BAØI TAÄP LÖÔÏNG GIAÙC SOÁ 1 8 7 LTĐH Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A LÝ THUYẾT VẤN ĐỀ 1 HÀM ĐA THỨC I HÀM BẬC BA 1 Tìm tập xác định 2 Khảo sát sự biến thiên Tính y’ Tìm các điểm[.]
1 LTĐH Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A LÝ THUYẾT VẤN ĐỀ HÀM ĐA THỨC I HÀM BẬC BA Tìm tập xác định Khảo sát biến thiên • Tính y’ • Tìm điểm đạo hàm • Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực • Lập bảng biến thiên, nêu khoảng đơn điệu cực trị (nếu có) • Xác định điểm uốn đồ thị Vẽ đồ thị • Xác định số điểm đặc biệt(nếu có): cực trị, giao với Ox, Oy • Vẽ đồ thị MỘT SỐ GHI NHỚ 1) Hàm số có cực đại cực tiểu P = b − 3ac > a > 2) Hàm số đồng biến R ⇔ P = b − 3ac ≤ a < 3) Hàm số nghịch biến R ⇔ P = b − 3ac ≤ 4) Điểm uốn tâm đối xứng đồ thị 5) Nếu đồ thị cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng điểm uốn nằm trục hồnh 6) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Hàm số y = ax + bx + cx + d có y ' = 3ax + 2bx + c Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH Nếu y = y ' g ( x ) + (Ax+B) điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) điểm cực trị y1 = y'x1 g ( x1 ) + (Ax1 +B) y2 = y 'x2 g ( x2 ) + (Ax +B) ⇔ y1 = (Ax1 +B) y2 = (Ax +B) ( y'x = 0; y'x = ) Đường thẳng qua điểm cực trị y=Ax+B 7) Định m để phương trình: ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt( hay nói cách khác đồ thị hàm số y=ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt) Cách Đoán nghiệm f ( x1 ) f ( x2 ) < Cách ycbt ⇔ f '( x ) = co nghiem phanbiet {2 cực trị nằm phía trục hồnh} Cách • Cơ lập m dạng m = g ( x ) • Lập bảng biến thiên hs y = g ( x ) • Tìm m để đt y=m cắt đt hàm số y = g ( x ) điểm phân biệt 8) Định m để phương trình: ax + bx + cx + d = có nghiệm dương phân biệt( hay nói cách khác đồ thị hàm số y=ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương) PHƯƠNG PHÁP Cách Đốn nghiệm PTHĐGĐ ax3 + bx + cx + d = (*) Nếu x = x0 ( x0 > ) nghiệm PTHĐGĐ ( *) ⇔ ( x − x0 ) ( mx + nx + p ) = ycbt ⇔ pt g ( x) = mx + nx + p = có nghiệm dương phân biệt khác x0 ∆ > S > ⇔ P > g ( x0 ) ≠ Cách Xét hệ số a dương hay âm Giả sử a>0 f '( x ) = co nghiem phanbiet x1 < x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < ycbt ⇔ x1 > f ( 0) < ( ) VÍ DỤ Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m x − cắt trục hồnh điểm phân biệt VÍ DỤ 10 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + ( 2m + 1) x − m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương Hdẫn x = nghiệm PTHĐGĐ II HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx + c ( a ≠ ) y ' = 4ax + 2bx Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH x = y' = ⇔ x = − b 2a Nếu ab ≥ hàm số có cực trị x=0 Nếu ab < hàm số có cực trị VÍ DỤ 11 Cho hs y = mx + ( m − 1) x + ( − 2m ) a) Khảo sát, vẽ đt m=1/2 b) Tìm m để đt hs có cực trị ax + b VẤN ĐỀ 2- HÀM HỮU TỈ y = cx + d ad − bc d • Tập xác định D = R \ - y ' = (cx + d )2 c a • Nhận đường thẳng y = tiệm cận ngang c d • Nhận đường thẳng x = − tiệm cận đứng c • Nhận giao điểm tiệm cận tâm đối xứng • Tìm giao điểm với trục toạ độ 2x − VÍ DỤ 12 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x +1 VẤN ĐỀ 3- PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ Cho hàm số y=f(x) có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến với ( C ) M ( x0 ; y0 )∈ ( C ) ( y − y0 = f '( x0 ) x − x0 ) Hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) M ( x0 ; y0 )∈ ( C ) k = f '( x0 ) Đường thẳng dạng y=a.x+b có hệ số góc a Hai đường thẳng song song có hệ số góc Hai đường thẳng vng góc có tích hệ số góc -1 Điều kiện tiếp xúc đồ thị • đồ thị ( C1 ) ( C ) tiếp xúc • f ( x) = g ( x) hệ pt có nghiệm f '( x ) = g '( x ) đồ thị ( C1 ) ( C ) tiếp xúc pt f ( x ) = g ( x ) có nghiệm kép * CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ Cho hàm số y = 3x + ( C) 2x + a) Khảo sát vẽ ( C ) b)Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ 2x + VÍ DỤ Cho hàm số y = ( C) 1− x a) Khảo sát vẽ ( C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc VÍ DỤ Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến qua A(0; 2) Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH 2mx + ( Cm ) x−m a) Khảo sát vẽ đồ thị m=1 b) Gọi I giao tiệm cận ( Cm ) Tìm m để tiếp tuyến hàm số cắt tiệm cận A, B: S∆IAB = 64 VÍ DỤ Xác định m để đồ thị hàm số y = x3 − x − ( m − 1) x + m tiếp xúc với trục hồnh VÍ DỤ Cho hàm số y = x − 2mx − m3 − m ( Cm ) a) Khảo sát vẽ đồ thị m=1 b) Xác định m để đồ thị hàm số ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành điểm phân biệt VÍ DỤ Cho hàm số y = VẤN ĐỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) hàm số y = g ( x ) có đồ thị ( C ) 1)Số giao điểm ( C1 ) ( C ) số nghiệm pt: f ( x ) = g ( x ) , ngược lại số nghiệm pt: f ( x ) = g ( x ) số giao điểm đồ thị ( C1 ) ( C ) 2) Phương trình f ( x ) = g ( x ) gọi phương trình hồnh độ giao điểm VÍ DỤ Cho hàm số y = x3 − x + x ( C ) a) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) b) dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 − x + x − m + = c) Tìm tất đường thẳng qua điểm M(4; 4) cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt VÍ DỤ Cho hàm số y = − x3 + x + ( C ) d) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) e) Dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 + 3(m − x) − = VÍ DỤ Cho hàm số y = − x3 + x − ( C ) a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng y=mx-2 cắt (C ) điểm phân biệt VẤN ĐỀ CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ VÍ DỤ 12 Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx + x + có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ VÍ DỤ 13 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2m − x + m − x + − m có cặp ( ) ( ) điểm đối xứng qua gốc toạ độ Giải Gọi điểm cần tìm A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; y B ) Ta có x A + x B = y A + y B = ( )( ) ( ) x 3A + xB3 − 2m − x 2A + x B2 + m − ( x A + x B ) + − 2m = m3 − ⇔ x A xB = 6m − - B BÀI TẬP Bài Cho hàm số y = x( x − 3) ( C) Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tiếp tuyến với ( C ) gốc toạ độ cắt ( C ) A ( A ≠ O ) , tìm toạ độ điểm A Bài Cho hàm số y = x3 − x + a) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vng góc với đt d: y = − x + c) Tìm tất tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến qua A(1; -1) Bài Cho hàm số y = x3 − x a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm đường thẳng y=2 điểm từ kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C ) x+2 Bài Cho hàm số y = x −1 a) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết pt tiếp tuyến với (C ) giao điểm đồ thị với trục tung x +1 Bài Cho hàm số y = x −1 a) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết pt tiếp tuyến với (C ) điểm có tung độ c) Tìm m để đường thẳng y = m − x cắt (C ) điểm phân biệt Bài Cho hàm số y = x3 + mx + 1( Cm ) Xác định m để ( Cm ) cát đường thẳng y=1-x điểm phân biệt A(0; 1), 10 B, C cho tiếp tuyến với ( Cm ) B, C vng góc Bài Cho hàm số y = x3 − 12 x + 12 a) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm đường thẳng y=-4 điểm từ kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C ) x −3 Bài Cho hàm số y = x−2 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d: y=mx+1 cắt ( C ) điểm phân biệt Bài Cho hàm số y = x + (2m − 2) x + m − 5m + ( Cm ) a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số m=1 b) Tìm tất giá trị m để đồ thị ( Cm ) cắt trục 5− ) Bài 10 Cho hàm số y = x − 3mx + ( 2m − 1) x + a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C ) hàm số m=1 b) Tìm m để hàm số đồng biến R Bài 11 Cho hàm số y = x − ( m + ) x + ( m + 1) x − 3m − 12 hoành điểm phân biệt (ĐS: < m < Tìm m để đồ thị ( C m ) cắt trục hoành điểm phân biệtcó hồnh độ x1 , x2 , x3 thoả: x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 > 53 Bài 12 Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 11 LTĐH b) Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị c) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị điểm phân biệt A, B, C cho x A = ; BC = 2 Bài 13 Cho hàm số y = x − 3mx + ( m + ) x + ( C m ) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m=-2 b) Tìm m để điểm A(3; 5) nằm đường thẳng nối điểm cực trị ( C m ) Bài 14 Cho hàm số y = x − 6mx + Tìm m để đường thẳng d: y=-x+1 cắt đồ thị hàm số điểm A(0; 1), B, C cho x B2 + xC2 = Bài 15 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − ( C m ) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m= b) Tìm m để ( C m ) có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Bài 16 Cho hàm số y = x + x + m ( C m ) Tìm m để hàm số có cực trị A, B cho ·AOB = 1200 Bài 17 Cho hàm số ( ) ( ) y = x − 3mx + m − x − m − ( C m ) Tìm m để hàm số cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương Bài 18 Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O 12 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Bài 19 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Bài 20 Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 x2 thỏa x1 = - 4x2 Bài 21 Cho hàm số y=f(x)= mx + 3mx − (m − 1) x − 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hs m=1 Xác định giá trị m để hs khơng có cực trị Bài 22 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x − x +1 Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) N(- 1; - 1) 2x − có đồ thị (C ) Tìm m để đt x +1 d: y=x+m cắt (C ) điểm phân biệt A, B : AB = 2 Bài 23 Cho hàm số y = 2x ( C) x−2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B: AB = OA Bài 24 Cho hàm số y = Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com 13 LTĐH 14 HƯỚNG DẪN VÍ DỤ Xác định m để đồ thị hàm số y = x3 − x − ( m − 1) x + m tiếp xúc với trục hoành Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/192 VÍ DỤ Cho hàm số y = x3 − x + x ( C ) f) khảo sát, vẽ đồ thị (C ) g) Tìm tất đường thẳng qua điểm M(4; 4) cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/190 VÍ DỤ Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m x − cắt ( ) trục hoành điểm phân biệt Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/127 VÍ DỤ 10 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + ( 2m + 1) x − m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/128 VÍ DỤ 11 Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx + x + có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/243 Bài Cho hàm số y = x3 − x + Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 15 LTĐH Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/200 Bài Cho hàm số y = x3 − x Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/201 KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG I Bài 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a) y = x − x b) y = x − x + [-2; 3] c) y = sin x + sin x + sin x + Bài Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + (Cm ) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hs m=2 Tìm toạ độ giao điểm (C ) parabol (P): y = x2 + Lập phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm có tung độ -4 Tìm m để đồ thị (Cm ) cắt đường thẳng d: y=x-1 điểm A(0;1), B, C cho BC=4 Tìm m để đồ thị (Cm ) có cực đại cực tiểu 69 (CĐ KT Y tế I 2006) Ta coù: 42n C 02n + C12n 31 + C 22n 32 = (1 −1 2n−1 2n + + C 2n + C 2n 2n 2n + 3)2n = 16 22n C 02n − C12n 31 + C 22n 32 = (1 −1 2n−1 2n − − C 2n + C 2n 2n 2n ( 2n 42n + 22n = C 02n + C 22n 32 + + C 2n 2n ⇒ ⇒ + = 2.2 (2 + 1) ⇒ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = ⇒ 22n = 216 ⇒ n = 70 (CÑ Xây dựng số 2006) Theo khai triển nhị thức Newton ta coù: (a + b)n = Cn0an + C1nan−1b + + Cnnbn • Với a = 3, b = – ⇒ 2n = 2n Cn0 3n 2n 15 3)2n – = ) 16 (3 – 1)n = − C1n 3n−1 + + (−1)nCnn • Với a = 1, b = ⇒ 2n = (1 + 1)n = Cn0 + C1n + + Cnn Vaäy: Cn0 3n − C1n 3n−1 + + (−1)nCnn = Cn0 + C1n + + Cnn 71 (CÑ KT Y tế 2005) ĐK: x ∈ N, x ≥ (x + 1)! x! +3 − 20 < BPT ⇔ 2!(x − 1)! (x − 2)! ⇔ x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < ⇔ 2x2 – x – 10 < ⇔ – < x< Kết hợp điều kiện ⇒ x = 72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) k Số hạng tổng quát: C15 (−1)k x45− 2k yk 45 − 2k = 29 ⇒ ⇔k = k = 8 Vậy hệ số x29y8 là: C15 = 6435 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x) n là: Tk+1 Ckn(−2)k xk Từ ñoù ta coù: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ ⇔ ⇔ n(n − 1) 1− 2n + = 71 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com n ∈ N, n ≥ ⇔ n = n + 2n − 35 = = 17 LTĐH ... KSHS- TRẦN VĂN HẠO/243 Bài Cho hàm số y = x3 − x + Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com 15 LTĐH Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/200 Bài Cho hàm số y = x3 − x Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/201 KIỂM TRA. .. 6435 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x) n là: Tk+1 Ckn(−2)k xk Từ ta có: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ ⇔ ⇔ n(n − 1) 1− 2n + = 71 ... sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x − x +1 Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M (- 3;0) N (- 1; - 1) 2x − có đồ thị (C ) Tìm m để đt x +1 d: y=x+m cắt (C ) điểm phân biệt A, B : AB = 2