10 phương pháp tọa độ hóa hình học không gian

Bước Chọn hệ trục tọa Oxyz Xác định ba đường thẳng đồng quy đôi cắt sở có sẵn hình (như tam diện vng, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác …), dựa mặt phẳng vng góc dựng thêm đường phụ Bước Tọa độ hóa điểm hình khơng gian Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết kết luận toán Cơ sở tính tốn chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vng góc liệu tốn Bước Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Lập phương trình đường, mặt liên quan Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận Bước Giải toán Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải u cầu tốn hình khơng gian Chú ý cơng thức góc, khoảng cách, diện tích thể tích … C – a Hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho: A  0;0;  , B  a;0;  , C  a; a;0  , D  0; a;0  A  0;0; a  , B  a;0; a  , C   a; a; a  , D  0; a; a  b Hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A  0; 0;0  , B  a; 0;  , C  a; b;0  , D  0; b;  A  0;0; c  , B  a;0; c  , C   a; b; c  , D  0; b; c  z D' A' B' C' D B A x y C  Chú ý: Tam diện vng nửa hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy Nếu AC  a, BD  b, AA  c “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt a  b    a   b  A  0;  ;  , B  ; 0;  , C  0; ;  , D   ;0;  , 2 2         a  b    a   b  A  0;  ; c  , B   ; 0; c  , C   0; ; c  , D   ; 0; c   2        Chú ý: Với lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân B ta chọn hệ tọa độ tương tự với gốc tọa độ trung điểm AC , B  Ox, C  Oy trục Oz qua trung điểm hai cạnh AC , AC  z D' A' B' C' A x D B O C y z S a Hình chóp tam giác S.ABC Đặt AB  a , SH  h ta chọn hệ tọa độ cho O trung điểm BC , A  Ox, B  Oy a   a   a  a  Khi A  ; 0;0  , B  0; ;  , C  0;  ;0  , S  ; 0; h          x C A H y b Hình chóp từ giác S.ABCD Đặt AB  a , SH  h ta chọn hệ tọa độ cho O tâm đáy O B z S B  Ox , C  Oy , S  Oz  a   a  a  Khi đó: A  0;  ;  , B  ; 0;  , C  0; ;  , 2       A D B O  a  C D   ; 0;0  , S  0;0; h  x y    Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục ta chọn hệ trục cách khác Chẳng hạn với hình chóp tam giác ta chọn H  O , trục Oy qua H song song với BC z S Đặt SA  h a Đáy ABCD hình chữ nhật Chọn hệ trục cho A  O , B  Ox , D  Oy , S  Oz A y D B x b Đáy ABCD hình thoi Chọn hệ trục cho O tâm đáy, B  Ox , C  Oy Oz / / SA C S z A D  Chú ý: Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  B x O “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt C y   Nếu đáy ABC tam giác vng A cách chọn hệ trục hồn tồn tương tự hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Nếu đáy ABC tam giác cân B ta chọn hệ trục tọa độ hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, gốc tọa độ trung điểm cạnh AC z Đường cao SH  h tam giác SAB đường cao hình chóp Nếu tam giác ABC vng A , AB  a , AC  b ta chọn hệ trục cho A  O , B  Oy , C  Ox , Oz / / SH Khi đó: A  a;0;  , B  0; b;0  , C  0;0; c  AH  c  H  0; c,  , S  0; c, h  S H y A  Chú ý:  Nếu vuông B ta chọn B  O , vuông C , chọn C  O B C x Nếu tam giác ASB cân S , ABC cân C ta chọn H  O , C  Ox , B  Oy , S  Oz Tùy vào tốn mà thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình khơng gian tổng hợp kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải  Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC)     AB, AC  AM   d  M ;  ABC       AB, AC    Khoảng cách hai đường chéo AB, CD     AB, CD  AC   d  AB; CD      AB, CD    Góc hai đường thẳng AB, CD   AB.CD cos  AB, CD     AB CD Góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP)        ABC  có vtpt n1   AB, AC  ;  MNP  có vtpt n2   MN ; MP  Khi đó:   n1.n2 cos   ABC  ;  MNP      n1 n2 Góc đường thẳng AB mặt phẳng (MNP)      Đặt u  AB  MNP  có vtpt n   MN , MP  Khi đó:  u.n sin  AB;  MNP      u.n “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB  a , AC  a diện tích tam giác SBC A a 33 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  330 33 B a 330 11 C a 110 33 D 2a 330 33 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng  ABC  60 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA a A B a C a 10 D a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vng A B Biết AD  2a , AB  BC  SA  a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng  SCD  A h  a B h  a C h  a D h  a   1200 Các mặt Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD phẳng  SAB   SAD  vuông góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối a3 Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng  SBC  theo a a 228 a 228 5a 5a A h  B h  C h  D h  38 19 19 chóp S.ABCD Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  A h  a 21 B h  a C h  a D h  a Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB  a , AC  a 3, AB  a Gọi M trung điểm AC Khoảng cách từ M đến  ABC  A a B a C 3a D 3a Cho hình lăng trụ ABC A B C  có mặt đáy tam giác cạnh AB  2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC A theo a A 39 a 13 B 15 a C 21 a D 15 a “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA  a , M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng  SDM  với  SBC  A arctan 11 110 B arctan 110 11 C arctan 110 33 D arctan 110 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có mặt đáy tam giác đều, cạnh AA  3a Biết góc  ABC  đáy 450 Tính khoảng cách hai đường chéo AB CC  theo a A a B 3a C 3a D 3a Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB  2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G tam giác ABC , biết AA  3a Tính góc hai mặt phẳng  ABBA   ABC  A arccos B arccos C arccos D arccos 12 Cho hình lập phương ABCD ABC D có độ dài cạnh Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , BC , C D DD Tính thể tích khối tứ diện MN PQ 1 A B C D 12 24 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC AB C  có AB  a , góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  600 Gọi G GABC theo a a A trọng tâm tam giác ABC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B a C a D 7a 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , đỉnh S cách điểm A, B, C Biết AC  2a, BC  a , góc đường thẳng SB  ABC  600 Tính khoảng cách từ trung điểm M SC đến  SAB  theo a A a 39 13 B 3a 13 13 C a 39 26 D a 13 26   60 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , SA  SB  SC  a , ABC Tính khoảng cách AB SC A a 11 12 B a 11 C a 11 D 3a 11 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA  OB  OC  a , I trung điểm BC Tính góc hai đường thẳng AI OB 1 A arctan B arctan C arctan D arctan 5 “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , cạnh bên a Gọi M , N trung điểm SB CD Tính góc MN mặt phẳng  SAC  A arctan B arctan C arctan 2 D arctan Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a , cạnh bên 2a AA '  AB '  AC ' Tính giá trị tan  với  góc hai mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  ABC  A 11 B C a 11 D 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Gọi M , N trung điểm cạnh bên SA SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  DMN  A 2a 15 31 B a 31 60 C a 60 31 D 2a 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Góc SB mặt phẳng  SAC  600 Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách AM CD A a B a 2 C a D a 10 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N trung điểm AB CD Tính khoảng cách A ' B MN A a B a 2 C a D a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân AD / / BC , AD  2a , BC  CD  a Biết SA   ABCD  , SA  3a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AD A B C D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB  CA  a , cạnh bên SA   ABC  , SA  a Tính góc SA  SBC  A arctan 2 B arctan C arctan 2 D arctan Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  A 39 13 B 13 13 C 39 39 D “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A ,  ABC  60o , BC  2a Gọi D   điểm thỏa mãn 3SB  2SD Hình chiếu S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc đoạn BC cho BC  BH Biết SA tạo với đáy góc 60o Góc hai đường thẳng AD SC A 90o B 30o C 60o D 45o Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với OA  OB  OC  a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AB OM a 2a a a A B C D 3 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có tất cạnh a M điển thỏa mãn   CM   AA Cơ sin góc hai mặt phẳng  AMB   ABC  30 30 30 A B C D 16 10 Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B D  AB hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B D  AB 2a a a a A B C D 3 Cho lăng trụ ABC ABC  có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ABC a3 a3 a3 A B C D a3 12 Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông, AB  AC  a , cạnh bên AA  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM , BC a a a a A B C D Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có BB  a , góc đường thẳng BB mặt phẳng   600 Hình chiếu vng góc điểm  ABC  600 ; tam giác ABC vuông C BAC B  lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện AABC theo a 3a a3 9a3 9a A B C D 208 108 208 104 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a, AA  2a, AC  3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng AC , I giao điểm AM AC Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC A a3 B 4a3 C 5a D 4a “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a , AD  a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng  ADD1 A1   ABCD  600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  A theo a a B a C a D a Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng  ABC  , AC  AD  4cm ; AB  3cm BC  5cm Gọi M , N trung điểm cạnh BD, BC Tính khoảng cách hai đường thẳng CM AN 15 106 34 A B C D 17 53 17 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B ; AB  AD  2a; CB  a ; góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  600 Gọi I trung điểm cạnh AB Biết hai mặt phẳng  SDI   SCI  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a 3a 3 A B a 15 C 3a 15 D 8a 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA  a vng góc với  ABCD  Gọi M , N trung điểm cạnh AD, SC Gọi I giao điểm BM , AC Chứng minh  SAC  vng góc với  SMB  Tính thể tích khối tứ diện ANIB A a3 12 B a3 C a 15 D a3 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC , CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP a3 a3 a3 a3 A B C D 32 96 96 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC A a B a C a D a   1200 , SA vng góc Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân AB  AC  a, BAC với mặt phẳng đáy Hai mặt phẳng  SAB   SBC  tạo với góc 600 Gọi M , N trung điểm cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp S AMN A a3 3888 B a3 3888 C a3 1233 D a 14 24 “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA  3a, BC  4a ; mặt phẳng  SBC    300 Tính thể tích khối vng góc với mặt phẳng  ABC  Biết SB  2a SBC chóp S ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  theo a A a ; 6a B 2a 3; 6a C a 3; a D 3a 3; 6a 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B với AB  BC  a; AD  2a; A  O, B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy S thuộc Gọi E 30 tia Oz Đường thẳng SC BD tạo với góc  thỏa mãn cos   trung điểm cạnh AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCE A a B a C a D a Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Lấy điểm M thuộc đoạn AD  , điểm N  a 2 thuộc đoạn BD cho AM  DN  x ,   x   Tìm x theo a để đoạn MN ngắn    A x  a B x  a C x  a D x  a Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B  m;0;  , D  0; m;0  , A  0;0; n  với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 75 245 64 A B C D 32 108 27 “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 090.328.8866 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt ... chọn hệ trục hồn tồn tương tự hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Nếu đáy ABC tam giác cân B ta chọn hệ trục tọa độ hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, gốc tọa độ trung điểm cạnh AC z Đường... ngắn    A x  a B x  a C x  a D x  a Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B  m;0;  , D  0; m;0  , A  0;0;... theo a A a ; 6a B 2a 3; 6a C a 3; a D 3a 3; 6a 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB  BC  a; AD  2a; A  O, B thuộc