chuyen de 17,18 hinh hoc

418 Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 17: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1/ Vị trí điểm đường thẳng - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A Ỵ a - Điểm B khơng thuộc đường thẳng a , kí hiệu B Ï a 2/ Ba điểm thẳng hàng chúng thuộc đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng chúng khơng thuộc đường thẳng 3/ Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm lại 4/ Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng 5/ Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiều (4,5, 6, ) điểm thẳng hàng II ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM 1/ Có đường thẳng có đường thẳng qua hai điểm A B 2/ Có ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng chữ in thường: ví dụ a - Dùng hai chữ in thường: ví dụ xy - Dùng hai chữ in hoa: ví dụ AB 3/ Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song) - Hoặc có điểm chung (gọi đường thẳng cắt nhau) 4/ Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung 5/ Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm đường thẳng chứng minh đường thẳng lại qua giao điểm III TIA 1/ Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O 2/ Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối 3/ Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A, O, B thẳng hàng - Nếu OA OB đối gốc O nằm A B - Ngược lại O nằm A B thì: + Hai tia OA, OB đối + Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng IV ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG 1/ Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm A B Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com 2/ Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương 3/ AB = CD Û AB CD có độ dài AB < CD Û AB ngắn CD AB > CD Û AB dài CD 4/ Điểm nằm hai điểm: Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB ¹ AB điểm M khơng nằm A B Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB V VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI 1/ Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a (đơn vị dài) 2/ Trên tia Ox , OM = a, ON = b , < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N 3/ Trên tia Ox có điểm M , N , P ; OM = a; ON = b; OP = c ; < a < b < c hay OM< ON < OP điểm N nằm hai điểm M P VI TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 1/ Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng AB MA = MB = 2/ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB AB MA = M trung điểm 3/ Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB AB 4/ Mỗi đoạn thẳng có trung điểm VII TAM GIÁC Định nghĩa Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC , AC ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Kí hiệu ∆ABC Các yếu tố tam giác Tam giác ABC có: + Ba đỉnh là: A, B, C + Ba cạnh là: AB, BC , AC · · · + Ba góc ABC , BAC , ACB 3/ Để vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh cho trước, ta làm sau: Bước Vẽ đoạn thẳng AB có độ dài cạnh cho trước; Bước Vẽ đỉnh C (thứ ba) giao điểm hai cung tròn có tâm hai đỉnh A B vẽ bán kính độ dài hai cạnh lại B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI HSG DẠNG 1: BÀI TỐN TRỒNG CÂY THẲNG HÀNG - Các thẳng hàng nằm đường thẳng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com - Giao điểm hai hay nhiều đường thẳng vị trí thỏa mãn tốn Bài tập Có 10 cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Có cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 thành hàng, hàng (Giải cách) Hướng dẫn Cách Cách Cách Liên hệ tài 039.373.2038 liệu Cách word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Bài tập Có cột, có 12 võng Hãy vẽ sơ đồ dựng cột để căng 12 võng mà võng không chồng chéo Hướng dẫn giải DẠNG 2: ĐẾM SỐ ĐOẠN THẲNG (ĐƯỜNG THẲNG) TẠO THÀNH TỪ CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC Cho biết có n điểm (n ∈ N n ≥ 2) Kẻ từ điểm với n −1điểm lại n −1 đoạn thẳng (đường thẳng) n ( n − 1) Làm với n điểm nên có đoạn thẳng (đường thẳng) Nhưng đoạn thẳng (đường thẳng) tính lần n ( n − 1) : Do số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ đoạn thẳng (đường thẳng) Bài tập Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, khơng có ba điểm thẳng hàng Kẻ đường thẳng qua cặp điểm Có đường thẳng tất ? Đó đường thẳng nào? Hướng dẫn giải Kẻ từ điểm với điểm lại (đường thẳng) Làm với điểm nên có 4.5 = 20 (đường thẳng) Nhưng đoạn thẳng (đường thẳng) tính lần Do số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ 10 (đường thẳng) Đó đường thẳng: MN; MP; MQ; MR; NP; NQ; NR; PQ; PR; QR Bài tập Vẽ bốn đường thẳng đôi cắt Số giao điểm ( hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) ? Hướng dẫn Khi vẽ bốn đường thẳng xảy trường hợp sau : a) Bốn đường thẳng đồng quy : có điểm chung ( H.a) b) Có ba đường thẳng đồng quy, đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng : có điểm ( H.b) c) Khơng có ba đường thẳng đồng quy (đơi cắt nhau) : có điểm ( H.c) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com a) b) c) Hình Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? Hướng dẫn Bài tốn địi hỏi phải xét đủ trường hợp: Hình a) Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H4a) b) Có ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4b) - Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4c) b) Khơng có ba đường thẳng đồng quy Hình - Bốn đường thẳng song song: giao điểm (H5a) - Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H5b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com - Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5c) - Có cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5d,e) - Không có hai đường thẳng song song: giao điểm (H5g) Bài tập 5: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n ? Hướng dẫn giải Cho biết có n điểm (n ∈ N n ≥ 2) Kẻ từ điểm với n −1điểm lại n −1 đoạn thẳng (đường thẳng) n ( n − 1) Làm với n điểm nên có đoạn thẳng (đường thẳng) Nhưng đoạn thẳng (đường thẳng) tính lần n ( n − 1) : Do số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ đoạn thẳng (đường thẳng) n ( n − 1) = 105 ⇒ n ( n − 1) = 210 = 15.14 ⇒ n = 15 Do Bài tập 6: Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng Hướng dẫn giải +) Qua 20 20.19 = 190 +) Qua a điểm phân biệt mà khơng có ba điểm thẳng hàng, ta vẽ (đường thẳng) điểm thẳng hàng, ta vẽ đường thẳng Nếu a điểm a ( a − 1) không thẳng hàng vẽ a ( a − 1) Số đường thẳng giảm Vậy vẽ tất (đường thẳng) −1 (đường thẳng)  a ( a − 1)  a ( a − 1) 190 −  − 1 = 170 ⇒ − = 20 ⇒ a ( a − 1) = 42 = 7.6 ⇒ a =   Vậy số đường thẳng trùng Bài tập a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta kẻ đường thẳng Có đường thẳng? b) Cũng hỏi với điểm,10 điểm? Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Hướng dẫn giải a) Có điểm khơng có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng tạo ( − 1) =6 thành là: (đường thẳng) b) Có điểm khơng có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng tạo ( − 1) = 10 thành là: (đường thẳng) Có 10 điểm khơng có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng tạo 10 ( 10 − 1) = 45 thành là: (đường thẳng) Bài tập 25 a) Có điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ tất đường thẳng? n∈ N n≥2 n 25 Nếu thay điểm điểm ( ) số đường thẳng bao nhiêu? 25 b) Cho điểm có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ tất đường thẳng? m∈N m c) Cho điểm ( ) khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua 120 hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết tất có đường thẳng Tìm m Hướng dẫn 24 a) Kể từ điểm với điểm lại vẽ đường thẳng 25 24.25 = 600 Làm với điểm nên có đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần 600 : = 300 Do số đường thẳng thực có là: đường thẳng n.( n −1) : n Lập luận tương tự có điểm có: (đường thẳng) 25 b) Nếu điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường 300 thẳng vẽ đường thẳng (câu a) 87 : = 28 Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được: đường thẳng Cịn điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng Do số 28− 1= 27 đường thẳng bị giảm là: (đường thẳng) 300− 27 = 273 Số đường thẳng cần tìm là: đường thẳng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com m ( m − 1) : = 120 ⇔ m ( m − 1) = 120.2 c) Ta có: ⇔ m ( m − 1) = 240 ⇔ m ( m − 1) = 16.15 ⇒ m = 15 Bài tập 31 a) Cho đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm có m∈ N m đường thẳng ( ) hai đường thẳng b) Cho cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết số 190 m giao điểm đường thẳng Tính Hướng dẫn 30 30 a) Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng lại tạo thành giao điểm Có 3031 = 930 31 đường thẳng nên có giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: 930 : = 465 (giao điểm) n≥2 n n∈ N 31 Nếu thay ( ) số giao điểm có là: n ( n −1) : b) (giao điểm) m ( m − 1) : = 190 ⇔ m(m − 1) = 380 ⇔ m(m − 1) = 20.19 Vậy m = 20 Bài tập 10 Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi tất có đoạn thẳng? Hướng dẫn Chọn điểm Nối điểm với điểm điểm cịn lại, ta vẽ đoạn thẳng Làm lần (vì có điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có 20 : = 10 đoạn thẳng Bài tập 11: Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com – Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng : + Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm lại ta vẽ 29 đường thẳng + Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng + Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế ( 29.30 ) : = 435 vẽ đường thẳng Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng – Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm a ( a − 1) : thẳng hàng ta vẽ đường thẳng Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm a ( a − 1) : − Theo ta có : đường thẳng a ( a − 1) : − = 435 − 421 = 14 ⇒ a ( a − 1) = 30 = 6.5 Vì a-1 a hai số tự nhiên liên tiếp a − < a nên a = Bài tập 12: Cho 100 điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Có tất đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm cịn lại, ta vẽ 99 đường thẳng - Làm với 100 điểm ta 99.100 đường thẳng - Nếu đường thẳng tính lần Nên số đường thẳng là: 99.100:2 = 4950 đường thẳng Bài tập 13: Cho 1000 điểm phân biệt, có điểm thẳng hàng Hỏi có đường thẳng tạo hai 1000 điểm đó? Hướng dẫn giải 1000.999 Số đường thẳng tạo 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng 3.2 =3 Số đường thẳn tạo điểm không thẳng hàng là: đường thẳng Theo có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm là: – = đường thẳng 1000.999 − = 499498 Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) Bài tập 14: Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng? Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Nếu 20 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ 20.( 20 − 1) = 190 (Đường thẳng) Trong điểm khơng có ba điểm thẳng hàng tạo thành 7.( − 1) = 21 (Đường thẳng) Vì điểm thẳng hàng tạo thành đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - = 20 (Đường thẳng) Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng) Bài tập 15: Trên tia Ox vẽ điểm M 1;M2;M3 Nếu mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm điểm M4; M5; M6; ; M101; M102 Trong điểm M1; M2; M3; M4; ; M101; M102 có điểm thẳng hàng qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Có tất đường thẳng thế? Tại sao? Hướng dẫn giải 102 +) Qua điểm phân biệt mà khơng có ba điểm thẳng hàng, ta vẽ 102.101 = 5151 +) Qua (đường thẳng) điểm thẳng hàng, ta vẽ điểm khơng thẳng hàng vẽ Số đường thẳng giảm −1 = 5151 − = 5149 Vậy vẽ tất đường thẳng Nếu 3.2 =3 (đường thẳng) (đường thẳng) (đường thẳng) 2019 Bài tập 16: Cho điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ đường thẳng? 2019 điểm vẽ tất Hướng dẫn giải 2019 +) Qua điểm phân biệt mà khơng có ba điểm thẳng hàng, ta vẽ 2019.2018 = 037171 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word (đường thẳng) toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com 1 ⇒ xƠt = tƠy = xƠy = 700= 350 Vì Ox Ox’ đối ⇒ Ot Ot’ nằm Ox Ox’ ⇒ xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800 ⇒ tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900 xƠt’ t’Ơx’ góc kề bù ⇒ xƠt’ + t’Ôx’ = 1800 ⇒ xÔt’ = 1800 – 550 = 1250 Bài tập 2: Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c)* Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với tia OA; OB; OC; OD cho) có tất góc? Hướng dẫn a) Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: · AOB + · BOC · BOC mà Do đó: · AOB =5 B =1800 · AOB nên: = 180 : = 30 ; 0 · AOB · BOC = 1800 Vì góc góc · DOA · DOC A C O = 300 = 1500 b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên · DOA D · BOD hai góc kề bù nên: = · DOC · DOA + = · DOC · BOC = 750 =1800 · DOC Do =180 = 1800- 750 = 1050 c) Tất có n + tia phân biệt Cứ tia n+4 tia tạo với n+4 1= n+3 tia cịn lại thành n+3 góc Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất · xOy ·yOz · xOy = 620 Bài tập 3: Cho hai góc kề bù Biết phân giác góc xOy; On tia phân giác góc yOz a/ Tính số đo góc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu · xOm word ·yOn · mOy toán ; zalo: (n + 4)(n + 3) góc Om tia · nOz TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com b/ Tính số đo góc c/ Tính số đo góc Hướng dẫn a/ Ta có : · mOz · mOn Rồi rút nhận xét · xOy + ·yOz = 1800 Vì Om phân giác · xOn · xOy ( kề bù ) · ⇒ ·yOz = 1800 − xOy = 1800 − 620 = 1180 nên ta có · xOy 620 ·xOm = mOy · = = = 310 2 Vì On phân giác ·yOz nên ta có ·yOz 1180 ·yOn = nOz · = = = 590 2 b/ Vì · xOy ·yOz hai góc kề bù Om phân giác ·yOz On phân giác nên tia Oy nằm gữa tia Om Oz ; Ox On ; Om On + Oy Nằm Om Oz Ta có · xOy · · · mOy + ·yOz = mOz ⇒ mOz = 310 + 1180 = 1490 + Oy nằm Ox On Ta có · · · xOy + ·yOn = xOn ⇒ xOn = 620 + 590 = 1210 c/ Vì Oy nằm Om On nên ta có · · · mOy + ·yOn = mOn ⇒ mOn = 310 + 590 = 900 Nhận xét : Hai tia phân giác hai góc kề bù tạo thành góc vng ·AOB = 1100 OM , ON OC Bài tập 4: Cho góc , tia nằm góc Gọi theo thứ · AOC , BOC MON tự tia phân giác góc Tính ? Hướng dẫn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com ·AOC COB · · · · AOC + COB AOB 1100 · · · MON = MOC + CON = + = = = = 550 2 2 ·AOB = 1000 OC Bài tập 5: Cho góc tia phân giác góc Trong góc ·AOB ·AOD = BOE · OA, OE = 200 OC vẽ tia cho Chứng tỏ tia tia · DOE phân giác góc Hướng dẫn · · COD = COE = 300 Chứng tỏ xOy xOy Om xOm Bài tập 6: Cho góc tù Bên góc , vẽ tia cho góc yOn 900 900 On vẽ tia cho góc yOm xOn a) Chứng minh góc góc xOy Ot Ot b) Gọi tia phân giác góc Chứng minh tia phân mOn giác góc Hướng dẫn a) Lập luận được: · · · · · 900 + mOy = xOy xOm + mOy = xOy hay ·yOn + nOx · · · · · 900 + nOx = xOy Þ xOn = ·yOm = xOy hay · = tOy · xOt b) Lập luận được: · = xOn · · xOt + nOt · = ·yOm + mOt · tOy · = mOt · Þ nOt Þ Ot mOn tia phân giác góc xx ¢ O Bài tập 7: Trên đường thẳng lấy điểm Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx ¢ liệu tia Oy, Ot , Oz x ¢Oy = 400 ; xOt = 970 ; xOz = 540 cho góc Oy Ot Oz a) Chứng minh tia nằm hai tia Liên hệ tài 039.373.2038 vẽ word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com b) Chứng minh tia Hướng dẫn Ot a) Theo đề ta có x ÂOy = 400 ị gúc x ÂOx = 1800 mà góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Oy x ¢Oy Suy góc góc xOt < yOx góc kề bù Mà góc xOy hay tia Ot nằm xOz < xOt Oz Ot góc hay tia nằm hai tia Oy Ox Ot Oz Vậy tia nằm hai tia Oy Þ Ot Oz zOt + b) Theo câu a) ta có tia nằm hai tia Góc góc tOy = zOy góc Oy Ot Ox Vì tia nằm hai tia tOy = xOy Þ xOt + Góc góc góc hai tia Ox tia phân giác góc zOy Lại có: góc tOy = 430 xOt = 970 zOt = 430 xOt = 970 Hay góc (vì góc góc Oz Ox Ot Vì tia nằm hai tia xOz + zOt = xOt => Góc góc góc Hay góc Suy góc Vậy tia tOy = (vì góc góc zOt = 430 xOy = 540 xOy = 540 ) ) zOy Ot tia phân giác góc Ox Ox Bài tập 8: Cho tia Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Vẽ hai tia Oy xOy 120 Oz xOz cho góc Chứng minh rằng: xOy = yOz xOz = a) Góc góc góc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com b) Tia đối tia Hướng dẫn x ¢Oy = 600 a) Ta có: góc nên góc Ox, Oy, Oz , góc yOz = yOx ¢+ x ¢Oz = 1200 Vậy góc xOy = x ¢Oz = 600 tia Ox ¢ nằm hai tia Oy, Oz yOz góc Oy, Oz x ¢Oy = x ¢Oz Ox ¢ góc nên tia Oy, Oz Oy ¢ Oy phân giác góc hợp hai tia Tương tự tia (tia đối ) tia xOy Oz ¢ Oz xOz (tia đối tia ) phân giác góc b) Do tia Ox ¢ xOz = góc phân giác góc hợp hai tia lại nằm hai tia góc AOB = 1350 C AOB Bài tập 9: Cho góc , điểm nằm góc biết góc BOC = 900 AOC a) Tính góc OD OC AOD BOD b) Gọi tia đối tia So sánh hai góc Hướng dẫn C AOB a) Theo giả thiết nằm góc nên tia OC OB OA nằm hai tia Þ AOC + BOC = AOB góc góc góc Þ AOC = AOB BOC Þ góc góc góc góc AOC = 1350 - 900 = 450 b) Vì OD tia đối tia hàng Do góc Þ góc DOA + Góc nên AOC =1800 góc AOD = 1800 - OC góc C , O, D thẳng (hai góc kề bù) AOC = 1800 - 450 = 1350 BOD = 180 - 90 = 900 Vậy góc Liên hệ tài 039.373.2038 AOD > liệu góc BOD word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Bài tập 10: Cho tam giác CM = 3cm cho BM a) Tính độ dài ABC BC = 5cm BAM = 800 Điểm M thuộc tia đối tia CB BAC = 600 CAM b) Cho biết góc , góc Tính góc Ax, Ay BAC CAM c) Vẽ tia tia phân giác góc Tính xAy góc CK = 1cm K BM BK d) Lấy thuộc đoạn thẳng Tính độ dài Hướng dẫn M,B CB CM a) thuộc tia đối Þ C B M nằm Þ BM = BC + CM = 8(cm) b) C nằm B, M AB, AM AC => Tia nằm tia · · · Þ CAM = BAM - BAC = 200 c) Có d) - Nếu 1· 1· · 1· · = xAC · · · xAy + CAy = BAC + CAM = ( BAC + CAM ) = BAM = 800 = 400 2 2 KỴ KỴ tia CM Þ C nằm CB Þ K B B K1 Þ BK1 = BC + CK1 = 6(cm) C Þ BK = BC = CK = 4(cm) - Nếu tia nằm Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = cm; tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = cm; OB = cm a) Chứng tỏ: Điểm M nằm hai điểm O B; Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB b) Từ O kẻ hai tia Ot Oz cho tOy = 1300, zOy = 300 Tính số t đo tOz Hướng dẫn z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu x word toán A zalo: O M y B z' TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com a) Trên tia Oy ta có OM = cm < OB = cm Vậy M điểm nằm O B Do M nằm O B ta có OM + MB = OB => MB = OB – OM = – = Do A thuộc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm hai điểm A M => OM + OA = MA => MA = + = cm Mặt khác A, B nằm hai tia đối nhau, M lại nằm O B => M nằm A B Vậy M trung điểm AB b) TH1: Tia Ot tia Oz mặt phẳng · · yOt yOz Do = 103 , = 300 suy tia Oz nằm hai tia Ot Oy · · · tOy yOz tOz Ta có = – = 1300 – 300 = 1000 TH2: Tia Ot tia Oz không nằm mặt phẳng bờ xy => tia Oy nằm hai tia Ot Oz · · · tOy yOz tOz Ta có = + = 1300 + 300 = 1600 Bài tập 12: Cho xAy, tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm, C điểm tia Ay a) Tính BD · · · BCD = 850 , BCA = 500 TínhACD b) Biết c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Hướng dẫn y C D B A x a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com ⇒ A nằm D B ⇒ BD = BA + AD = + = (cm) · · · BCD BCA ACD b) Biết = 850, = 500 Tính Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD · · · ACD BCA BCD => + = · · · ACD BCD BCA => = = 850 - 500 = 350 c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận K nằm A B ⇒ - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = – = (cm) * Trường hợp 2: K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B ⇒ - Suy ra: KB = KA + AB KB = + = (cm) * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm Bài tập 13: Cho góc xBy = 550.Trên tia Bx, By lấy điểm A, C (A ≠ ≠ B, C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz Hướng dẫn TH1 TH2 a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C: AC= AD + CD = 4+3 = cm b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC Ta có đẳng thức: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com · · · · · · ABC = ABD + DBC => DBC = ABC − ABD = 55o − 30o = 25o c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD · · ABz = 90o − ABD = 90o − 30o = 60o Tính - Trường hợp 2:Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA · · ABz = 90o + ABD = 90 o + 30o = 120o Tính x'x Bài tập 14: Trên đường thẳng lấy điểm nửa mặt phẳng có bờ a) Trong ba tia Ox, Oy , Oz x'x O tuỳ ý Vẽ hai tia cho: · xOz Oy Oz nằm · x· ' Oy = 3.xOz = 40 , tia nằm hai tia lại ? Oz ' b) Gọi tia phân giác góc Hướng dẫn z, x· ' Oy Tính góc ·zOz ' ? y z x, x 400 O a) Theo ra: Hai góc · xOy x· ' Oy · xOy = x· ' Oy · xOz nên: x· ' Oy = 3.400 = 1200 góc kề bù nên x· ' Oy = 1800 = 1800 -1200 = 600 Hai tia Oy, Oz nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x lại có Ta có: Hay · xOz nhỏ · xOz · zOy Liên hệ tài 039.373.2038 · xOy = + · zOy · xOy liệu = -∠ word nên tia Oz nằm tia Ox Oy · xOy · xOz = 600 - 400 = 200 toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Mà ·yOz ' = ·zOz ' x· ' Oy ·yOz ' = 120 = 60 (Oz tia phân giác 0 , x· ' Oy ) ·yOz Vậy: = + = 600 + 200 = 800 Bài tập 15: Cho tam giác ABC có BC = 6cm Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD 3cm a) Tính độ dài đoạn thẳng CD b) Gọi M trung điểm CD Tính độ dài đoạn thẳng BM c) Biết góc DAC = 120O Vẽ Ax Ay tia phân giác góc BAC góc BAD Tính số đo góc xAy d) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB không chứa điểm D, vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với tia AB, AC, Ax có tất góc đỉnh A tạo thành? Hướng dẫn a) Vì điểm D thuộc tia đối tia BC nên điểm B nằm hai điểm C D, ta có: CD = BC+ BD = 6+3 = (cm) b) Vì M trung điểm đoạn CD nên CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm) CM < CB nên điểm M nằm hai điểm C B ⇒ Ta có: BC= BM + CM BM = BC- CM= – 4,5 =1,5 (cm) 1· · xAB = BAC c) Vì Ax tia phân giác góc BAC nên ·yAB = BAD · Vì Ay tia phân giác góc BAD nên Vì điểm B nằm hai điểm C D nên tia AB nằm hai tia AC AD · · · ⇒ BAC + BAD DAC = =1200 Vì Ax tia phân giác góc BAC, Ay tia phân giác góc BAD => tia AB nằm hai tia Ax, Ay 1· 1· · 1· · · · · xAy = xAB + BAy = BAC + BAD = = ( BAC + BAD ) = DAC = 600 ⇒ 2 2 d) Ta có n + tia gốc A phân biệt (kể tia AB, AC, Ax) Mỗi tia n + tia hợp với n + tia cịn lại góc Có n + tia nên có tất (n + 3)(n + 2) góc Tính góc tính hai lần nên có tất (n + 3)(n + 2): góc đỉnh A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Bài tập 16: Vẽ hai góc kề bù xOy zOy Vẽ tia Om tia On theo thứ tự tia phân giác góc xOy góc zOy Vẽ tia Om' tia đối tia Om a) Tính số đo góc mOn · 'Oz = 300 m b) Tính số đo góc kề bù với góc yOm, biết Hướng dẫn · · · · xOy zOy xOy zOy a) Vì kề bù với nên: + = 1800 · xOy Vì tia Om tia phân giác nên: 1· · mOy = xOy Vì tia On tia phân giác 1· · nOy = zOy Vì · xOy · zOy nên: · zOy kề bù với nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz mà tia Om tia · · xOy zOy phân giác tia On tia phân giác nên tia Oy nằm hai tia Om On, đó: · · · mOy yOn mOn + = 1· 1· xOy zOy · ⇔ mOn + = · · xOy + zOy · ⇔ mOn = 1800 · ⇔ mOn = · ⇔ mOn = 900 · 'Oz · m zOm b) Vì hai tia Om Om' đối nhau, kề bù với · 'Oz · ⇒ m zOm + = 1800 · ⇔ zOm 30 + = 1800 · ⇔ zOm = 1500 ( Liên hệ tài 039.373.2038 ) liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com · zOm · mOx Vì hai tia Ox Oz đối nhau, kề bù với · · ⇒ zOm mOx + = 1800 · ⇔ mOx 1500 + = 1800 · ⇔ mOx = 300 · · · xOy mOy = mOx Vì tia Om tia phân giác nên: = 300 · · yOm yOm ' Vì hai tia Om Om' đối nhau, kề bù với · · yOm ' ⇒ yOm + = 1800 · yOm ' ⇔ 30 + = 1800 · yOm ' ⇔ = 1500 Bài tập 17: Cho góc xOy Vẽ tia Oz tia phân giác góc xOy Vẽ tia Ot tia phân giác góc xOz Vẽ tia Om tia phân giác góc xOt a) Giả sử góc xOm = 120 Hãy tính số đo góc xOy ? b) Tính giá trị lớn góc xOm ? Hướng dẫn a) Tính được: xOy = 8.xOm = 8.120 = 960 b)Vì xOy = 8.xOm , nên xOm có giá trị lớn ⇒ xOy = 1800 xOm = 22,50 Bài tập 18: Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm, AC= 2cm a) Tính BC · OAB = 80o · OAC b) Giả sử cho , tính c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C) Hỏi có góc có đỉnh O cạnh qua điểm thuộc đường thẳng d Hướng dẫn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com a) Tính BC Vì A, B, C thuộc đường thẳng d AB > AC nên xảy trường hợp TH1: C nằm A B (hình 1) ⇒ AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm TH2: A nằm B C (hình 2) ⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm BC = 8cm · OAC b) Tính TH1: C nằm A B (hình 1) Tia AC tia AB trùng ⇒ · · OAC = OAB = 80o TH2: A nằm B C (hình 2) Tia AC tia AB đối ⇒ · · OAC; OAB hai góc kề bù ⇒ · · OAC + OAB = 180o Suy ra: · · OAC = 180o − OAB = 180o − 80o = 100o · OAC = 80o · OAC = 100o Vậy c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt +) Cứ điểm đường thẳng d nối với điểm O góc đỉnh O Có đoạn thẳng đường thẳng d có nhiêu góc đỉnh O Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d : 2018.2017 = 2035153 (góc) Vậy có 2035153 góc đỉnh O Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com Bài tập 19: Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC · · · AOB = 1200 , AOC = 800 BOC cho Gọi OM tia phân giác · AOM a) Tính b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác · CON Hướng dẫn · · AOC < AOB a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có (800 < 1200) Þ Tia OC nằm hai tia OA OB · · · · · Þ AOC + BOC = AOB ⇒ 800 + BOC = 1200 ⇒ BOC = 400 Vì OM tia phân giác · BOC 40 · · · BOC ⇒ BOM = COM = = = 200 2 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có (200< 1200) nên tia OM nằm hai tia OA OB · · · ⇒ BOM + MOA = AOB => · · BOM < BOA · · 200 + MOA = 1200 ⇒ MOA = 1000 b) Vì OM ON hai tia đối nên hai góc · AOM · AON hai góc kề bù · · ⇒ AOM + AON = 1800 · · ⇒ 1000 + AON = 1800 ⇒ AON = 800 · · AOC = AON Suy ( 800) (1) Vì hai tia OM ON nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ tia OA nên tia OA nằm hai tia OM ON (2) · CON Từ (1) (2) suy tia OA tia phân giác Bài tập 20: Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 418 Website:tailieumontoan.com b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax · · · · BAx = 400 , BAy = 110 yAx, NAy Ay cho Tính y c) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn x Hướng dẫn a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB 400 Þ ⇒ AM + = AM = cm M ) N B ⇒ A Có AN = AM AN = cm Do N thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm N B BN = AB + AN = + = cm b) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: · · BAx < BAy (400 < 1100 ) Þ Tia Ax nằm hai tia AB Ay nên ta có: · · 400 + xAy =1100 Þ xAy = 110 - 40 = 70 hay · · · BAx + xAy = BAy + Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có kề bù · · Þ BAy + NAy = 1800 · BAy · NAy hai góc · · 1100 + NAy =1800 Þ NAy = 1800 - 1100 = 700 hay c) Vì BN = AB + AN = + AN Suy BN có độ dài lớn AN có độ dài lớn ⇒ Mà AN = AM BN có độ dài lớn AM có độ dài lớn ⇒ ≤ Có AM AB AM lớn AM = AB điểm M trùng với điểm B Vậy điểm M trùng với điểm B BN có độ dài lớn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... giác Đáp số: 45 tam giác ABC C D A E A Bài tập 7: Cho tam giác , điểm nằm , điểm nằm CE B BD K DE Các đoạn thẳng cắt Nối Tính xem có tam giác hình vẽ? Đáp số: tam giác “đơn”, có tam giác “đơi”,