213 đề HSG toán 7 huyện

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN Bài (4 điểm) n2 n2 n n Chứng minh với n nguyên dương thì:    chia hết cho 10 2009 2010 Bài (3 điểm) Cho đa thức P ( x)   x  x  x  x   x  x Q( x )   x  x  x  x   x 2009 x 2010 1 1 P   Q   Giá trị biểu thức     có a ; a , b  ¥ ; a, b b dạng biểu thức hữu tỉ là số nguyên tố Chứng minh aM Bài (3 điểm) Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d Hãy tìm giá trị biểu thức M ab bc cd d a    cd d a ab bc Bài (4 điểm) Cho M a b c   a  b b  c c  a với a, b, c  a) Chứng minh M  b) Chứng tỏ M số nguyên Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A, cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho CE  BD Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I , C thẳng hàng Bài (2,5 điểm) µ · Cho ABC cân A, có A  100 , tia phân giác góc ABC cắt AC D Chứng minh : AD  BD  BC ĐÁP ÁN Bài 3n  2n  3n  2n   3n  3n    2n  2n   10.3n  5.2n n n 10 10.3n M 10 Vì n nguyên dương nên M2  5.2 M n2 n2 n n 10 Vậy    M Bài 2009 1 1 1 1 1 1 A  P   Q             2 2 2 2 2 2 Đặt (1) 2007 1 1 A  10         2 2 Suy 2009 1 3A     2 Từ (1) (2) suy  A (2) 8 2009 22012  a   3.22009 b 2012 1006 3;22012  22009 hai số nguyên tố nên Ta thấy:    1M 22012   3a 3a  22012   16503  Vì 16503 có chữ số tận nên 3a có chữ số tận 5, suy số chia hết cho nguyên tố nên aM Bài Từ 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1  1 a b c d  abcd abcd abcd abcd    a b c d Nếu a  b  c  d  a  b  c  d  M      Nếu a  b  c  d   a  b    c  d  ; b  c    d  a  ; c  d   a  b ;d  a   b  c Khi đó: M   1   1   1   1  4 Bài a a b b c c  ;  ;  a) Vì a, b, c  nên a  b a  b  c b  c a  b  c c  a a  b  c a b c abc M     1 ab bc ca abc Vậy M  b c   b c a   a          b) Mà  a  b b  c c  a   a  b b  c a  c  b   b c   c a   a          ab ab bc bc ca ca c a   b     a  b b  c a  c   (tương tự câu a) Vì b c   a M      (2) a  b b  c c  a   Suy : Từ (1) (2) suy :  M  nên M số nguyên Bài Kẻ DF / / AC  F  BC  · DFB  ·ACB (2 góc đồng vị) ,mà ·ABC  ·ACB (tam giác ABC cân) ·  DFB  ·ABC  DBF cân D · · DB  DF , mà DF  CE ( gt )  DF  CE  IDF  IEC (cgc )  DIF  EIC Vậy ba điểm B, I , C thẳng hàng (vì điểm D, I , E thẳng hàng) Bài Trên cạnh BC lấy điểm E , F cho: BE  BA, BF  BD Học sinh chứng minh AD  DE Học sinh chứng minh DFE cân D  DE  DF Chứng minh DFC cân F  DF  FC  DE  FC Suy AD  BD  BC ... 1 1 1 1 1 A  P   Q             2 2 2 2 2 2 Đặt (1) 20 07 1 1 A  10         2 2 Suy 2009 1 3A     2 Từ (1) (2) suy  A (2) 8