Đang tải... (xem toàn văn)
§Þnh nghÜa c¸c tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän... §êng cao AD vµ BE.[r]
(1)Chuyên đề IV : Hệ thức lợng tam giác vuông Buổi 11 : Hệ thức lượng tam giỏc vuụng
A Mơc tiªu:
- Củng cố kỹ vận dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông , tỉ số lợng giác góc nhọn vào việc giải tập
B ChuÈn bÞ:
- GV: + Giáo án + Bảng phụ
- HS :Ôn lại hệ thức cạnh đờng cao tam giỏc vuụng
C tiến trình dạy học: I Lí thuyết :
(GV nêu câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố hệ thống lại kiÕn thøc)
1.Các công thức cạnh đờng cao tam giác vuông.
1, b2 = ab’, c2 = ac’ 2, h2 = b’c’ 3, ah = bc 4, 12 12 12
h b c
2 Định nghĩa tỷ số lợng giác góc nhọn. 3.Một số tính chất tỷ số lợng giác
4,Các hệ thức cạnh góc tam giác vuông.
b = a.sinB = a.cosC b = c.tgB = c.cotgC c = a.sinC = a cosB c = b.tgC = b.cotgB
II Bµi tËp:
Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, không, HS làm chỗ, (nếu khơng có HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm
1.Cho tam gi¸c ABC diƯn tÝch S Ta cã :
c
b a B
(2)S =1/2AB.AC.sinA = 1/2AB.BC.sinB = 1/2AC.BC.sinC
Chứng minh + Kẻ đờng cao AH
+ Ta cã S = 1/2BC.AH
+ áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông AHB ta cã : AH = AB.sinB
+ Vậy S = 1/2BC.AB.sinB đpcm. Các ý khác c/m tơng tự.
2-Cho tam giác ABC diện tÝch S Ta lu«n cã:
DiƯn tÝch tam giác nhỏ nửa tích hai cạnh.
Chứng minh + Kẻ đờng cao AH
+ Ta cã : S = 1/2 BC.AH
+ Trong tam giác vng AHB có : AH < AB + Từ : S = 1/2BC.AH < 1/2AB.BC
Các ý khác c/m tơng tự.
3-Bình phơng cạnh tam giác tổng bình phơng hai cạnh cịn lại trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen gia.
Tức : Cho tam giác ABC bÊt kú, ta lu«n cã: AB2 = AC2+BC2- 2AC.BC.cosC.
BC2= AB2+AC2- 2AB.AC.cosA.
AC2= AB2+BC2- 2AB.BC.cosB.
Chøng minh + Ta cã : AB2 = BH2+ AH2.
+ AH2 = AC2 – HC2.
+ AB2 = BH2 – HC2 + AC2 = AC2+ (BH+HC)(BH-HC)
= AC2+ BC.(BC-2HC) = AC2+BC2 – 2BC.HC.
A
B C
(3)2
2
1
1
AN AM
AB
AN AE AD
1 1
2
2
BC AB
AC C
B A tg
ˆ
AB AD tgB 1
ˆ
1 dpcm
C B A tg tgB
BC AB
DC AD BC DC AB AD
DC AD BC AB
+ HC = AC.cosC => đpcm
Các ý khác c/m tơng tự.
4-Cho hỡnh vuụng ABCD v điểm M thuộc cạnh BC Gọi N giao điểm hai đờng thẳng AM CD Chứng minh :
H íng dÉn
- Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AM cắt CD E
- Trong tam giác vuông ANE có:
- Dễ dàng chứng minh tam gi¸c ABM b»ng tam gi¸c ADE => AM = AE
Thay trở lại ta có điều pcm
4-Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh :
H íng dẫn + Kẻ phân giác góc B
+ Ta cã :
+ BD phân giác Do ú :
5-Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm AC.
D
B C
(4)A
B
D I
M E
C
3 BE
0
2 2
0
2 2
0
3 27
ˆ
2 cos
3 2.3.cos117
7
ˆ
2 cos
ˆ
cos : 21 11
ˆ 168
AB BI
IE
AE IE
B
MI IE EM IE EM IEM
MI
EM MI IE MI IE EIM
EIM EIM
Do BIM
AE AC AB b
AD AC AB a
2
1 ,
2
1 ,
A
E B H D K C
Biết AB = 6; AC = 8; AD BE đờng phân giác góc A B cắt I Tính góc BIM.
H íng dÉn
+ BC2 = AB2 + AC2 = 100 => BC = 10.
+ AD phân giác => AB/AC=BD/DC BD = 30/7; DC = 40/7
+ BE2 = AB2 - AE2.
+ BE phân giác
AB/BC=AE/EC= 6/10 => AE = +AI phân giác
6-Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD phân giác ngoài AE Biết AB < AC Chứng minh c¸c hƯ thøc
(5)2 1 ) ( 2 45 sin 45 sin 0 AD AC AB AC AB AD AC AB AD AC AD AB AC AB ADC S S AC AB
S ABC ABD
// , § : : tgC tgB GM AM HD AD BC HG b DH AD tgC tgB DH AD DC BD DC DH AD BD HAC BDH DC BD AD tgC tgB DC AD tgC ADC BD AD tgB ADB
Cách1: DH vuông gãc AB; DK vu«ng gãc AC
+ DH//AC => BD/BC=DH/AC=BD/BD+DC=DH/AC
=> 1+DC/BD=AC/DH => 1+AC/AB=AC/DH => 1/DH=1/AB+1/AC +DK//AB => DK/AB=DC/BC=DC/BD+CD
=> AB/DK=1+BD/DC => 1+AB/AC=AB/DK => 1/DK=1/AB+1/AC Suy : 1/DH+1/DK=2(1/AB+1/AC)=2/DH
+Tam giác AHD vuông cân => AD2=2DH2 => AD = DH
Do : 1/AB+1/AC= /AD Cách2 :
ý b : t¬ng tù ý a : từ B hạ BI BQ vuông góc AE AC chứng minh t-ơng tự
7-Cho tam giác ABC nhọn Đờng cao AD BE Gọi H trực tâm. Chứng minh : a, tgB.tgC = AD/HD.
b, HG//BC <=> tgB tgC = 3.
Gi¶i
a, Kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy G/ GM=1/3AM => G trọng tâm
(6)) ;
( cos
AB c BC a B c a
ac
BD
1
.sin
2
1
.sin
2 cos
2
.cos 2 cos
2
ABD
ABC ABD ABC
ABD ABC
B
S AB BD
S AB BC B
S BD
B
S BC
S AD c BD c ac B
BD B
S AC a c a a c a c
8
d S
2 2
2 2
1
( )
2
cos , :
( )
) ( )
4
( )
: ;
4
( )
1
2 8
S AC BH DK AC BD
Ap dung dinh ly i cho hai so duong a va b ta co a b
a b a b ab
AC BD Tu suy AC BD
AC BD d
S AC BD
(sử dụng định lý Talét thuận đảo)
8-Cho tam gi¸c ABC, BD phân giác góc B Chứng minh :
H íng dÉn
9-Cho tứ giác ABCD có tổng đờng chéo d Gọi S diện tích tứ giác Chứng minh :
H íng dÉn
+S = SABC + SADC = 1/2AC( BH + DK)
+ Do BD > BH + DK
A
D
C B
B
A C
(7)25
ABCD
S
2
1
;
2
:
4.9 36
:( ) , :
4 144
12
4 12 25 AOB
AOB BOC
AOB BOC
AOD COD AOD
BOC AOD
BOC COD
BOC AOD BOC AOD
BOC AOD
ABCD
S AO BH S OC BH
S OA
S OC
S OA
Tuong tu
S OC
S S
S S
S S
Ap dung BDT Cosi a b ab Ta co
S S S S
S S
S
2
2 2
1
;
2
1
;
2
1
( )
2
cos : :
2
; ;
2
AOB BOC
AOD COD
ABCD
S OAOB S OB OC
S OAOD S OC OD
S OA OB OB OC OAOD OC OD
a b
Ap dung BDT i ab Ta co
OA OB OB OC
OAOB OB OC
10-Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt O Biết SAOB= 4;
SCOD=9 Chøng minh :
H
ớng dẫn
11-Cho tứ giác ABCD với S diện tích, có điểm O thoả m·n : OA2+OB2+OC2+OD2=2S.
Chøng minh r»ng : Tứ giác ABCD hình vuông nhận O làm t©m.
H íng dÉn
A B
C
D H
O K
B
C
A D
(8)
2 2 2 2 2
1 1
*, ( )
2 2
1
.2
2
; ; ;
" "
ABCD
ABCD
S OA OB OC OD OA OB OA OB OC OD
S S S S
OA OB OB OC OA OD OD OC
Dau xay khi
OA OB OC OD ABCD la hinh vuong nhan O la tam
T©n ViƯt , ngày tháng năm 2009
Buổi 12 : Hệ thức lượng tam giác vuông (tiÕp) A Môc tiªu:
- Củng cố kỹ vận dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng , tỉ số lợng giác góc nhọn vào việc giải tập
B ChuÈn bÞ:
- GV: + Giáo án + Bảng phụ
- HS :Ôn lại hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng
C tiÕn tr×nh dạy học: I Lí thuyết :
II Bài tËp:
Đối với tập, dạng GV chữa mẫu, khơng, HS làm chỗ, (nếu khơng có HS làm đợc GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét, bổ sung, sau GV chữa bài, chốt cách làm
1.Cho tam gi¸c ABC diƯn tÝch S Ta cã :
S =1/2AB.AC.sinA = 1/2AB.BC.sinB = 1/2AC.BC.sinC
Chứng minh + Kẻ đờng cao AH
+ Ta cã S = 1/2BC.AH
+ áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông AHB
A
B C
(9)2
2
1
1
AN AM
AB
ta cã : AH = AB.sinB
+ VËy S = 1/2BC.AB.sinB đpcm. Các ý khác c/m tơng tự.
2-Cho tam giác ABC diện tích S Ta có:
Diện tích tam giác nhỏ nửa tích hai cạnh.
Chứng minh + Kẻ đờng cao AH
+ Ta cã : S = 1/2 BC.AH
+ Trong tam giác vng AHB có : AH < AB + Từ : S = 1/2BC.AH < 1/2AB.BC
Các ý khác c/m tơng tự.
3-Bỡnh phơng cạnh tam giác tổng bình phơng hai cạnh cịn lại trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen giữa.
Tức : Cho tam giác ABC bất kú, ta lu«n cã: AB2 = AC2+BC2- 2AC.BC.cosC.
BC2= AB2+AC2- 2AB.AC.cosA.
AC2= AB2+BC2- 2AB.BC.cosB.
Chøng minh + Ta cã : AB2 = BH2+ AH2.
+ AH2 = AC2 – HC2.
+ AB2 = BH2 – HC2 + AC2 = AC2+ (BH+HC)(BH-HC)
= AC2+ BC.(BC-2HC) = AC2+BC2 – 2BC.HC.
+ HC = AC.cosC => đpcm
Các ý khác c/m t¬ng tù.
(10)AN AE AD
1 1
2
2
BC AB
AC C
B A tg
ˆ
AB AD tgB 1
ˆ
1 dpcm
C B A tg tgB
BC AB
DC AD BC DC AB AD
DC AD BC AB
AE AC AB b
AD AC AB a
2
1 ,
2
1 ,
H íng dÉn
- Qua A kỴ tia Ax vuông góc với AM cắt CD E
- Trong tam giác vuông ANE có:
- Dễ dàng chứng minh tam giác ABM tam giác ADE => AM = AE
Thay trở lại ta có điều pcm
4-Cho tam giác ABC vuông t¹i A Chøng minh :
H íng dẫn + Kẻ phân giác góc B
+ Ta cã :
+ BD phân giác Do ú :
5-Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD phân giác ngoài AE Biết AB < AC Chứng minh hệ thøc
H íng dÉn
D
B C
(11)A
E
B D C
K H 2 1 ) ( 2 45 sin 45 sin 0 AD AC AB AC AB AD AC AB AD AC AD AB AC AB ADC S S AC AB
S ABC ABD
// , § : : tgC tgB GM AM HD AD BC HG b DH AD tgC tgB DH AD DC BD DC DH AD BD HAC BDH DC BD AD tgC tgB DC AD tgC ADC BD AD tgB ADB
Cách1: DH vuông góc AB; DK vu«ng gãc AC
+ DH//AC => BD/BC=DH/AC=BD/BD+DC=DH/AC
=> 1+DC/BD=AC/DH => 1+AC/AB=AC/DH => 1/DH=1/AB+1/AC +DK//AB => DK/AB=DC/BC=DC/BD+CD
=> AB/DK=1+BD/DC => 1+AB/AC=AB/DK => 1/DK=1/AB+1/AC
Suy : 1/DH+1/DK=2(1/AB+1/AC)=2/DH
+Tam giác AHD vuông cân => AD2=2DH2 => AD = DH
Do : 1/AB+1/AC= /AD Cách2 :
ý b : t¬ng tù ý a : từ B hạ BI BQ vuông góc AE AC chứng minh t-ơng tự
7-Cho tam giác ABC nhọn Đờng cao AD BE Gọi H trực tâm. Chứng minh : a, tgB.tgC = AD/HD.
b, HG//BC <=> tgB tgC = 3.
Gi¶i
a, Kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy G/ GM=1/3AM => G trọng tâm
(12)) ;
( cos
AB c BC a B c a
ac
BD
1
.sin
2
1
.sin
2 cos
2
.cos 2 cos
2
ABD
ABC ABD ABC
ABD ABC
B
S AB BD
S AB BC B
S BD
B
S BC
S AD c BD c ac B
BD B
S AC a c a a c a c
8
d S
2 2
2 2
1
( )
2
cos , :
( )
) ( )
4
( )
: ;
4
( )
1
2 8
S AC BH DK AC BD
Ap dung dinh ly i cho hai so duong a va b ta co a b
a b a b ab
AC BD Tu suy AC BD
AC BD d
S AC BD
(sử dụng định lý Talét thuận đảo)
8-Cho tam gi¸c ABC, BD phân giác góc B Chứng minh :
H íng dÉn
9-Cho tứ giác ABCD có tổng đờng chéo d Gọi S diện tích tứ giác Chứng minh :
H íng dÉn
+S = SABC + SADC = 1/2AC( BH + DK)
+ Do BD > BH + DK
A
D
C B
B
A C
(13)25
ABCD
S
2
1
;
2
:
4.9 36
:( ) , :
4 144
12
4 12 25 AOB
AOB BOC
AOB BOC
AOD COD AOD
BOC AOD
BOC COD
BOC AOD BOC AOD
BOC AOD
ABCD
S AO BH S OC BH
S OA
S OC
S OA
Tuong tu
S OC
S S
S S
S S
Ap dung BDT Cosi a b ab Ta co
S S S S
S S
S
10-Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt O Biết SAOB= 4;
SCOD=9 Chøng minh :
H
íng dÉn
Tân Việt , ngày tháng năm 2009
Buổi 13 : Tỉ số lợng giác góc nhän. I, Mơc tiªu:
* KiÕn thøc - KÜ năng:
- HS c cng c cỏc định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn, tính chất tỉ số lợng giác góc nhọn, hệ thức cạnh góc tam giác
- Vận dụng tính tốn,tìm đợc tỉ số lợng giác góc, dựng góc biết tỉ số lợng giác góc
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, linh hoạt II, Lí thuyết cần nhớ:
*§/n tØ số lợng giác góc nhọn * T/ c tỉ số lợng giác góc nhọn:
A
B C
D H
(14)+ sin , cos 1; 2
sin cos 1; sin : cos tg; cos: sin costg + NÕu vµ lµ hai gãc phơ th× sin cos; tg cotg
+ tg.cotg
* Hệ thức cạnh góc tam giác vuông III, Bài tập h ớng dẫn:
Bài tập 1: Cho hình vẽ sau, chØ c¸c hƯ thøc sai.
B
A
C
1, sinA BC AC
; 2, cosC AB
AC
; 3, tgC AB
BC
; 4, cotgA BC
AB
; 5,
.cot tgA gB
6, sinA cos(900 C)
; 7, sin2 Acos2C1; 8, sin
cos
A tgA C ; 9, sin cot
cos
A
gA
A ; 10, tgAcotgC
Bài tập 2: Cho hình vẽ sau, hệ thức sau đúng.
B
A
C H
1, AB BC cosC; 2, ACAH tgC ; 3, AH AB tgB ; 4,BH AH tgB ; 5, sin
ACBC B; 6, ABAC tgC ; 7, BH AB.cosB; 8,
cos
AB BC
C
; 9,
cot
AC AB
gC
;
10, AC AB tgC
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC vuông t¹i A AB = 30 cm gãc B b»ng BiÕt
12
(15)Bµi tËp 4:
Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Tính sin ,sinB C trờng hợp sau:
A, AB = 13 ; BH = B, BH = ; CH =
Bµi tËp 5:
Dùng gãc nhän biÕt :
a, sin
; b, cos
; c,
5
tg ; d, cot
g
Bµi tËp 6:
a, Sắp xếp tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 1,sin 35 , cos 28 ,sin 34 72 ,cos 62 ,sin 450 0 ' 0
2,cos37 ,cos 65 30 ,sin 72 , cos59 ,sin 470 ' 0
b, Sắp xếp tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ : 1, tg42 ,cot 71 , 38 ,cot 69 15 , 280 g tg g ' tg
2, cot 57 , 46 ,cot 73 43 , 64 ,cot 75g tg g ' tg g
Bµi tËp 7:
Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Biết hai cạnh góc vng Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
Bµi tËp 8:
Cho tam giác MNP vuông M, kẻ đờng cao MH Biết hai hình chiếu hai cạnh
góc vng 12 Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
Bµi tËp 9:
Cho tam giác PRK vuông R, kẻ đờng cao RH Biết đờng cao RH hình chiếu
là Tính yếu tố cịn lại tam giác vuụng ú
Bài tập 10: Tính giá trị biểu thøc:
(16)Bµi tËp 11: T×m sin ,cot g tg, biÕtcos
Bài tập 12 : Cho tam giác ABC vu«ng ë A, gãc C b»ng 300, BC = 10 cm.
a, TÝnh AB, AC
b, Kẻ từ A đờng thẳng AM, AN lần lợt vng góc với đờng phân giác ngồi góc B CMR:
MN // BC; MN = BC
c, Tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC Tìm tỉ số đồng dạng