = ∆BAK ( b) cạnh huyền – góc nhọn) 1 AK = AC ⇒ BH = AC ⇒ BH = AK 2 (hai cạnh tương ứng) mà BH = CM Ta có: (tính chất đoạn chắn) mà CK = BH = Mặt khác: AC ⇒ CM = CK ⇒ ∆MKC · MCB = 900 tam giác cân (1) ·ACB = 300 ⇒ MCK · = 600 (2) ⇒ BK Từ (1) (2) ⇒ ∆MKC tam giác · KAB = 300 ⇒ AB = BK = 2.2 = 4cm ∆ABK c) Vì vng K mà AK = AB − BK = 16 − = 12 ∆ABK Vì vng K nên theo pytago ta có: KC = AC ⇒ KC = AK = 12 Mà ⇒ KC = KM = 12 ∆KCM AB = BC = 4, AH = BK = 2, HM = BC HBCM Theo phần b, ( hình chữ nhật) ⇒ AM = AH + HM = Câu Vì ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 nên: ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ Tương tự: Do đó: Mà : a a ≤ bc + b + c (2); 1 c c ≤ ⇔ ≤ ab + a + b ab + a + b ( 1) b b ≤ (3) ac + a + c a b c a b c + + ≤ + + bc + ac + ab + b + c a + c a + b (4) 2( a + b + c) a b c 2a 2b 2c + + ≤ + + = = 2(5) b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a +b+c a+b+c Từ (4) (5) suy : a b c + + ≤2 bc + ac + ab + (dfcm) ... 11 − ÷: 2014 1) M = ÷ 7 1,4 − + − 0, 875 + 0 ,7 ÷ 2015 11 2 2 − + 11 = − 7 − + 11 1 1 1 1 2 − + ÷ − + ÷ − + ÷ : 2014 = 11 − ÷: 2014 7 ÷ 2015 1 1 ÷ 2015... c b x ( x ∈ ¥ *) 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua A ,7 B,7C a, b, c Số gói tăm dự định chia cho lớp lúc đầu a b c a+b+c x 5x 6x 7x = = = = ⇒ a = ;b = ; c = (1) 18 18 18 18 18 Ta có: a ',... 2015 1 1 ÷ 2015 − + ÷ − + 11 ÷ − + ÷÷ 10 2 2014 = − ÷: =0 7 2015 x2 + x − > 2) Vì nên +Nếu +Nếu x ≥1 ( 1) ⇒ x + x −1 = x2 + ⇒ x − = ( *) ⇒ x − = ⇒ x = x